Plan: Oppgaver

Plan: Oppgaver#

Oppgave 1#

a)

Om et plan \(\alpha\) får du vite at

  • \(\vec{n} = [2, 0, 1]\) er en normalvektor til planet

  • \(A(0, 1, 3)\) er et punkt i planet

Finn likningen til planet.

\[ 2x + z - 3 = 0 \]

La \(P(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 0, y - 1, z - 3] \cdot [2, 0, 1] = 0 \]
\[ 2x + 0 \cdot (y - 1) + 1 \cdot (z - 3) = 0 \]
\[ 2x + z - 3 = 0 \]
b)

Om et plan \(\beta\) får du vite at

  • \(\vec{n} = [0, 0, 1]\) er en normalvektor til planet

  • \(B(1, 2, 3)\) er et punkt i planet

Bestem likningen til planet.

\[ z - 3 = 0 \]

Vi lar \(P(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er

\[ \lvec{BP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 1, y - 2, z - 3] \cdot [0, 0, 1] = 0 \]
\[ 0 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 3) = 0 \]
\[ z - 3 = 0 \]
c)

Om et plan \(\gamma\) får du vite at

  • \(\vec{n} = [-1, 2, 0]\) er en normalvektor til planet

  • \(C(1, 2, 3)\) er et punkt i planet

Finn likningen til planet.

\[ -x + 2y - 3 = 0 \]

La \(P(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er

\[ \lvec{CP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 1, y - 2, z - 3] \cdot [-1, 2, 0] = 0 \]
\[ -(x - 1) + 2(y - 2) + 0 \cdot (z - 3) = 0 \]
\[ -x + 1 + 2y - 4 = 0 \]
\[ -x + 2y - 3 = 0 \]
d)

Om et plan \(\psi\) får du vite at

  • \(\vec{n} = [1, -1, 1]\) er en normalvektor til planet

  • \(D(1, 2, 3)\) er et punkt i planet

Bestem likningen til planet.

\[ x - y + z - 2 = 0 \]

La \(P(x, y, z)\) være et vilkårlig punkt i planet. Da er

\[ \lvec{DP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 1, y - 2, z - 3] \cdot [1, -1, 1] = 0 \]
\[ (x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0 \]
\[ x - 1 - y + 2 + z - 3 = 0 \]
\[ x - y + z - 2 = 0 \]

Oppgave 2#

a)

Punktene \(A(4, 0, 1)\), \(B(1, 2, 3)\) og \(C(0, 1, 2)\) ligger i et plan \(\alpha\).

Finn likningen til planet.

\[ -y + z - 1 = 0 \]

Vi trenger først å finne en normalvektor til planet. En normalvektor vil være parallell med kryssproduktet \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\). Vi finner først de to vektorene:

\[ \lvec{AB} = [1 - 4, 2 - 0, 3 - 1] = [-3, 2, 2] \]
\[ \lvec{AC} = [0 - 4, 1 - 0, 2 - 1] = [-4, 1, 1] \]

Så finner vi kryssproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -3 & 2 & 2 \\ -4 & 1 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - \vec{e}_y \cdot (-3 \cdot 1 - 2 \cdot (-4)) + \vec{e}_z \cdot (-3 \cdot 1 - 2 \cdot (-4)) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (2 - 2) - \vec{e}_y \cdot (-3 + 8) + \vec{e}_z \cdot (-3 + 8) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot 0 - \vec{e}_y \cdot 5 + \vec{e}_z \cdot 5 \\ \\ &= [0, -5, 5] \\ \\ &= 5 \cdot [0, -1, 1] \end{align*} \end{split}\]

Altså kan vi velge \(\vec{n} = [0, -1, 1]\) som en normalvektor til planet. Vi kan nå bruke punktet \(A(4, 0, 1)\) for å finne likningen til planet:

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 4, y - 0, z - 1] \cdot [0, -1, 1] = 0 \]
\[ 0 \cdot (x - 4) - 1 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 1) = 0 \]
\[ -y + z - 1 = 0 \]
b)

Punktene \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 0)\) og \(C(0, 0, 1)\) ligger i et plan \(\beta\).

