9. Trigonometriske funksjoner

Sinus- og cosinusfunksjonen

Sinusfunksjonen \(\sin x\) og cosinusfunksjonen \(\cos x\) får vi ved å la \(x\) være vinkelen til ulike punkter på enhetssirkelen. Hvis vi tegner punktene \((x, \cos x)\) og \((x, \sin x)\) i et koordinatsystem, får vi grafene til sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen. Se den interaktive figuren nedenfor:

Sinusfunksjonen \(\sin x\) og cosinusfunksjonen \(\cos x\)

Egenskap	$y = \cos x$	$y = \sin x$
Nullpunkter	$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$	$x = k\pi$
Ekstremalpunkter	$x = k\pi$	$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
Periode	$2\pi$	$2\pi$

Tangensfunksjonen

Tangensfunksjonen

Tangensfunksjonen

\[ f(x) = \tan x \]

har følgende egenskaper:

• Periode på \(\pi\).

• Vertikale asymptoter i \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi \cdot k\), der \(k \in \mathbb{Z}\).

• Nullpunkter i \(x = \pi \cdot k\), der \(k \in \mathbb{Z}\).

Generelle cosinusfunksjoner

Vi kan beskrive mer generelle trigonometriske funksjoner ved å bruke generelle cosinusfunksjoner.

Cosinusfunksjoner

En trigonometrisk funksjon \(f\) kan skrives på formen

\[ f(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d \]

Parameter	Beskrivelse	Formel	Antakelse
Amplitude $A$	Avstanden fra likevektslinja til et toppunkt eller bunnpunkt	$$A = \dfrac{y_\mathrm{topp} - y_\mathrm{bunn}}{2}$$	$A > 0$
Likevektslinje $d$	Verdien av $y$-koordinaten til likevektslinja	$$d = \dfrac{y_\mathrm{topp} + y_\mathrm{bunn}}{2}$$	–
Periode $T$	Avstanden mellom to påfølgende toppunkter eller bunnpunkter	$$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$$	$T > 0$
Vinkelfrekvens $\omega$	Også kalt vinkelfart.	$$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$$	$\omega > 0$
Fasevinkel $\varphi$	Gir en horisontal faseforskyvning lik $\dfrac{\varphi}{\omega}$ i forhold til grafen til $y = A\cos(\omega x) + d$.	–	–

Merk at så lenge \(\varphi \in [0, 2\pi \rangle\), så vil \(\varphi / \omega\) angi \(x\)-koordinaten til det første toppunktet på grafen når \(x \geq 0\). Men vi står fritt til å velge \(\varphi\) utenfor dette intervallet også siden \(\varphi + 2\pi k\) gir oss akkurat det samme punktet på enhetssirkelen.

---

Utforsk 1

Nedenfor vises grafen til \(y = \cos x\) som en grå stiplet linje. I hvert interaktive vindu kan du se hva som skjer når du justerer på parameterne \(A\), \(\omega\), \(\varphi\) og \(d\) i den generelle cosinusfunksjonen og sammenligne med grafen til \(y = \cos x\).

1.00 4.00

A = 1.00

1.00 5.00

omega = 1.00

-6.28 6.28

varphi = 0.00

-5.00 5.00

d = 0.00

---

Vi tar et eksempel:

Eksempel 1

Grafen til en trigonometrisk funksjon \(f\) er vist til høyre.

Bestem et funksjonsuttrykk på formen

\[ f(x) = A\cos(\omega x - \varphi) + d \]

Skjul løsningsforslag

Vi går ut ifra uttrykket på formen

\[ f(x) = A \cos \left(\omega x - \varphi\right) + d \]

Vi kan lese av fra grafen at

\[ y_\mathrm{topp} = 2 \and y_\mathrm{bunn} = -4 \]

Dermed blir amplituden

\[ A = \dfrac{y_\mathrm{topp} - y_\mathrm{bunn}}{2} = \dfrac{2 - (-4)}{2} = 3 \]

Likevektslinja blir

\[ d = \dfrac{y_\mathrm{topp} + y_\mathrm{bunn}}{2} = \dfrac{2 + (-4)}{2} = -1 \]

Perioden er lik avstanden mellom to toppunkter på grafen som blir:

\[ T = \dfrac{3\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = \pi \]

Vinkelfrekvensen er derfor

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2 \]

Dermed er grafen på formen:

\[ f(x) = 3 \cos \left(2x - \varphi\right) - 1 \]

Nå bruker vi at \(\varphi/\omega\) gir oss \(x\)-koordinaten til det første toppunktet når \(x \geq 0\):

\[ \dfrac{\varphi}{\omega} = \dfrac{\pi}{2} \liff \dfrac{\varphi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \liff \varphi = \pi \]

Altså er

\[ f(x) = 3 \cos \left(2x - \pi\right) - 1 \]

---

Underveisoppgave 1

Grafen til en trigonometrisk funksjon \(f\) er vist til høyre.

