Vektorer i 3D: Oppgaver

Innhold

Vektorer i 3D: Oppgaver#

Oppgave 1#

a)

Bestem koordinatene til vektoren $\vec{a}$ som vises i figuren til høyre.

\[ \vec{a} = [1, 3, 2] \]

b)

Bestem koordinatene til vektoren $\vec{b}$ som vises i figuren til høyre.

\[ \vec{b} = [4, -2, 3] \]

c)

Bestem koordinatene til vektoren $\vec{c}$ som vises i figuren til høyre.

\[ \vec{c} = [-2, 3, 5] \]

Oppgave 2#

a)

Gitt punktene $A(1, 2, 3)$ og $B(4, -1, 5)$.

Finn vektoren $\lvec{AB}$.

\[ \lvec{AB} = [3, -3, 2] \]

Posisjonsvektorene til de to punktene er gitt ved

\[ \lvec{OA} = [1, 2, 3] \qog \lvec{OB} = [4, -1, 5]. \]

Vektoren fra $A$ til $B$ er da gitt ved

\[ \lvec{AB} = \lvec{OB} - \lvec{OA} = [4, -1, 5] - [1, 2, 3] = [3, -3, 2]. \]

b)

Gitt punktene $C(-2, 3, 1)$ og $D(0, -1, 4)$.

Finn vektoren $\lvec{CD}$.

\[ \lvec{CD} = [2, -4, 3] \]

Posisjonsvektorene til de to punktene er gitt ved

\[ \lvec{OC} = [-2, 3, 1] \qog \lvec{OD} = [0, -1, 4]. \]

Vektoren fra $C$ til $D$ er da gitt ved

\[ \lvec{CD} = \lvec{OD} - \lvec{OC} = [0, -1, 4] - [-2, 3, 1] = [2, -4, 3]. \]

c)

Gitt punktene $E(2, 0, -1)$ og $F(-3, 4, 2)$.

Finn vektoren $\lvec{EF}$.

\[ \lvec{EF} = [-5, 4, 3] \]

Posisjonsvektorene til de to punktene er gitt ved

\[ \lvec{OE} = [2, 0, -1] \qog \lvec{OF} = [-3, 4, 2]. \]

Dermed er vektoren fra $E$ til $F$ gitt ved

\[ \lvec{EF} = \lvec{OF} - \lvec{OE} = [-3, 4, 2] - [2, 0, -1] = [-5, 4, 3]. \]

Oppgave 3#

a)

Gitt vektoren $\vec{a} = [2, 3, -1]$.

Finn $\abs{\vec{a}}$.

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{14} \]

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

b)

Gitt vektoren $\vec{b} = [-1, 4, 6]$.

Finn $\abs{\vec{b}}$.

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{53} \]

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 16 + 36} = \sqrt{53} \]

c)

Gitt vektoren $\vec{c} = [0, -2, 5]$.

Finn $\abs{\vec{c}}$.

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{29} \]

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 4 + 25} = \sqrt{29} \]

Oppgave 4#

To punkter er gitt ved $A(1, 3, -2)$ og $B(4, -1, 5)$.

a)

Finn $\lvec{OA}$ og $\lvec{OB}$.

\[ \lvec{OA} = [1, 3, -2] \qog \lvec{OB} = [4, -1, 5]. \]

Posisjonsvektorene fra origo $O$ ut til punktene har de samme koordinatene som punktene, så

\[ \lvec{OA} = [1, 3, -2] \qog \lvec{OB} = [4, -1, 5]. \]

b)

Finn $\lvec{AB}$.

\[ \lvec{AB} = [3, -4, 7] \]

Vektoren som peker fra $A$ til $B$ er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} &= \lvec{OB} - \lvec{OA} \\ \\ &= [4, -1, 5] - [1, 3, -2] \\ \\ &= [4 - 1, -1 - 3, 5 - (-2)] \\ \\ &= [3, -4, 7] \end{align*} \end{split}\]

c)

Finn lengden av linjestykket $AB$.

\[ AB = \sqrt{74} \]

Lengden av linjestykket $AB$ er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} AB &= \abs{\lvec{AB}} \\ \\ &= \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2} \\ \\ &= \sqrt{9 + 16 + 49} \\ \\ &= \sqrt{74} \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 5#

Gitt vektorene

\[ \vec{u} = [2, 1, 4] \qog \vec{v} = [-3, 4, -1]. \]

a)

En vektor $\vec{a}$ er gitt ved

\[ \vec{a} = 3 \vec{u}. \]

Finn $\vec{a}$.

\[ \vec{a} = [6, 3, 12] \]

\[ \vec{a} = 3 \cdot \vec{u} = 3 \cdot [2, 1, 4] = [3 \cdot 2, 3\cdot 1, 3 \cdot 4] = [6, 3, 12] \]

b)

En vektor $\vec{b}$ er gitt ved

\[ \vec{b} = -2 \vec{v}. \]

