Plan

4. Plan#

utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Et plan er definert på én av tre måter:

Ved ett punkt \(A\) og en normalvektor \(\vec{n}\) som står vinkelrett på planet
Ved tre punkter \(A\), \(B\) og \(C\) som ikke ligger på samme rette linje.
To ikke-parallelle vektorer som ligger i planet og ett punkt \(A\) i planet

Normalvektoren til et plan#

Gitt tre punkter \(A\), \(B\) og \(C\) i et plan \(\alpha\), så er en normalvektor \(\vec{n}\) til planet gitt ved

\[ \vec{n} = \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Alle vektorer som er parellelle med \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\) er også en normalvektor til planet.

Eksempel 1#

Punktene \(A(1, 2, 3)\), \(B(2, 3, 1)\) og \(C(3, 1, 2)\) ligger i et plan \(\alpha\).

Finn en normalvektor til planet.

Vi finner først vektorene \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}\):

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [2 - 1, 3 - 2, 1 - 3] = [1, 1, -2] \]

\[ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [3 - 1, 1 - 2, 2 - 3] = [2, -1, -1] \]

Så regner vi ut en normalvektor ved å ta kryssproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \mqty| 1 & -2 \\ -1 & -1| - \vec e_y \cdot \mqty| 1 & -2 \\ 2 & -1| + \vec e_z \cdot \mqty| 1 & 1 \\ 2 & -1| \\ \\ &= -3 \vec{e}_x - 3 \vec{e}_y - 3 \vec{e}_z \\ \\ &= [-3, -3, -3] \\ \\ &= (-3) \cdot [1, 1, 1] \end{align*} \end{split}\]

Alle vektorer som står normalt på planet er regnet som en normalvektor til planet. En normalvektor her vil derfor være

\[ \vec{n} = [1, 1, 1] \]

Planlikningen#

Gitt et punkt \(A\) og en normalvektor \(\vec{n}\) til et plan \(\alpha\), så vil alle punkter \(P\) i planet tilfredsstille likningen

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]

På koordinatform med en normalvektor \(\vec{n} = [a, b, c]\) og et punkt \(A(x_0, y_0, z_0)\) i planet, så vil alle punkter \(P(x, y, z)\) i planet tilfredsstille en likning på formen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

Siden både \(A\) og \(P\) ligger i planet, vil \(\lvec{AP}\) være parallell med planet, og dermed ortogonal med en normalvektor \(\vec n\) til planet. Dermed må skalarproduktet bli lik 0. Altså

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]

Skriver vi vektoren \(\lvec{AP}\) i koordinatform som \([x - x_0, y - y_0, z - z_0]\), og normalvektoren som \(\vec{n} = [a, b, c]\), får vi

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = [x - x_0, y - y_0, z - z_0] \cdot [a, b, c] = 0 \]

Dette gir likningen

\[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \]

som vi kan skrive om til

\[ ax + by + cz - (ax_0 + by_0 + cz_0) = 0 \]

Vi definerer konstanten \(d\) som

\[ d = -(ax_0 + by_0 + cz_0) \]

slik at vi kan skrive likningen til planet på standardform:

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

Konstanten \(d\) har ikke en spesielt viktig betydning, men lar oss skrive likningen på en enkel måte.

Eksempel 2#

Et punkt \(A(2, 1, 1)\) ligger i et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec{n} = [1, 2, 3]\).

Finn likningen til planet.

Vi tenker oss et vilkårlig punkt \(P(x, y, z)\) i planet. Vektoren \(\lvec{AP}\) er da gitt ved

\[ \lvec{AP} = \lvec{OP} - \lvec{OA} = [x - 2, y - 1, z - 1] \]

Siden \(\lvec{AP}\) er parallell med planet, må

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ [x - 2, y - 1, z - 1] \cdot [1, 2, 3] = 0 \]

\[ (x - 2) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 \]

\[ x + 2y + 3z - 7 = 0 \]

Noen ganger må vi finne normalvektoren for å kunne finne likningen til et plan.

Eksempel 3#

Punktene \(A(1, 2, 3)\), \(B(2, 1, -1)\) og \(C(3, 1, 2)\) ligger i et plan \(\alpha\).

Bestem likningen til planet.

