Plan

4. Plan#

  • utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

2026-08-08T10:59:19.190931 image/svg+xml Matplotlib v3.10.8, https://matplotlib.org/

Et plan er definert på én av tre måter:

  1. Ved ett punkt \(A\) og en normalvektor \(\vec{n}\) som står vinkelrett på planet

  2. Ved tre punkter \(A\), \(B\) og \(C\) som ikke ligger på samme rette linje.

  3. To ikke-parallelle vektorer som ligger i planet og ett punkt \(A\) i planet

Normalvektoren til et plan#

2026-08-08T10:59:19.190931 image/svg+xml Matplotlib v3.10.8, https://matplotlib.org/

Gitt tre punkter \(A\), \(B\) og \(C\) i et plan \(\alpha\), så er en normalvektor \(\vec{n}\) til planet gitt ved

\[ \vec{n} = \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Alle vektorer som er parellelle med \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\) er også en normalvektor til planet.

Eksempel 1#

Punktene \(A(1, 2, 3)\), \(B(2, 3, 1)\) og \(C(3, 1, 2)\) ligger i et plan \(\alpha\).

Finn en normalvektor til planet.

Vi finner først vektorene \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}\):

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [2 - 1, 3 - 2, 1 - 3] = [1, 1, -2] \]
\[ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [3 - 1, 1 - 2, 2 - 3] = [2, -1, -1] \]

Så regner vi ut en normalvektor ved å ta kryssproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1\cdot(-1) - (-2)\cdot(-1)) - \vec{e}_y \cdot (1\cdot(-1) - (-2)\cdot 2) + \vec{e}_z \cdot (1\cdot(-1) - 1\cdot 2) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-1 - 2) - \vec{e}_y \cdot (-1 - (-4)) + \vec{e}_z \cdot (-1 - 2) \\ \\ &= -3 \vec{e}_x - 3 \vec{e}_y - 3 \vec{e}_z \\ \\ &= [-3, -3, -3] \\ \\ &= (-3) \cdot [1, 1, 1] \end{align*} \end{split}\]

Alle vektorer som står normalt på planet er regnet som en normalvektor til planet. En normalvektor her vil derfor være

\[ \vec{n} = [1, 1, 1] \]

Planlikningen#

2026-08-17T17:55:17.374396 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

Gitt et punkt \(A\) og en normalvektor \(\vec{n}\) til et plan \(\alpha\), så vil alle punkter \(P\) i planet tilfredsstille likningen

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]

På koordinatform med en normalvektor \(\vec{n} = [a, b, c]\) og et punkt \(A(x_0, y_0, z_0)\) i planet, så vil alle punkter \(P(x, y, z)\) i planet tilfredsstille en likning på formen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

Eksempel 2#

Et punkt \(A(2, 1, 1)\) ligger i et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec{n} = [1, 2, 3]\).

Finn likningen til planet.

Vi tenker oss et vilkårlig punkt \(P(x, y, z)\) i planet. Vektoren \(\lvec{AP}\) er da gitt ved

\[ \lvec{AP} = \lvec{OP} - \lvec{OA} = [x - 2, y - 1, z - 1] \]

Siden \(\lvec{AP}\) er parallell med planet, må

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 2, y - 1, z - 1] \cdot [1, 2, 3] = 0 \]
\[ (x - 2) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 \]
\[ x + 2y + 3z - 7 = 0 \]

Noen ganger må vi finne normalvektoren for å kunne finne likningen til et plan.

Eksempel 3#

Punktene \(A(1, 2, 3)\), \(B(2, 1, -1)\) og \(C(3, 1, 2)\) ligger i et plan \(\alpha\).

Bestem likningen til planet.

Vi må først finne en normalvektor for å bestemme likningen til planet. Normalvektoren kan vi lage ved å ta kryssproduktet av to vektorer som ligger i planet. Vi kan for eksempel bruke vektorene \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}\):

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [2 - 1, 1 - 2, -1 - 3] = [1, -1, -4] \]
\[ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [3 - 1, 1 - 2, 2 - 3] = [2, -1, -1] \]

Deretter finner vi en normalvektor \(\vec{n}\) ved å ta kryssproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & -1 & -4 \\ 2 & -1 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|-1 & -4 \\ -1 & -1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|1 & -4 \\ 2 & -1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|1 & -1 \\ 2 & -1| \\ \\ &= -3 \vec{e}_x - 7 \vec{e}_y + 1 \vec{e}_z \\ \\ &= [-3, -7, 1] \\ \\ &= (-1) \cdot [3, 7, -1] \end{align*} \end{split}\]

Altså kan vi bruke at \(\vec{n} = [3, 7, -1]\) som normalvektor til planet.