Bestem likningen til planet.

\[ x + y + z - 1 = 0 \]

Vi finner først en normalvektor. En slik vektor er parallell med \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\):

\[ \lvec{AB} = [0 - 1, 1 - 0, 0 - 0] = [-1, 1, 0] \]
\[ \lvec{AC} = [0 - 1, 0 - 0, 1 - 0] = [-1, 0, 1] \]
\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{e}_y \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \vec{e}_z \cdot (-1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 - 0) - \vec{e}_y \cdot (-1 - 0) + \vec{e}_z \cdot (0 + 1) \\ \\ &= \vec{e}_x + \vec{e}_y + \vec{e}_z \\ \\ &= [1, 1, 1] \end{align*} \end{split}\]

Altså er en normalvektor til planet \(\vec{n} = [1, 1, 1]\). Vi kan nå bruke punktet \(A(1, 0, 0)\) for å finne likningen til planet:

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 1, y - 0, z - 0] \cdot [1, 1, 1] = 0 \]
\[ (x - 1) + (y - 0) + (z - 0) = 0 \]
\[ x + y + z - 1 = 0 \]
c)

Punktene \(A(-2, 1, 0)\), \(B(3, 0, 0)\) og \(C(0, -1, 1)\) ligger i et plan \(\gamma\).

Finn likningen til planet.

\[ x + 5y + 8z - 3 = 0 \]

Vi starter med å finne en normalvektor til planet. En slik vektor er parallell med \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\):

\[ \lvec{AB} = [3 - (-2), 0 - 1, 0 - 0] = [5, -1, 0] \]
\[ \lvec{AC} = [0 - (-2), -1 - 1, 1 - 0] = [2, -2, 1] \]
\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 5 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot ((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) - \vec{e}_y \cdot (5 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \vec{e}_z \cdot (5 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-1 - 0) - \vec{e}_y \cdot (5 - 0) + \vec{e}_z \cdot (-10 + 2) \\ \\ &= -\vec{e}_x - 5 \vec{e}_y - 8\vec{e}_z \\ \\ &= [-1, -5, -8] \\ \\ &= (-1) \cdot [1, 5, 8] \\ \end{align*} \end{split}\]

Altså er \(\vec{n} = [1, 5, 8]\) en normalvektor til planet. Vi kan nå bruke punktet \(A(-2, 1, 0)\) for å finne likningen til planet:

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - (-2), y - 1, z - 0] \cdot [1, 5, 8] = 0 \]
\[ (x + 2) + 5(y - 1) + 8(z - 0) = 0 \]
\[ x + 2 + 5y - 5 + 8z = 0 \]
\[ x + 5y + 8z - 3 = 0 \]

Oppgave 3#

Planet \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ 2x - y + 3z - 5 = 0 \]
a)

Finn en normalvektor til planet.

En normalvektor kan leses av fra planlikningen ved å se på koeffisientene til \(x\), \(y\) og \(z\).

\[ \vec{n} = [2, -1, 3] \]

Fra koeffisientene i planlikningen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

kan vi lese at

\[ a = 2 \and b = -1 \and c = 3 \]

Normalvektoren er da gitt ved

\[ \vec{n} = [a, b, c] = [2, -1, 3] \]
b)

Finn et punkt som ligger i planet.

Du kan sette to av koordinatene til punktet lik \(0\), og deretter bruke planlikningen til å løse for den siste koordinaten.

For eksempel: \(\left(0, 0, \dfrac{5}{3}\right)\)

For å finne et punkt i planet, kan vi sette to av koordinatene lik \(0\). For eksempel kan vi sette \(x = y = 0\). Med planlikningen får vi da:

\[ 2 \cdot 0 - 0 + 3z - 5 = 0 \]
\[ 3z - 5 = 0 \liff z = \dfrac{5}{3} \]

Altså er punktet \(\left(0, 0, \dfrac{5}{3}\right)\) et punkt som ligger i planet.

c)

Avgjør om punktet \(A(4, 3, 1)\) ligger i planet.

Koordinatene til punktet må oppfylle planlikningen for at punktet skal ligge i planet.

Punktet ligger ikke i planet.

Vi setter inn koordinatene til \(A\) i planlikningen og sjekker om likningen er tilfredsstilt:

\[ 2 \cdot 4 - 3 + 3 \cdot 1 - 5 = 8 - 3 + 3 - 5 = 3 \neq 0 \]

Altså er ikke planlikningen tilfredsstilt, så punktet \(A\) ligger ikke i planet.