Vi må først finne en normalvektor for å bestemme likningen til planet. Normalvektoren kan vi lage ved å ta kryssproduktet av to vektorer som ligger i planet. Vi kan for eksempel bruke vektorene \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}\):

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [2 - 1, 1 - 2, -1 - 3] = [1, -1, -4] \]

\[ \lvec{AC} = \lvec{OC} - \lvec{OA} = [3 - 1, 1 - 2, 2 - 3] = [2, -1, -1] \]

Deretter finner vi en normalvektor \(\vec{n}\) ved å ta kryssproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & -1 & -4 \\ 2 & -1 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|-1 & -4 \\ -1 & -1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|1 & -4 \\ 2 & -1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|1 & -1 \\ 2 & -1| \\ \\ &= -3 \vec{e}_x - 7 \vec{e}_y + 1 \vec{e}_z \\ \\ &= [-3, -7, 1] \\ \\ &= (-1) \cdot [3, 7, -1] \end{align*} \end{split}\]

Altså kan vi bruke at \(\vec{n} = [3, 7, -1]\) som normalvektor til planet.

Nå tenker vi oss et vilkårlig punkt \(P(x, y, z)\) i planet. Vektoren \(\lvec{AP}\) er da gitt ved

\[ \lvec{AP} = \lvec{OP} - \lvec{OA} = [x - 1, y - 2, z - 3] \]

Siden \(\lvec{AP}\) er parallell med planet, må

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ [x - 1, y - 2, z - 3] \cdot [3, 7, -1] = 0 \]

\[ 3(x - 1) + 7(y - 2) - (z - 3) = 0 \]

som vi kan skrive om til:

\[ 3x + 7y - z - 6 = 0 \]

Avstander#

Avstander mellom plan og andre objekter bruker alle sammen den samme grunnideen: Avstand mellom punkt og plan. Alle de andre avstandene du vil se i dette kapittelet vil kunne reduseres til samme situasjon. Så derfor er det strengt bare én avstandsformel du møter her, selv om situasjonene på overflaten kan se annerledes ut. Vi starter med avstand mellom punkt og plan:

Avstand fra punkt til plan#

Gitt et plan \(\alpha\) med en normalvektor \(\vec{n}\) og et punkt \(A\) i planet, så er avstanden \(L\) fra et punkt \(P\) til planet gitt ved formelen

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Hvis vi roterer den interaktive figuren ovenfor, kan vi se at vektoren \(\lvec{AP}\) kan deles opp i en rettvinklet trekant der én del ligger parallelt med planet og én del ligger parallelt med normalvektoren \(\vec n\). Det er lengden av den delen som er parallell med normalvektoren vi ønsker oss. Kaller vi denne for \(L\) og tenker oss at vinkelen mellom \(\lvec{AP}\) og \(\vec n\) er \(\varphi\), kan vi ut ifra definisjonen av cosinus skrive:

\[ \cos \varphi = \frac{L}{\abs{\lvec{AP}}} \]

Dermed får vi at

\[ L = \abs{\lvec{AP}} \cdot \cos \varphi \]

Fra den geometriske formelen for skalarproduktet har vi at

\[ \lvec{AP} \cdot \vec n = \abs{\lvec{AP}} \cdot \abs{\vec n} \cdot \cos \varphi \]

Deler vi med lengden av normalvektoren \(\abs{\vec n}\) på hver side, får vi

\[ \dfrac{\lvec{AP} \cdot \vec{n}}{\abs{\vec{n}}} = \underbrace{\abs{\lvec{AP}} \cdot \cos \varphi}_{\displaystyle L} \]

Altså er avstanden \(L\) fra punktet \(P\) til planet gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Legg merke til at vi tar absoluttverdien av skalarproduktet fordi vinkelen mellom \(\lvec{AP}\) og \(\vec{n}\) kan være større enn \(90^\circ\), og vi ønsker alltid en positiv avstand.

Eksempel 4#

Et plan \(\alpha\) har en normalvektor \(\vec{n} = [2, -1, 3]\) og et punkt \(A(1, 2, 3)\) ligger i planet.

Et punkt \(P(5, 3, 1)\) ligger utenfor planet.

Finn avstanden fra punktet \(P\) til planet \(\alpha\).

Avstanden er gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi har at

\[ \lvec{AP} = \lvec{OP} - \lvec{OA} = [5 - 1, 3 - 2, 1 - 3] = [4, 1, -2] \]

Prikkproduktet med normalvektoren er da

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = [4, 1, -2] \cdot [2, -1, 3] = 4\cdot 2 + 1\cdot(-1) + (-2)\cdot 3 = 8 - 1 - 6 = 1 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \]

Altså er avstanden fra \(P\) til \(\alpha\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|1|}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{14}}{14} \]

Hvis vi kjenner likningen til planet, så kan vi bruke den direkte til å finne avstanden fra et punkt til planet uten å finne et kjent punkt i som ligger i planet først.