Nå tenker vi oss et vilkårlig punkt \(P(x, y, z)\) i planet. Vektoren \(\lvec{AP}\) er da gitt ved

\[ \lvec{AP} = \lvec{OP} - \lvec{OA} = [x - 1, y - 2, z - 3] \]

Siden \(\lvec{AP}\) er parallell med planet, må

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 1, y - 2, z - 3] \cdot [3, 7, -1] = 0 \]
\[ 3(x - 1) + 7(y - 2) - (z - 3) = 0 \]

som vi kan skrive om til:

\[ 3x + 7y - z - 6 = 0 \]

Avstander#

Avstander mellom plan og andre objekter bruker alle sammen den samme grunnideen: Projeksjonslengde. Vi skal i det følgende se på tre tilsynelatende forskjellige situasjoner som alle sammen reduseres til samme formel for avstand.

Avstand fra punkt til plan#

2026-08-17T17:55:17.997740 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

Gitt et plan \(\alpha\) med en normalvektor \(\vec{n}\) og et punkt \(A\) i planet, så er avstanden \(L\) fra et punkt \(P\) til planet gitt ved formelen

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vektoren fra punktet \(A\) i planet til punktet \(P\) utenfor planet er gitt ved \(\lvec{AP}\). Den korteste avstanden \(L\) fra punktet \(P\) til planet er da gitt ved projeksjonslengden langs normalvektoren \(\vec{n}\), som er gitt ved formelen

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Eksempel 4#

Et plan \(\alpha\) har en normalvektor \(\vec{n} = [2, -1, 3]\) og et punkt \(A(1, 2, 3)\) ligger i planet.

Et punkt \(P(5, 3, 1)\) ligger utenfor planet.

Finn avstanden fra punktet \(P\) til planet \(\alpha\).

Avstanden er gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi har at

\[ \lvec{AP} = \lvec{OP} - \lvec{OA} = [5 - 1, 3 - 2, 1 - 3] = [4, 1, -2] \]

Prikkproduktet med normalvektoren er da

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = [4, 1, -2] \cdot [2, -1, 3] = 4\cdot 2 + 1\cdot(-1) + (-2)\cdot 3 = 8 - 1 - 6 = 1 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \]

Altså er avstanden fra \(P\) til \(\alpha\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|1|}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{14}}{14} \]

Hvis vi kjenner likningen til planet, så kan vi bruke den direkte til å finne avstanden fra et punkt til planet uten å finne et kjent punkt i som ligger i planet først.

Avstand fra punkt til plan på koordinatform#

Gitt et plan \(\alpha\) med likningen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

og et punkt \(P(x, y, z)\) utenfor planet, så er avstanden \(L\) fra punktet \(P\) til planet gitt ved formelen

\[ L = \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

La \(A(x_0, y_0, z_0)\) være et vilkårlig punkt i planet og \(P(x, y, z)\) være et punkt utenfor planet. La \(\vec{n} = [a, b, c]\) være normalvektoren til planet. Da har vi at

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Prikkproduktet i telleren er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AP} \cdot \vec{n} &= [x - x_0, y - y_0, z - z_0] \cdot [a, b, c] \\ \\ &= a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) \\ \\ &= ax + by + cz - (ax_0 + by_0 + cz_0) \\ \\ &= ax + by + cz + d \end{align*} \end{split}\]

Lengden av normalvektoren er gitt ved

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Dermed kan vi skrive om formelen for avstanden som

\[ L = \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Eksempel 5#

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ 2x - 3y + z - 6 = 0 \]

Finn avstanden fra punktet \(P(3, 2, 4)\) til planet \(\alpha\).