Oppgave 4#

Et plan \(\beta\) er gitt ved likningen

\[ -x + 3y - 2z + 6 = 0 \]
a)

Finn en normalvektor til planet.

\[ \vec{n} = [-1, 3, -2] \]

For en planlikning på formen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

er en normalvektor gitt ved \(\vec{n} = [a, b, c]\). I dette tilfellet er

\[ a = -1 \and b = 3 \and c = -2 \]

så en normalvektor til planet er gitt ved

\[ \vec{n} = [-1, 3, -2] \]
b)

Finn et punkt som ligger i planet.

For eksempel: \((0, 0, 3)\)

Vi setter to av koordinatene lik \(0\) i planlikningen, og løser for den siste koordinaten. Vi setter \(x = y = 0\) som gir:

\[ -0 + 3 \cdot 0 - 2z + 6 = 0 \]

som gir

\[ 2z = 6 \liff z = 3 \]

Altså ligger punktet \((0, 0, 3)\) i planet.

c)

Avgjør om punktet \(A(1, 0, 4)\) ligger i planet.

Nei, \(A\) ligger ikke i planet.

Vi setter inn koordinatene til punktet \(A\) i planlikningen og sjekker om den er oppfylt:

\[ -1 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot 4 + 6 = -1 - 8 + 6 = -3 \neq 0 \]

Planlikningen er ikke oppfylt, så punktet \(A\) ligger ikke i planet.

Oppgave 5#

a)

Om et plan \(\alpha\) får du vite at

  • \(\vec{n} = [1, 4, 2]\) er en normalvektor til planet

  • \(A(1, 2, 3)\) er et punkt i planet

Finn avstanden fra punktet \(B(4, 5, 6)\) til planet \(\alpha\).

\[ L = \sqrt{21} \]

Gitt et punkt \(A\) i planet og et punkt \(B\) utenfor planet, så er avstanden fra planet til punktet gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi finner først vektoren \(\lvec{AB}\):

\[ \lvec{AB} = [4 - 1, 5 - 2, 6 - 3] = [3, 3, 3] \]

Deretter regner vi ut prikkproduktet \(\lvec{AB} \cdot \vec{n}\):

\[ \lvec{AB} \cdot \vec{n} = [3, 3, 3] \cdot [1, 4, 2] = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 3 + 12 + 6 = 21 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]

Altså er avstanden fra punktet \(B\) til planet \(\alpha\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AB} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|21|}{\sqrt{21}} = \sqrt{21} \]
b)

Om et plan \(\beta\) får du vite at

  • \(\vec{n} = [2, -1, 3]\) er en normalvektor til planet

  • \(C(1, 0, 2)\) er et punkt i planet

Bestem avstanden fra punktet \(D(1, -2, 1)\) til planet \(\beta\).

\[ L = \dfrac{\sqrt{14}}{14} \]

Gitt punktet \(C\) i planet og punktet \(D\) utenfor planet, så er avstanden fra \(D\) til planet gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{CD} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi finner først vektoren \(\lvec{CD}\):

\[ \lvec{CD} = [1 - 1, -2 - 0, 1 - 2] = [0, -2, -1] \]

Deretter regner vi ut prikkproduktet \(\lvec{CD} \cdot \vec{n}\):

\[ \lvec{CD} \cdot \vec{n} = [0, -2, -1] \cdot [2, -1, 3] = 0 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 = 0 + 2 - 3 = -1 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \]

Altså er avstanden fra punktet \(D\) til planet \(\beta\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{CD} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|-1|}{\sqrt{14}} = \dfrac{1}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{14}}{14} \]
c)

Om et plan \(\gamma\) får du vite at

  • \(\vec{n} = [0, 1, 1]\) er en normalvektor til planet.