Avstand fra punkt til plan på koordinatform#

Gitt et plan \(\alpha\) med likningen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

og et punkt \(P(x, y, z)\) utenfor planet, så er avstanden \(L\) fra punktet \(P\) til planet gitt ved formelen

\[ L = \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

La \(A(x_0, y_0, z_0)\) være et vilkårlig punkt i planet og \(P(x, y, z)\) være et punkt utenfor planet. La \(\vec{n} = [a, b, c]\) være normalvektoren til planet. Da har vi at

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Prikkproduktet i telleren er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AP} \cdot \vec{n} &= [x - x_0, y - y_0, z - z_0] \cdot [a, b, c] \\ \\ &= a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) \\ \\ &= ax + by + cz - (ax_0 + by_0 + cz_0) \\ \\ &= ax + by + cz + d \end{align*} \end{split}\]

Lengden av normalvektoren er gitt ved

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Dermed kan vi skrive om formelen for avstanden som

\[ L = \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Eksempel 5#

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ 2x - 3y + z - 6 = 0 \]

Finn avstanden fra punktet \(P(3, 2, 4)\) til planet \(\alpha\).

Fra likningen kan vi lese av at

\[ a = 2 \and b = -3 \and c = 1 \and d = -6 \]

Avstanden fra punktet \(P(3, 2, 4)\) til planet \(\alpha\) er da gitt ved formelen

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\ \\ &= \dfrac{|2\cdot 3 + (-3)\cdot 2 + 1\cdot 4 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} \\ \\ &= \dfrac{|6 - 6 + 4 - 6|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} \\ \\ &= \dfrac{|-2|}{\sqrt{14}} = \dfrac{2}{\sqrt{14}} \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{14}}{7} \end{align*} \end{split}\]

En linje \(\ell\) med retningsvektor \(\vec{v}\) er parallell med et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec{n}\) dersom

\[ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \]

Avstand fra linje til plan#

Gitt at en linje \(\ell\) er parallell med et plan \(\alpha\), så er avstanden \(L\) fra linja til planet gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

der \(A\) er et punkt i planet og \(P\) er et punkt på linja, og \(\vec{n}\) er en normalvektor til planet.

Merk at linja \(\ell\) er parallell med planet \(\alpha\) dersom retningsvektoren til linja er ortogonal med normalvektoren til planet, altså dersom

\[ \vec v \cdot \vec n = 0 \]

Dette er egentlig bare en anvendelse av formelen for avstanden fra et punkt til et plan.

Eksempel 6#

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ 2x - 3y + z - 2 = 0 \]

En linje \(\ell\) er gitt ved

\[ \vec{r}(t) = \mqty[3t + 1, 2t + 2, 3] \]

Finn avstanden fra linja \(\ell\) til planet \(\alpha\).

Vi finner ett punkt på linja \(\ell\) ved å sette \(t = 0\):

\[ \lvec{OP} = \vec{r}(0) = \mqty[1, 2, 3] \]

Så finner vi et punkt \(A\) i planet \(\alpha\). Vi kan for eksempel sette \(x = 0\) og \(y = 0\), som gir at \(z = 2\). Altså kan vi bruke punktet \(A(0, 0, 2)\) i planet. Da får vi at

\[ \lvec{AP} = \lvec{OP} - \lvec{OA} = \mqty[1, 2, 3] - \mqty[0, 0, 2] = \mqty[1, 2, 1] \]

Normalvektoren til planet \(\alpha\) er gitt ved koeffisientene i likningen, altså \(\vec{n} = [2, -3, 1]\).

Prikkproduktet mellom \(\lvec{AP}\) og \(\vec{n}\) er da

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = [1, 2, 1] \cdot [2, -3, 1] = 1\cdot 2 + 2\cdot(-3) + 1\cdot 1 = 2 - 6 + 1 = -3 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

Altså er avstanden fra linja \(\ell\) til planet \(\alpha\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|-3|}{\sqrt{14}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{14} \]

Avstand fra plan til plan#

La \(\alpha\) og \(\beta\) være to parallelle plan med normalvektorer \(\vec{n}_\alpha\) og \(\vec{n}_\beta\).

La \(A\) være et punkt i planet \(\alpha\) og \(B\) være et punkt i planet \(\beta\).

Da er avstanden \(L\) mellom de to planene gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}_\alpha|}{\abs{\vec{n}_\alpha}} = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}_\beta|}{\abs{\vec{n}_\beta}} \]

Igjen, dette er bare samme formel som avstanden fra et punkt til et plan!