Finn et funksjonsuttrykk på formen

\[ f(x) = A \cos (\omega x - \varphi) + d \]

Vis fasit

\[ f(x) = 4 \cos (\pi x - \pi) - 2 \]

Vis løsningsforslag

Vi ser at \(y_\mathrm{maks} = 2\) og \(y_\mathrm{min} = -6\). Amplituden er

\[ A = \dfrac{y_\mathrm{maks} - y_\mathrm{min}}{2} = \dfrac{2 - (-6)}{2} = 4 \]

Likevektslinja er gitt ved

\[ d = \dfrac{y_\mathrm{maks} + y_\mathrm{min}}{2} = \dfrac{2 + (-6)}{2} = -2 \]

Perioden kan vi lese av ved å se på den horisontale avstanden mellom to toppunkter. Det ser vi er \(T = 2\). Dermed blir vinkelfrekvensen

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \]

Vi finner det første toppunktet på grafen når \(x \geq 0\) som er i \(x = 1\). Da får vi at

\[ \dfrac{\varphi}{\omega} = 1 \liff \dfrac{\varphi}{\pi} = 1 \liff \varphi = \pi \]

Altså er

\[ f(x) = 4 \cos (\pi x - \pi) - 2 \]

Generelle sinusfunksjoner

Siden \(\cos u = \sin \left(u + \dfrac{\pi}{2}\right)\), kan vi også beskrive trigonometriske funksjoner ved å bruke generelle sinusfunksjoner.

Sinusfunksjoner

En trigonometrisk funksjon \(f\) kan skrives på formen

\[ f(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

---

Eksempel 2

Til høyre vises grafen til en trigonometrisk funksjon \(f\).

Bestem et funksjonsuttrykk på formen

\[ f(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

Skjul løsningsforslag

Fra grafen kan vi lese av at

\[ y_\mathrm{topp} = 5 \and y_\mathrm{bunn} = 1 \]

Derfor er amplituden gitt ved

\[ A = \dfrac{y_\mathrm{topp} - y_\mathrm{bunn}}{2} = \dfrac{5 - 1}{2} = 2 \]

og likevektslinja er gitt ved

\[ d = \dfrac{y_\mathrm{topp} + y_\mathrm{bunn}}{2} = \dfrac{5 + 1}{2} = 3 \]

Vi klarer ikke lese av perioden ved å bruke toppunktene eller bunnpunktene, men vi kan lese av perioden ved å se på hvor grafen krysser likevektslinja på vei opp. Dette skjer i både \(x = 1\) og \(x = 3\) som betyr at perioden er \(T = 2\). Dermed blir vinkelfrekvensen

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \]

For å bestemme fasevinkelen kan vi bruke at \(\dfrac{\varphi}{\omega}\) angir \(x\)-koordinaten der grafen skjærer likevektslinja (på vei opp!). Vi ser at dette skjer i \(x = 1\), som betyr at

\[ \dfrac{\varphi}{\omega} = 1 \liff \dfrac{\varphi}{\pi} = 1 \liff \varphi = \pi \]

Altså er

\[ f(x) = 2 \sin (\pi x - \pi) + 3 \]

---

Underveisoppgave 2

Grafen til en trigonometrisk funksjon \(f\) er vist til høyre.

Finn et mulig funksjonsuttrykk på formen

\[ f(x) = A \sin (\omega x - \varphi) + d \]

Vis fasit

\[ f(x) = 3 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 1 \]

Vis løsningsforslag

Fra grafen kan vi lese av at \(y_\mathrm{topp} = 2\) og \(y_\mathrm{bunn} = -4\). Dermed er amplituden

\[ A = \dfrac{y_\mathrm{topp} - y_\mathrm{bunn}}{2} = \dfrac{2 - (-4)}{2} = 3 \]

og likevektslinja er

\[ d = \dfrac{y_\mathrm{topp} + y_\mathrm{bunn}}{2} = \dfrac{2 + (-4)}{2} = -1 \]