  • \(E(0, 0, 0)\) er et punkt i planet

Finn avstanden fra punktet \(F(1, 5, 3)\) til planet \(\gamma\).

\[ L = 4\sqrt{2} \]

Gitt et punkt \(E\) i planet og et punkt \(F\) utenfor planet, så er avstanden fra \(F\) til planet gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{EF} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi finner først vektoren \(\lvec{EF}\):

\[ \lvec{EF} = [1 - 0, 5 - 0, 3 - 0] = [1, 5, 3] \]

Deretter regner vi ut prikkproduktet \(\lvec{EF} \cdot \vec{n}\):

\[ \lvec{EF} \cdot \vec{n} = [1, 5, 3] \cdot [0, 1, 1] = 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 0 + 5 + 3 = 8 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \]

Altså er avstanden fra punktet \(F\) til planet \(\gamma\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{EF} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|8|}{\sqrt{2}} = \dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \]

Oppgave 6#

a)

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ 4x - 2y + z - 6 = 0 \]

Finn avstanden fra punktet \(A(1, 0, 3)\) til planet \(\alpha\).

\[ L = \dfrac{\sqrt{21}}{21} \]

Vi bruker formelen

\[ L = \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

der

\[ a = 4 \and b = -2 \and c = 1 \and d = -6 \]

Vi setter inn koordinatene til punktet \(A(1, 0, 3)\):

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{|4 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 3 - 6|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2}} \\ \\ &= \dfrac{|4 + 0 + 3 - 6|}{\sqrt{16 + 4 + 1}} \\ \\ &= \dfrac{|1|}{\sqrt{21}} \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{21}}{21} \end{align*} \end{split}\]
b)

Et plan \(\beta\) er gitt ved likningen

\[ -2x + y + z + 4 = 0 \]

Finn avstanden fra punktet \(B(3, 2, 5)\) til planet \(\beta\).

\[ L = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \]

Vi bruker formelen

\[ L = \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

der

\[ a = -2 \and b = 1 \and c = 1 \and d = 4 \]

Vi setter inn koordinatene til punktet \(B(3, 2, 5)\) i formelen og regner ut:

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{|-2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 5 + 4|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2}} \\ \\ &= \dfrac{|-6 + 2 + 5 + 4|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} \\ \\ &= \dfrac{|5|}{\sqrt{6}} \\ \\ &= \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \end{align*} \end{split}\]
c)

Et plan \(\gamma\) er gitt ved likningen

\[ x + 2y - 3z + 2 = 0 \]

Finn avstanden fra punktet \(C(0, 1, 6)\) til planet \(\gamma\).

\[ L = \sqrt{14} \]

Vi bruker formelen

\[ L = \dfrac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

der

\[ a = 1 \and b = 2 \and c = -3 \and d = 2 \]

Vi setter inn koordinatene til punktet \(C(0, 1, 6)\) i formelen og regner ut:

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 6 + 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} \\ \\ &= \dfrac{|0 + 2 - 18 + 2|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} \\ \\ &= \dfrac{|-14|}{\sqrt{14}} \\ \\ &= \dfrac{14}{\sqrt{14}} \\ \\ &= \sqrt{14} \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 7#

Planet \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ -x + 2y - z + 3 = 0 \]
a)

Finn en normalvektor til planet.

\[ \vec{n} = [-1, 2, -1] \]

Fra planlikningen \(ax + by + cz + d = 0\), vil \(\vec{n} = [a, b, c]\) være en normalvektor til planet. Her er

\[ a = -1 \and b = 2 \and c = -1 \]

som betyr at en normalvektor er gitt ved:

\[ \vec{n} = [-1, 2, -1] \]
b)

Finn et punkt som ligger i \(\alpha\).

For eksempel \((0, 0, 3)\).

Vi setter to av koordinatene lik \(0\) og løser for den siste ved sette inn i planlikningen. Vi lar \(x = y = 0\) som gir:

\[ 0 + 2 \cdot 0 - z + 3 = 0 \liff -z + 3 = 0 \liff z = 3 \]

Altså er \((0, 0, 3)\) et punkt som ligger i \(\alpha\).

c)

Et annet plan \(\gamma\) er parallelt med planet \(\alpha\) og avstanden mellom de to planene er lik \(\sqrt{6}\).

Finn de to mulige likningene for planet \(\gamma\).

\[ -x + 2y - z + 2 = 0 \qeller -x + 2y - z + 4 = 0 \]

Siden \(\gamma \parallel \alpha\), så er \(\vec{n} = [-1, 2, -1]\) også en normalvektor for \(\gamma\). For å finne et punkt \(P\) som ligger i \(\gamma\), kan vi derfor gå ut ifra punktet \(A(0, 0 3)\) fra oppgave b og følge normalvektoren en avstand \(\sqrt{6}\) i hver sin retning langs normalvektoren.