Eksempel 7#

Likningene til to parallelle plan \(\alpha\) og \(\beta\) er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \alpha: & \, 2x - 3y + z - 6 = 0 \\ \\ \beta: & \, 2x - 3y + z - 2 = 0 \end{align*} \end{split}\]

Fra koeffisientene til likningene til de to planene kan vi se at begge har normalvektoren

\[ \vec{n} = [2, -3, 1] \]

Vi trenger ett punkt i \(\alpha\) og ett punkt i \(\beta\). Vi kan sette \(x = y = 0\) i begge likninger for å finne et punkt i hvert plan.

For \(\alpha\)-planet, får vi

\[ 2\cdot 0 - 3 \cdot 0 + z - 6 = 0 \liff z = 6 \liff A(0, 0, 6) \in \alpha \]

For \(\beta\)-planet, får vi

\[ 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + z - 2 = 0 \liff z = 2 \liff B(0, 0, 2) \in \beta \]

Vektoren som peker fra punktet \(A\) i \(\alpha\) til punktet \(B\) i \(\beta\) er da

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [0 - 0, 0 - 0, 2 - 6] = [0, 0, -4] \]

Skalarproduktet med normalvektoren til planene er da

\[ \lvec{AB} \cdot \vec{n} = [0, 0, -4] \cdot [2, -3, 1] = 0 + 0 + (-4) \cdot 1 = -4 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

Altså er avstanden mellom de to planene gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|-4|}{\sqrt{14}} = \dfrac{4}{\sqrt{14}} = \dfrac{2\sqrt{14}}{7} \]

Avstanden mellom to ikke-parallelle linjer#

Dersom to linjer \(\ell\) og \(m\) er ikke-parallelle og ikke skjærer hverandre, vil de ligge i to forskjellige plan som er parallelle. Avstanden mellom de to linjene er derfor lik avstanden mellom de to parallelle planene som inneholder linjene.

Avstand mellom to ikke-parallelle linjer#

Gitt to ikke-parallelle linjer \(\ell\) og \(m\) som ikke skjærer hverandre, er avstanden mellom dem lik avstanden mellom de to parallelle planene som inneholder linjene.

Hvis linja \(\ell\) inneholder et punkt \(A\) og har en retningsvektor \(\vec{v}_\ell\) og linja \(m\) inneholder et punkt \(B\) og har en retningsvektor \(\vec{v}_m\), så er en normalvektor som står normalt på begge linjene samtidig gitt ved

\[ \vec{n} = \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m \]

Da er den korteste avstanden mellom de to linjene gitt ved

\[ L = \dfrac{\abs{\lvec{AB} \cdot \vec{n}}}{\abs{\vec{n}}} \]

Eksempel 8#

En linje \(\ell\) går gjennom punktet \(A(3, 0, 4)\) og har en retningsvektor \(\vec{v}_\ell = [2, 1, 1]\).

En linje \(m\) går gjennom punktet \(B(4, 2, -1)\) og har en retningsvektor \(\vec{v}_m = [1, 2, 1]\).

Finn den korteste avstanden mellom \(\ell\) og \(m\).

Først finner vi en vektor \(\vec{n}\) som står normalt på begge linjer:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{n} &= \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m \\ \\ &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty|1 & 1 \\ 2 & 1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|2 & 1 \\ 1 & 1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|2 & 1 \\ 1 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \vec{e}_y \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{e}_z \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 - 2) - \vec{e}_y \cdot (2 - 1) + \vec{e}_z \cdot (4 - 1) \\ \\ &= -\vec{e}_x - \vec{e}_y + 3\vec{e}_z \\ \\ &= [-1, -1, 3] \end{align*} \end{split}\]

Vi trenger en vektor som peker fra et punkt på linja \(\ell\) til et punkt på linja \(m\). Vi velger vektoren \(\lvec{AB}\):

\[ \lvec{AB} = [4 - 3, 2 - 0, -1 - 4] = [1, 2, -5] \]

Den korteste avstanden mellom linjene \(\ell\) og \(m\) er da gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi regner ut prikkproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \cdot \vec{n} &= [1, 2, -5] \cdot [-1, -1, 3] \\ \\ &= 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + (-5) \cdot 3 \\ \\ &= -1 - 2 - 15 \\ \\ &= -18 \end{align*} \end{split}\]

så regner vi ut lengden av vektoren \(\vec{n}\):

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} \]

Dermed er den korteste avstanden mellom linjene \(\ell\) og \(m\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|-18|}{\sqrt{11}} = \dfrac{18}{\sqrt{11}} \]

Skjæringer#

Skjæring mellom linje og plan#

Så lenge en linje ikke er parallell med et plan, så vil linja og planet skjære hverandre i ett punkt.