Avstanden mellom to påfølgende toppunkter er \(T = 2\pi\) som betyr at vinkelfrekvensen er

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1 \]

Funksjonsuttrykket er nå på formen

\[ f(x) = 3 \sin (x - \varphi) - 1 \]

Vi kan bestemme \(\varphi\) ved å bruke at grafen har et toppunkt når \(x = 0\). Da følger det at

\[ f(0) = 2 \liff 3 \sin (0 - \varphi) - 1 = 2 \liff \sin (-\varphi) = 1 \]

Her står vi fritt til å velge \(\varphi\) slik at likningen er oppfylt, som for eksempel skjer dersom

\[ -\varphi = \frac{\pi}{2} \liff \varphi = -\frac{\pi}{2} \]

Dermed er

\[ f(x) = 3 \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right) - 1 \]

Merk at vi også kunne brukt at \(\varphi/\omega\) gir oss \(x\)-koordinaten der grafen til \(f\) skjærer likevektslinja på vei opp for første gang når \(x > 0\). Da ville vi i stedet fått at \(\varphi = 3\pi/2\) som bare er \(\varphi + 2\pi\) og dermed det samme punktet på enhetssirkelen.

---

Funksjonsuttrykk på formen \(a \cos \omega x + b \sin \omega x\)

Vi kan også skrive trigonometriske funksjoner på formen

\[ f(x) = a \cos (\omega x) + b \sin (\omega x) \]

Men denne skrivemåten lar seg ikke lett lese av egenskapene til funksjonen. Derfor foretrekker vi å skrive den om til en sinus- eller cosinusfunksjon på formen. Det holder å vite hvordan vi skriver det om til en cosinusfunksjon, siden vi kan bruke at \(\cos u = \sin \left(u + \dfrac{\pi}{2}\right)\) for å skrive om til en sinusfunksjon etterpå.

Fra \(a \cos \omega x + b \sin \omega x\) til \(A \cos (\omega x - \varphi)\)

Gitt funksjonen \(f\) på formen

\[ f(x) = a \cos (\omega x) + b \sin (\omega x) \]

kan den skrives om til formen

\[ f(x) = A \cos (\omega x - \varphi) \]

der

• \(A = \sqrt{a^2 + b^2}\) er amplituden

• \(a = A \cos \varphi\) og \(b = A \sin \varphi\)

Fortegnet til \(a\) og \(b\) gir oss informasjon om hvilken kvadrant \(\varphi\) ligger i:

$\varphi$	$a$	$b$
1. kvadrant	$a > 0$	$b > 0$
2. kvadrant	$a < 0$	$b > 0$
3. kvadrant	$a \lt 0$	$b \lt 0$
4. kvadrant	$a > 0$	$b \lt 0$

Vis forklaring

Vi kan tolke funksjonsuttrykket

\[ f(x) = a \cos (\omega x) + b \sin (\omega x) \]

som prikkproduktet

\[ [a, b] \cdot [\cos (\omega x), \sin (\omega x)] \]

Vi tenker oss en posisjonsvektor \(\lvec{OP} = [a, b]\). Da vil

\[ \abs{\lvec{OP}} = \sqrt{a^2 + b^2} = A \]

Det betyr også at

\[ \cos \varphi = \frac{a}{A} \and \sin \varphi = \frac{b}{A} \]

som gir oss

\[ a = A \cos \varphi \and b = A \sin \varphi \]

Og så tenker vi oss et punkt \(Q\) på enhetssirkelen med posisjonsvektoren \(\lvec{OQ} = [\cos (\omega x), \sin (\omega x)]\).

Vinkelen mellom \(\lvec{OP}\) og \(\lvec{OQ}\) er da \(\omega x - \varphi\). Dermed kan vi skrive prikkproduktet som

\[ \lvec{OP} \cdot \lvec{OQ} = \underbrace{\abs{\lvec{OP}}}_{=A} \cdot \underbrace{\abs{\lvec{OQ}}}_{=1} \cos (\omega x - \varphi) = A \cos (\omega x - \varphi) \]

Dermed har vi at

\[ a\cos (\omega x) + b \sin (\omega x) = A \cos (\omega x - \varphi) \]

der

\[ A = \sqrt{a^2 + b^2} \and a = A \cos \varphi \and b = A \sin \varphi \]

---

Eksempel 3

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2 \cos (4x) + 2 \sqrt{3} \sin (4x) \]

Finn funkjonsuttrykket på formen

\[ f(x) = A \cos (\omega x - \varphi) \qog f(x) = A \sin (\omega x - \varphi) \]

Skjul løsningsforslag

Først kan vi merke oss at vinkelfrekvensen er den samme i de to uttrykkene, så dermed er \(\omega = 4\).