De to punktene finner vi ved å følge en enhetsnormalvektor en avstand \(\sqrt{6}\) i hver retning:

\[ \lvec{OQ}_\pm = \lvec{OA} \pm \sqrt{6} \cdot \dfrac{\vec{n}}{\abs{\vec{n}}} \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]

Altså får vi

\[ \lvec{OQ}_\pm = \lvec{OA} \pm \sqrt{6} \cdot \dfrac{\vec{n}}{\sqrt{6}} = \lvec{OA} \pm \vec{n} \]

Vi regner ut de to mulige punktene:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ}_+ &= \lvec{OA} + \vec{n} \\ \\ &= [0, 0, 3] + [-1, 2, -1] \\ \\ &= [-1, 2, 2] \end{align*} \end{split}\]
\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ}_- &= \lvec{OA} - \vec{n} \\ \\ &= [0, 0, 3] - [-1, 2, -1] \\ \\ &= [1, -2, 4] \end{align*} \end{split}\]

Med det første punktet \(Q_+\) blir planlikningen til \(\gamma\) gitt ved:

\[ \lvec{Q_+P} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x + 1, y - 2, z - 2] \cdot [-1, 2, -1] = 0 \]
\[ -x + 2y - z + 2 = 0 \]

Med det andre punktet \(Q_-\) blir planlikningen til \(\gamma\) gitt ved:

\[ \lvec{Q_-P} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 1, y + 2, z - 4] \cdot [-1, 2, -1] = 0 \]
\[ -x + 2y - z - 2 = 0 \]

Oppgave 8#

Et plan \(\alpha\) har likningen

\[ 3x - 2y + z - 8 = 0 \]
a)

En linje \(\ell\) er parallell med planet og går gjennom punktet \(A(0, 0, 7)\).

Bestem avstanden mellom planet og linja.

\[ L = \dfrac{\sqrt{14}}{14} \]

Vi bruker formelen for avstanden mellom et punkt og et plan. Vi kan velge et punkt på linja \(\ell\), for eksempel punktet \(A(0, 0, 7)\). Avstanden mellom planet \(\alpha\) og punktet \(A\) er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{|3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 7 - 8|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}} \\ \\ &= \dfrac{|0 - 0 + 7 - 8|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} \\ \\ &= \dfrac{|-1|}{\sqrt{14}} \\ \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{14}} \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{14}}{14} \end{align*} \end{split}\]
b)

Et plan \(\beta\) er parallell med \(\alpha\) og inneholder punktet \(B(3, 1, -7)\).

Finn avstanden mellom \(\alpha\) og \(\beta\).

\[ L = \dfrac{4\sqrt{14}}{7} \]

Vi bruker formelen for avstanden fra punktet \(B\) til planet \(\alpha\):

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{|3 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-7) - 8|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}} \\ \\ &= \dfrac{|9 - 2 - 7 - 8|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} \\ \\ &= \dfrac{|-8|}{\sqrt{14}} \\ \\ &= \dfrac{8}{\sqrt{14}} \\ \\ &= \dfrac{4\sqrt{14}}{7} \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 9#

Et plan \(\alpha\) inneholder punktene \(A(2, 3, -7)\), \(B(-2, 1, -3)\) og \(C(3, 5, -5)\).

a)

Bestem likningen til \(\alpha\).

\[ 2x - 2y + z + 9 = 0 \]

Først finner vi en normalvektor til planet. En slik vektor er parallell med kryssproduktet \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\).

\[ \lvec{AB} = [-2 - 2, 1 - 3, -3 - (-7)] = [-4, -2, 4] \]
\[ \lvec{AC} = [3 - 2, 5 - 3, -5 - (-7)] = [1, 2, 2] \]
\[\begin{split} \lvec{AB} \times \lvec{AC} = \mqty[-4 \\ -2 \\ 4] \times \mqty[1 \\ 2 \\ 2] = \mqty[(-2)\cdot 2 - 4\cdot 2 \\ -( -4\cdot 2 - 4\cdot 1) \\ -4\cdot 2 - (-2)\cdot 1] = \mqty[-4 - 8 \\ -(-8 - 4) \\ -8 + 2] = \mqty[-12 \\ 12 \\ -6] = -6 \mqty[2 \\ -2 \\ 1] \end{split}\]