Strategi: Skjæring mellom linje og plan#

Gitt en linje \(\ell\) med posisjonsvektoren

\[ \vec{r}_\ell(t) = [x(t), y(t), z(t)] \]

og et plan \(\alpha\) med likningen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

så finner vi skjæringspunktet mellom linja og planet ved å finne \(t\) slik at

\[ ax(t) + by(t) + cz(t) + d = 0 \]

Eksempel 9#

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ \alpha : x + 2y + z - 5 = 0 \]

En linje \(\ell\) er gitt ved posisjonsvektoren

\[ \vec{r}_\ell(t) = [3t + 4, t + 5, t + 3] \]

Finn skjæringspunktet mellom linja \(\ell\) og planet \(\alpha\).

Vi setter inn posisjonsvektoren til linja inn i likningen til planet og løser for \(t\):

\[ \underbrace{(3t + 4)}_{\displaystyle x} + 2 \cdot \underbrace{(t + 5)}_{\displaystyle y} + \underbrace{(t + 3)}_{\displaystyle z} - 5 = 0 \]

\[ 3t + 4 + 2t + 10 + t + 3 - 5 = 0 \]

\[ 6t + 12 = 0 \]

\[ t = -2 \]

Så regner vi ut \(\vec{r}_\ell(-2)\) for å finne skjæringspunktet:

\[ \vec{r}_\ell(-2) = [3(-2) + 4, -2 + 5, -2 + 3] = [-6 + 4, 3, 1] = [-2, 3, 1] \]

Altså er skjæringspunktet mellom linja \(\ell\) og planet \(\alpha\) gitt ved punktet \(P(-2, 3, 1)\).

Skjæring mellom to plan#

Når to plan skjærer hverandre, så får vi en skjæringslinje.

Strategi: Skjæring mellom to plan#

Gitt et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec{n}_\alpha\) og et plan \(\beta\) med normalvektor \(\vec{n}_\beta\), der normalvektorene ikke er parallelle, så vil skjæringslinja \(\ell\) mellom de to planene ha retningsvektor

\[ \vec{v}_\ell = \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta \]

Gitt et punkt \(A\) som ligger i begge plan, er en parameterframstilling for skjæringslinja \(\ell\) gitt ved

\[ \vec{r}_\ell(t) = \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t \]

Eksempel 10#

To plan \(\alpha\) og \(\beta\) er gitt ved likningene

\[\begin{split} \begin{align*} \alpha~&: \, 3x - y + 2z - 1 = 0 \\ \\ \beta~&: \, 2y - z - 4 = 0 \end{align*} \end{split}\]

Punktet \(A(1, 2, 0)\) ligger i begge plan.

Finn en parameterframstilling for skjæringslinja \(\ell\) mellom de to planene.

Først kan vi lese av fra planlikningene at normalvektorene er

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{n}_\alpha &= [3, -1, 2] \\ \\ \vec{n}_\beta &= [0, 2, -1] \end{align*} \end{split}\]

En retningsvektor for skjæringslinja \(\ell\) mellom de to planene er parallell med kryssproduktet av normalvektorene:

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot \mqty| -1 & 2 \\ 2 & -1| - \vec{e}_y \cdot \mqty|3 & 2 \\ 0 & -1| + \vec{e}_z \cdot \mqty|3 & -1 \\ 0 & 2| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-3) - \vec{e}_y \cdot (-3) + \vec{e}_z \cdot (6) \\ \\ &= [-3, 3, 6] \\ \\ &= (-3) \cdot [1, -1, -2] \end{align*} \end{split}\]

Vi kan derfor velge retningsvektoren til å være

\[ \vec{v}_\ell = [1, -1, -2] \]

En parameterframstilling for skjæringslinja er dermed

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}_\ell(t) &= \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t \\ \\ &= \mqty[1, 2, 0] + \mqty[1, -1, -2] \cdot t \\ \\ &= \mqty[1 + t, 2 - t, -2t] \\ \end{align*} \end{split}\]

Plan

Innhold

4. Plan#

Normalvektoren til et plan#

Eksempel 1#

Planlikningen#

Eksempel 2#

Eksempel 3#

Avstander#

Avstand fra punkt til plan#

Eksempel 4#

Avstand fra punkt til plan på koordinatform#

Eksempel 5#

Avstand fra linje til plan#

Eksempel 6#

Avstand fra plan til plan#

Eksempel 7#

Avstanden mellom to ikke-parallelle linjer#

Avstand mellom to ikke-parallelle linjer#

Eksempel 8#

Skjæringer#

Skjæring mellom linje og plan#

Strategi: Skjæring mellom linje og plan#

Eksempel 9#

Skjæring mellom to plan#

Strategi: Skjæring mellom to plan#

Eksempel 10#