Fra likningen kan vi lese av at

\[ a = 2 \and b = -3 \and c = 1 \and d = -6 \]

Avstanden fra punktet \(P(3, 2, 4)\) til planet \(\alpha\) er da gitt ved formelen

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\ \\ &= \dfrac{|2\cdot 3 + (-3)\cdot 2 + 1\cdot 4 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} \\ \\ &= \dfrac{|6 - 6 + 4 - 6|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} \\ \\ &= \dfrac{|-2|}{\sqrt{14}} = \dfrac{2}{\sqrt{14}} \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{14}}{7} \end{align*} \end{split}\]

En linje \(\ell\) med retningsvektor \(\vec{v}\) er parallell med et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec{n}\) dersom

\[ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \]

Avstand fra linje til plan#

2026-08-17T17:55:18.394322 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

Gitt at en linje \(\ell\) er parallell med et plan \(\alpha\), så er avstanden \(L\) fra linja til planet gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

der \(A\) er et punkt i planet og \(P\) er et punkt på linja, og \(\vec{n}\) er en normalvektor til planet.

Dette er egentlig bare en anvendelse av formelen for avstanden fra et punkt til et plan.

Eksempel 6#

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ 2x - 3y + z - 2 = 0 \]

En linje \(\ell\) er gitt ved

\[\begin{split} \vec{r}(t) = \mqty[3t + 1 \\ 2t + 2 \\ 3] \end{split}\]

Finn avstanden fra linja \(\ell\) til planet \(\alpha\).

Vi finner ett punkt på linja \(\ell\) ved å sette \(t = 0\):

\[\begin{split} \lvec{OP} = \vec{r}(0) = \mqty[1 \\ 2 \\ 3] \end{split}\]

Så finner vi et punkt \(A\) i planet \(\alpha\). Vi kan for eksempel sette \(x = 0\) og \(y = 0\), som gir at \(z = 2\). Altså kan vi bruke punktet \(A(0, 0, 2)\) i planet. Da får vi at

\[\begin{split} \lvec{AP} = \lvec{OP} - \lvec{OA} = \mqty[1 \\ 2 \\ 3] - \mqty[0 \\ 0 \\ 2] = \mqty[1 \\ 2 \\ 1] \end{split}\]

Normalvektoren til planet \(\alpha\) er gitt ved koeffisientene i likningen, altså \(\vec{n} = [2, -3, 1]\).

Prikkproduktet mellom \(\lvec{AP}\) og \(\vec{n}\) er da

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = [1, 2, 1] \cdot [2, -3, 1] = 1\cdot 2 + 2\cdot(-3) + 1\cdot 1 = 2 - 6 + 1 = -3 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

Altså er avstanden fra linja \(\ell\) til planet \(\alpha\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|-3|}{\sqrt{14}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{14} \]

Avstand fra plan til plan#

2026-08-04T07:44:33.998509 image/svg+xml Matplotlib v3.10.8, https://matplotlib.org/

La \(\alpha\) og \(\beta\) være to parallelle plan med normalvektorer \(\vec{n}_\alpha\) og \(\vec{n}_\beta\). La \(A\) være et punkt i planet \(\alpha\) og \(B\) være et punkt i planet \(\beta\).

Da er avstanden \(L\) mellom de to planene gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}_\alpha|}{\abs{\vec{n}_\alpha}} = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}_\beta|}{\abs{\vec{n}_\beta}} \]

Igjen, dette er bare samme formel som avstanden fra et punkt til et plan!

Eksempel 8#

Likningene til to parallelle plan \(\alpha\) og \(\beta\) er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \alpha: & \, 2x - 3y + z - 6 = 0 \\ \\ \beta: & \, 2x - 3y + z - 2 = 0 \end{align*} \end{split}\]

Fra koeffisientene til likningene til de to planene kan vi se at begge har normalvektoren

\[ \vec{n} = [2, -3, 1] \]

Vi trenger ett punkt i \(\alpha\) og ett punkt i \(\beta\). Vi kan sette \(x = y = 0\) i begge likninger for å finne et punkt i hvert plan.

For \(\alpha\)-planet, får vi

\[ 2\cdot 0 - 3 \cdot 0 + z - 6 = 0 \liff z = 6 \liff A(0, 0, 6) \in \alpha \]

For \(\beta\)-planet, får vi

\[ 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + z - 2 = 0 \liff z = 2 \liff B(0, 0, 2) \in \beta \]

Vektoren som peker fra punktet \(A\) i \(\alpha\) til punktet \(B\) i \(\beta\) er da

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [0 - 0, 0 - 0, 2 - 6] = [0, 0, -4] \]

Skalarproduktet med normalvektoren til planene er da

\[ \lvec{AB} \cdot \vec{n} = [0, 0, -4] \cdot [2, -3, 1] = 0 + 0 + (-4) \cdot 1 = -4 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

Altså er avstanden mellom de to planene gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|-4|}{\sqrt{14}} = \dfrac{4}{\sqrt{14}} = \dfrac{2\sqrt{14}}{7} \]

Skjæringer#

Skjæring mellom linje og plan#

Så lenge en linje ikke er parallell med et plan, så vil linja og planet skjære hverandre i ett punkt.