Altså er \(\vec{n} = [2, -2, 1]\) en normalvektor til planet. Vi kan nå bruke punktet \(A(2, 3, -7)\) for å finne likningen til planet:

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 2, y - 3, z - (-7)] \cdot [2, -2, 1] = 0 \]
\[ 2(x - 2) - 2(y - 3) + 1(z + 7) = 0 \]
\[ 2x - 4 - 2y + 6 + z + 7 = 0 \]
\[ 2x - 2y + z + 9 = 0 \]

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(P(3, 1, -2)\) og \(Q(6, 3, -4)\).

b)

Vis at \(\ell\) er parallell med \(\alpha\).

Retningsvektoren \(\vec{v}\) til linja og normalvektoren \(\vec{n}\) til tilfredsstiller at

\[ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \]

som betyr at linja og planet er parallelle.

En retningsvektor for linja er gitt ved

\[ \lvec{v} = \lvec{PQ} = [6 - 3, 3 - 1, -4 - (-2)] = [3, 2, -2] \]

Dersom linja \(\ell\) er parallell med \(\alpha\), så må

\[ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \]

Vi sjekker at dette kravet er oppfylt:

\[ [3, 2, -2] \cdot [2, -2, 1] = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 = 6 - 4 - 2 = 0 \]

Altså er linja \(\ell\) parallell med planet \(\alpha\).

c)

Bestem avstanden fra \(\ell\) til \(\alpha\).

\[ L = \dfrac{11}{3} \]

Punktet \(A(2, 3, -7)\) ligger i planet og punktet \(P(3, 1, -2)\) ligger på linja. Avstanden fra linja til planet er da gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi finner først vektoren \(\lvec{AP}\):

\[ \lvec{AP} = [3 - 2, 1 - 3, -2 - (-7)] = [1, -2, 5] \]

Deretter regner vi ut prikkproduktet \(\lvec{AP} \cdot \vec{n}\):

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = [1, -2, 5] \cdot [2, -2, 1] = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) + 5 \cdot 1 = 2 + 4 + 5 = 11 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]

Altså er avstanden fra linja \(\ell\) til planet \(\alpha\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|11|}{3} = \dfrac{11}{3} \]

Oppgave 10#

Punktene \(A(0, 0, 0)\), \(B(1, 1, 1)\), \(C(-1, 2, 3)\) ligger i et plan \(\alpha\).

a)

Finn likningen til \(\alpha\).

\[ x - 4y + 3z = 0 \]

Vi finner først en normalvektor til planet. Enhver normalvektor til planet er parallell med \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\):

\[ \lvec{AB} = [1 - 0, 1 - 0, 1 - 0] = [1, 1, 1] \]
\[ \lvec{AC} = [-1 - 0, 2 - 0, 3 - 0] = [-1, 2, 3] \]
\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - \vec{e}_y \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) + \vec{e}_z \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (3 - 2) - \vec{e}_y \cdot (3 + 1) + \vec{e}_z \cdot (2 + 1) \\ \\ &= \vec{e}_x - 4\vec{e}_y + 3\vec{e}_z \\ \\ &= [1, -4, 3] \end{align*} \end{split}\]

Altså er en mulig normalvektor gitt ved \(\vec{n} = [1, -4, 3]\). Vi kan nå bruke punktet \(A(0, 0, 0)\) for å finne likningen til planet:

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0 \]
\[ [x - 0, y - 0, z - 0] \cdot [1, -4, 3] = 0 \]
\[ x - 4y + 3z = 0 \]

Et punkt \(T(3, -1, 8)\) ligger ikke i planet \(\alpha\).

b)

Finn avstanden fra \(T\) til \(\alpha\).

\[ L = \dfrac{31\sqrt{26}}{26} \]

Avstanden fra fra \(T\) til \(\alpha\) kan bestemme ved:

\[ L = \dfrac{|\lvec{AT} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} \]

Vi har at

\[ \lvec{AT} = [3 - 0, -1 - 0, 8 - 0] = [3, -1, 8] \]