Vi har at \(a = 2\) og \(b = 2\sqrt{3}\). Dermed er amplituden gitt ved:

\[ A = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \]

Siden \(a > 0\) og \(b > 0\), så ligger \(\varphi\) i 1. kvadrant.

Vi løser likningen

\[ a = A \cos \varphi \liff 2 = 4 \cos \varphi \liff \cos \varphi = \frac{1}{2} \]

som er tilfredsstilt når

\[ \varphi = \frac{\pi}{3} \]

Altså er

\[ f(x) = 4 \cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \]

Vi kan finne sinusfunksjonen ved å bruke at \(\cos u = \sin \left(u + \dfrac{\pi}{2}\right)\):

\[ f(x) = 4 \sin \left(4x - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) = 4 \sin \left(4x + \frac{\pi}{6}\right) \]

---

Underveisoppgave 3

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3 \cos (2x) - 3 \sqrt{3} \sin (2x) \]

Finn \(f(x)\) på formen

\[ f(x) = A \cos (\omega x - \varphi) \]

Vis fasit

\[ f(x) = 6 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \]

Vis løsningsforslag

Vinkelefrekvensen i de to uttrykkene må være like, så \(\omega = 2\).

Vi har at \(a = 3\) og \(b = -3\sqrt{3}\). Amplituden er derfor gitt ved

\[ A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 9 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 \]

Siden \(a\) er positiv, må \(\varphi\) ligge i enten 1. kvadrant eller 4. kvadrant. Siden \(b\) er negativ, medfører det at det må være 4. kvadrant. For å bestemme \(\varphi\) kan vi løse likningen

\[ a = A \cos \varphi \liff 3 = 6 \cos \varphi \liff \cos \varphi = \frac{1}{2} \]

Siden \(\varphi\) må ligge i 4. kvadrant, får vi at

\[ \varphi = -\frac{\pi}{3} \]

Dermed er

\[ f(x) = A \cos (\omega x - \varphi) = 6 \cos \left(2x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = 6 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \]

---

Topp- og bunnpunkter

Topp- og bunnpunkter for sinus- og cosinusfunksjoner

Toppunktene til en sinus- eller cosinusfunksjon finner vi ved å løse likningen

\[ f(x) = d + A \]

Bunnpunktene til en sinus- eller cosinusfunksjon finner vi ved å løse likningen

\[ f(x) = d - A \]

Med variabelskifte \(u = \omega x + \varphi\), svarer det til å løse likningene:

Type punkt	Sinusfunksjoner	Cosinusfunksjoner
Toppunkter	$\sin u = 1$	$\cos u = 1$
Bunnpunkter	$\sin u = -1$	$\cos u = -1$

Vis forklaring

For en sinusfunksjon på formen

\[ f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) + d \]

vil toppunktene være gitt ved å løse likningen

\[ f(x) = d + A \]

\[ A \sin (\omega x + \varphi) + d = d + A \]

\[ \sin (\omega x + \varphi) = 1 \]

Tilsvarende vil bunnpunktene være gitt ved å løse likningen

\[ f(x) = d - A \liff A \sin (\omega x + \varphi) + d = d - A \liff \sin (\omega x + \varphi) = -1 \]

Definerer vi variabelen \(u = \omega x + \varphi\), så får vi likningene

\[\begin{split} \begin{align*} \sin u &= 1 && \mathrm{Toppunkter} \\ \\ \sin u &= -1 && \mathrm{Bunnpunkter} \end{align*} \end{split}\]

For cosinusfunksjoner på formen

\[ f(x) = A \cos (\omega x + \varphi) + d \]

får vi at toppunkter er gitt ved å løse likningen

\[ f(x) = d + A \liff A \cos (\omega x + \varphi) + d = d + A \liff \cos (\omega x + \varphi) = 1 \]

Tilsvarende vil bunnpunktene være gitt ved å løse likningen

\[ f(x) = d - A \liff A \cos (\omega x + \varphi) + d = d - A \liff \cos (\omega x + \varphi) = -1 \]

Definerer vi variabelen \(u = \omega x - \varphi\), så får vi likningene

\[\begin{split} \begin{align*} \cos u &= 1 && \mathrm{Toppunkter} \\ \\ \cos u &= -1 && \mathrm{Bunnpunkter} \end{align*} \end{split}\]

Eksempel 4

En trigonometrisk funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2 \sin \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) + 3 \]

Finn koordinatene til topp- og bunnpunktene til \(f\) for \(x \in [0, 4\pi]\).