Strategi: Skjæring mellom linje og plan#

2026-08-08T10:58:16.205261 image/svg+xml Matplotlib v3.10.8, https://matplotlib.org/

Gitt en linje \(\ell\) med posisjonsvektoren

\[ \vec{r}_\ell(t) = [x(t), y(t), z(t)] \]

og et plan \(\alpha\) med likningen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

så finner vi skjæringspunktet mellom linja og planet ved å finne \(t\) slik at

\[ ax(t) + by(t) + cz(t) + d = 0 \]

Eksempel 7#

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ \alpha : x + 2y + z - 5 = 0 \]

En linje \(\ell\) er gitt ved posisjonsvektoren

\[ \vec{r}_\ell(t) = [3t + 4, t + 5, t + 3] \]

Finn skjæringspunktet mellom linja \(\ell\) og planet \(\alpha\).

Vi setter inn posisjonsvektoren til linja inn i likningen til planet og løser for \(t\):

\[ (3t + 4) + 2(t + 5) + (t + 3) - 5 = 0 \]
\[ 3t + 4 + 2t + 10 + t + 3 - 5 = 0 \]
\[ 6t + 12 = 0 \]
\[ t = -2 \]

Så regner vi ut \(\vec{r}_\ell(-2)\) for å finne skjæringspunktet:

\[ \vec{r}_\ell(-2) = [3(-2) + 4, -2 + 5, -2 + 3] = [-6 + 4, 3, 1] = [-2, 3, 1] \]

Altså er skjæringspunktet mellom linja \(\ell\) og planet \(\alpha\) gitt ved punktet \(P(-2, 3, 1)\).

Skjæring mellom to plan#

Når to plan skjærer hverandre, så får vi en skjæringslinje.

Strategi: Skjæring mellom to plan#

2026-08-17T17:55:20.150324 image/svg+xml Matplotlib v3.9.1, https://matplotlib.org/

Gitt et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec{n}_\alpha\) og et plan \(\beta\) med normalvektor \(\vec{n}_\beta\), der normalvektorene ikke er parallelle, så vil skjæringslinja \(\ell\) mellom de to planene ha retningsvektor

\[ \vec{v}_\ell = \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta \]

Gitt et punkt \(A\) som ligger i begge plan, er en parameterframstilling for skjæringslinja \(\ell\) gitt ved

\[ \vec{r}_\ell(t) = \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t \]

Eksempel 9#

To plan \(\alpha\) og \(\beta\) er gitt ved likningene

\[\begin{split} \begin{align*} \alpha~&: \, 3x - y + 2z - 1 = 0 \\ \\ \beta~&: \, 2y - z - 4 = 0 \end{align*} \end{split}\]

Punktet \(A(1, 2, 0)\) ligger i begge plan.

Finn en parameterframstilling for skjæringslinja \(\ell\) mellom de to planene.

Først kan vi lese av fra planlikningene at normalvektorene er

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{n}_\alpha &= [3, -1, 2] \\ \\ \vec{n}_\beta &= [0, 2, -1] \end{align*} \end{split}\]

En retningsvektor for skjæringslinja \(\ell\) mellom de to planene er parallell med kryssproduktet av normalvektorene:

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty| -1 & 2 \\ 2 & -1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|3 & 2 \\ 0 & -1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|3 & -1 \\ 0 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-3) - \vec{e}_y \cdot (-3) + \vec{e}_z \cdot (6) \\ \\ &= [-3, 3, 6] \\ \\ &= (-3) \cdot [1, -1, -2] \end{align*} \end{split}\]

Vi kan derfor velge retningsvektoren til å være

\[ \vec{v}_\ell = [1, -1, -2] \]

En parameterframstilling for skjæringslinja er dermed

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}_\ell(t) &= \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t \\ \\ &= \mqty[1, 2, 0] + \mqty[1, -1, -2] \cdot t \\ \\ &= \mqty[1 + t, 2 - t, -2t] \\ \end{align*} \end{split}\]