Prikkproduktet blir da

\[ \lvec{AT} \cdot \vec{n} = [3, -1, 8] \cdot [1, -4, 3] = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-4) + 8 \cdot 3 = 3 + 4 + 24 = 31 \]

Lengden av normalvektoren er

\[ \abs{\vec{n}} = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]

Altså er avstanden fra \(T\) til \(\alpha\) gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AT} \cdot \vec{n}|}{\abs{\vec{n}}} = \dfrac{|31|}{\sqrt{26}} = \dfrac{31}{\sqrt{26}} = \dfrac{31\sqrt{26}}{26} \]

Punktene danner en pyramide \(ABCT\).

c)

Finn volumet til pyramiden.

\[ V = \dfrac{31}{6} \]

Grunnflaten i pyramiden har areal \(G = \dfrac{1}{2}|\lvec{AB} \times \lvec{AC}|\). Denne er gitt ved:

\[ G = \dfrac{1}{2}|\lvec{AB} \times \lvec{AC}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{1^2 + (-4)^2 + 3^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{1 + 16 + 9} = \dfrac{1}{2}\sqrt{26} \]

Høyden i pyramiden er lik avstanden fra punktet \(T\) til planet \(\alpha\), som vi fant i deloppgave b. Dermed er volumet av pyramiden gitt ved:

\[ V = \dfrac{1}{3} G h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{26} \cdot \dfrac{31\sqrt{26}}{26} = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{31 \cdot 26}{26} = \dfrac{31}{6} \]

Oppgave 11#

a)

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ x - y - 2z - 1 = 0 \]

En linje \(\ell\) er gitt ved

\[ \vec{r}(t) = \mqty[-1 + t, 8 - t, 7 - 2t] \]

Finn koordinatene til skjæringspunktet \(P\) mellom \(\alpha\) og \(\ell\).

\[ P(3, 4, -1) \]

Vi setter inn komponentene til linja i planlikningen og løser for \(t\):

\[ \underbrace{(-1 + t)}_{\displaystyle x} - \underbrace{(8 - t)}_{\displaystyle y} - 2\cdot \underbrace{(7 - 2t)}_{\displaystyle z} - 1 = 0 \]
\[ t - 1 - 8 + t - 14 + 4t - 1 = 0 \]
\[ 6t - 24 = 0 \]
\[ t = 4 \]

Så setter vi inn \(t\)-verdien i posisjonsvektoren til linja for å finne skjæringspunktet \(P\):

\[ \lvec{OP} = \vec{r}(4) = \mqty[-1 + 4, 8 - 4, 7 - 2 \cdot 4] = \mqty[3, 4, -1] \]

Altså er skjæringspunktet gitt ved \(P(3, 4, -1)\).

b)

Et plan \(\beta\) er gitt ved likningen

\[ 4x - y - z + 1 = 0 \]

En linje \(m\) er gitt ved

\[ \vec{r}(t) = [2 + 2t, 1 + 3t, 4 + t] \]

Finn koordinatene til skjæringspunktet \(Q\) mellom \(\beta\) og \(m\).

\[ Q(0, -2, 3) \]

Vi setter inn komponentene til linja i planlikningen og løser for \(t\):

\[ 4\cdot \underbrace{(2 + 2t)}_{\displaystyle x} - \underbrace{(1 + 3t)}_{\displaystyle y} - \underbrace{(4 + t)}_{\displaystyle z} + 1 = 0 \]
\[ 8 + 8t - 1 - 3t - 4 - t + 1 = 0 \]
\[ 4t + 4 = 0 \]
\[ t = -1 \]

Så setter vi inn \(t\)-verdien i posisjonsvektoren til linja for å finne skjæringspunktet \(Q\):

\[ \lvec{OQ} = \vec{r}(-1) = [2 + 2(-1), 1 + 3(-1), 4 + (-1)] = [2 - 2, 1 - 3, 4 - 1] = [0, -2, 3] \]

Altså er skjæringspunktet gitt ved \(Q(0, -2, 3)\).

c)

Et plan \(\gamma\) er gitt ved likningen

\[ x + y + z - 14 = 0 \]

En linje \(n\) er gitt ved

\[ \vec{r}(t) = [1 + t, 2 + 2t, 3 + t] \]