Skjul løsningsforslag

Først merker vi oss at amplituden er \(A = 2\) og likevektslinja er \(d = 3\).

Toppunktene:

Vi setter \(u = 2x - \frac{\pi}{2}\) og løser likningen for toppunktene:

\[ \sin u = 1 \liff u = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \qfor k \in \mathbb{Z} \]

Vi setter tilbake definisjonen av \(u\) og løser for \(x\):

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dfrac{5\pi}{2}$	$\dfrac{7\pi}{2}$

Vi har at \(y\)-koordinaten til toppunktene er gitt ved

\[ y_\mathrm{maks} = d + A = 3 + 2 = 5 \]

Toppunktene er derfor gitt ved mengden

\[ T = \left\{\left(\dfrac{\pi}{2}, 5\right), \left(\dfrac{3\pi}{2}, 5\right), \left(\dfrac{5\pi}{2}, 5\right), \left(\dfrac{7\pi}{2}, 5\right)\right\} \]

Bunnpunktene:

Vi setter \(u = 2x - \frac{\pi}{2}\) og løser likningen for bunnpunktene:

\[ \sin u = -1 \liff u = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \qfor k \in \mathbb{Z} \]

Vi setter tilbake definisjonen av \(u\) og løser for \(x\):

\[ 2x - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \liff 2x = 2k\pi \liff x = k\pi \]

Altså har vi

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$x = k\pi$	$0$	$\pi$	$2\pi$	$3\pi$	$4\pi$

Her vil \(y\)-koordinaten til bunnpunktene være gitt ved

\[ y_\mathrm{min} = d - A = 3 - 2 = 1 \]

Altså er mengden av bunnpunkter gitt ved

\[ B = \left\{(0, 1), (\pi, 1), (2\pi, 1), (3\pi, 1), (4\pi, 1)\right\} \]

---

Underveisoppgave 4

En trigonometrisk funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3 \cos \left(\pi x + \pi\right) - 2 \]

Finn koordinatene til topp- og bunnpunktene til \(f\) i intervallet \(\langle -3, 3\rangle\).

Vis fasit

• Toppunkter: \(T = \{(-1, 1), (1, 1)\}\)

• Bunnpunkter: \(B = \{(-2, -5), (0, -5), (2, -5)\}\)

Vis løsningsforslag

Amplituden og likevektslinja er gitt ved

\[ A = 3 \and d = -2 \]

Da er \(y\)-koordinatene til topp- og bunnpunktene gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} y_\mathrm{topp} &= d + A = -2 + 3 = 1\\ \\ y_\mathrm{bunn} &= d - A = -2 - 3 = -5 \end{align*} \end{split}\]

Toppunkter:

For å finne toppunktene setter vi \(u = \pi x + \pi\) og løser likningen

\[ \cos u = 1 \liff u = 2k\pi \qfor k \in \mathbb{Z} \]

Så setter vi tilbake definisjonen av \(u\) og løser for \(x\):

\[ \pi x + \pi = 2k\pi \liff \pi x = 2k\pi - \pi \liff x = 2k - 1 \]

Så finner vi de aktuelle løsningene for \(x \in \langle -3, 3\rangle\):

$k$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$x = 2k - 1$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

Vi ser at det bare er \(x = -1\) og \(x = 1\) som er i intervallet \(\langle -3, 3\rangle\). Dermed får vi toppunktene

\[ T = \{(-1, 1), (1, 1)\} \]

Bunnpunkter:

For å finne bunnpunktene setter vi \(u = \pi x + \pi\) og løser likningen

\[ \cos u = -1 \liff u = \pi + 2k\pi \qfor k \in \mathbb{Z} \]

Så setter vi tilbake definisjonen av \(u\) og løser for \(x\):

\[ \pi x + \pi = \pi + 2k\pi \liff \pi x = 2k\pi \liff x = 2k \]

Så finner vi de aktuelle løsningene for \(x \in \langle -3, 3\rangle\):

$k$	$-1$	$0$	$1$
$x = 2k$	$-2$	$0$	$2$

Dermed får vi bunnpunktene

\[ B = \{(-2, -5), (0, -5), (2, -5)\} \]