Finn koordinatene til skjæringspunktet \(R\) mellom \(\gamma\) og \(n\).

\[ R(3, 6, 5) \]

Vi setter inn komponentene til linja i planlikningen og løser for \(t\):

\[ \underbrace{(1 + t)}_{\displaystyle x} + \underbrace{(2 + 2t)}_{\displaystyle y} + \underbrace{(3 + t)}_{\displaystyle z} - 14 = 0 \]
\[ 1 + t + 2 + 2t + 3 + t - 14 = 0 \]
\[ 4t - 8 = 0 \liff t = 2 \]

Så setter vi inn \(t\)-verdien i posisjonsvektoren til linja for å finne skjæringspunktet \(R\):

\[ \lvec{OR} = \vec{r}(2) = [1 + 2, 2 + 2 \cdot 2, 3 + 2] = [3, 6, 5] \]

Altså er skjæringspunktet gitt ved \(R(3, 6, 5)\).

Oppgave 12#

a)

To plan er gitt ved likningene

\[\begin{split} \begin{align*} \alpha &: \quad x - 2y + z - 12 = 0 \\ \\ \beta &: \quad 2x + y - z + 1 = 0 \end{align*} \end{split}\]

Punktet \(A(3, -2, 5)\) ligger i begge plan.

Finn en parameterframstilling for skjæringslinja mellom \(\alpha\) og \(\beta\).

\[ \vec{r}_\ell(t) = [3 + t, -2 + 3t, 5 + 5t] \]

Retningsvektoren \(\vec{v}_\ell\) til linja må stå ortogonalt på normalvektorene til begge plan. Dermed har vi

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{v}_\ell &= \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta = \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-2 \cdot -1 - 1 \cdot 1) - \vec{e}_y \cdot (1 \cdot -1 - 1 \cdot 2) + \vec{e}_z \cdot (1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (2 - 1) - \vec{e}_y \cdot (-1 - 2) + \vec{e}_z \cdot (1 + 4) \\ \\ &= \vec{e}_x + 3\vec{e}_y + 5\vec{e}_z \\ \\ &= [1, 3, 5] \end{align*} \end{split}\]

Gitt punktet \(A(3, -2, 5)\), er en parameterframstilling for linja da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{r}_\ell(t) &= \lvec{OA} + \vec{v}_\ell \cdot t \\ \\ &= [3, -2, 5] + [1, 3, 5] \cdot t \\ \\ &= [3 + t, -2 + 3t, 5 + 5t] \end{align*} \end{split}\]
b)

Et plan \(\alpha\) er gitt ved

\[ 4x - 2y + z - 10 = 0 \]

Et plan \(\beta\) står ortogonalt på \(\alpha\). Skjæringslinja \(\ell\) mellom de to planene er gitt ved

\[ \vec{r}_\ell(t) = [t, 2t, 10] \]

Finn likningen til planet \(\beta\).

\[ -2x + y + 10z - 100 = 0 \]

En normalvektor til planet vil stå ortogonalt på både normalvektoren til planet \(\alpha\) og retningsvektoren til linja \(\ell\). Dermed har vi

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{n}_\beta &= \vec{n}_\alpha \times \vec{v}_\ell = \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 0| \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (-2 \cdot 0 - 1 \cdot 2) - \vec{e}_y \cdot (4 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \vec{e}_z \cdot (4 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) \\ \\ &= \vec{e}_x \cdot (0 - 2) - \vec{e}_y \cdot (0 - 1) + \vec{e}_z \cdot (8 + 2) \\ \\ &= -2\vec{e}_x + \vec{e}_y + 10\vec{e}_z \\ \\ &= [-2, 1, 10] \end{align*} \end{split}\]

Et punkt som ligger i planet \(\beta\) er for eksempel:

\[ \lvec{OA} = \vec{r}_\ell(0) = [0, 0, 10] \]

Dermed er likningen til planet \(\beta\) gitt ved

\[ \lvec{AP} \cdot \vec{n}_\beta = 0 \]
\[ [x, y, z - 10] \cdot [-2, 1, 10] = 0 \]
\[ -2x + y + 10(z - 10) = 0 \]
\[ -2x + y + 10z - 100 = 0 \]