Finn $\vec{b}$.

\[ \vec{b} = [6, -8, 2] \]

\[ \vec{b} = -2 \vec{v} = -2 \cdot [-3, 4, -1] = [(-2) \cdot (-3), (-2) \cdot 4, (-2) \cdot (-1)] = [6, -8, 2] \]

c)

En vektor $\vec{c}$ er gitt ved

\[ \vec{c} = 4 \vec{a} - 5 \vec{b}. \]

Finn $\vec{c}$.

\[ \vec{c} = [-6, 52, 38] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{c} &= 4 \vec{a} - 5 \vec{b} \\ \\ &= 4 \cdot [6, 3, 12] - 5 \cdot [6, -8, 2] \\ \\ &= [24, 12, 48] - [30, -40, 10] \\ \\ &= [24 - 30, 12 - (-40), 48 - 10] \\ \\ &= [-6, 52, 38] \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 6#

a)

Gitt vektorene $\vec a = [2, 1, 4]$ og $\vec b = [-3, 4, -1]$.

Avgjør om vektorene er parallelle.

Vektorene er ikke parallelle.

Hvis $\vec a$ og $\vec b$ er parallelle, så finnes det et tall $k$ slik at $\vec a = k \cdot \vec b$.

Hvis vi ganger $y$-komponenten til $\vec a$ med $4$ får vi $y$-komponenten til $\vec b$. Men ganger vi $x$-komponenten til $\vec a$ med $4$ får vi $8$, som ikke er lik $x$-komponenten til $\vec b$. Dermed finnes det ikke et tall $k$ slik at $\vec a = k \cdot \vec b$, og vektorene er derfor ikke parallelle.

b)

Gitt vektorene $\vec{c} = [2, -1, 3]$ og $\vec d = [-4, 2, -6]$.

Avgjør om vektorene er parallelle.

Vektorene er parallelle.

Hvis vi ganger $x$-komponenten til $\vec c$ med $-2$ får vi $x$-komponenten til $\vec d$. Vi kan sjekke om de andre komponentene også stemmer overens:

\[ -2 \cdot \vec c = -2 \cdot [2, -1, 3] = [-4, 2, -6] = \vec d \]

Altså er de to vektorene parallelle.

c)

Gitt vektorene $\vec u = [3, -5, -1]$ og $\vec v = [9, -15, -3]$.

Avgjør om vektorene er parallelle.

Vektorene er parallelle.

Hvis vi ganger $x$-komponenten til $\vec u$ med $3$ får vi $x$-komponenten til $\vec v$. Vi kan sjekke om de andre komponentene også stemmer overens:

\[ 3 \cdot \vec u = 3 \cdot [3, -5, -1] = [9, -15, -3] = \vec v \]

Altså er de to vektorene parallelle.

Oppgave 7#

a)

Gitt vektorene $\vec{a} = [2, 1, 4]$ og $\vec{b} = [-3, 4, -1]$.

Finn $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -6 \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= [2, 1, 4] \cdot [-3, 4, -1] \\ \\ &= 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) \\ \\ &= -6 + 4 - 4 \\ \\ &= -6 \end{align*} \end{split}\]

b)

Gitt vektorene $\vec{c} = [1, 2, 3]$ og $\vec{d} = [4, -5, 6]$.

Finn $\vec{c} \cdot \vec{d}$.

\[ \vec{c} \cdot \vec{d} = 12 \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{c} \cdot \vec{d} &= [1, 2, 3] \cdot [4, -5, 6] \\ \\ &= 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 \\ \\ &= 4 - 10 + 18 \\ \\ &= 12 \end{align*} \end{split}\]

c)

Gitt vektorene $\vec{u} = [0, 1, 2]$ og $\vec{v} = [3, 4, 5]$.

Finn $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 14 \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= [0, 1, 2] \cdot [3, 4, 5] \\ \\ &= 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \\ \\ &= 0 + 4 + 10 \\ \\ &= 14 \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 8#

a)

Gitt vektoren $\vec{a} = [1, 1, 1]$.

Finn enhetsvektoren $\hat{a}$ som har samme retning som $\vec{a}$.

\[ \hat{a} = \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right] \]

Enhetsvektoren er gitt ved

\[ \hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{\abs{\vec{a}}} \]

Lengden av vektoren $\vec{a}$ er gitt ved

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]

Altså får vi at

\[ \hat{a} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot [1, 1, 1] = \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right] \]

b)

Gitt vektoren $\vec{b} = [2, -3, 6]$.

Finn enhetsvektoren $\hat{b}$ som har samme retning som $\vec{b}$.

\[ \hat{b} = \left[\dfrac{2}{7}, -\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}\right] \]

Enhetsvektoren er gitt ved

\[ \hat{b} = \dfrac{\vec{b}}{\abs{\vec{b}}} \]

Lengden av vektoren $\vec{b}$ er gitt ved

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \]

Altså får vi at

\[ \hat{b} = \dfrac{1}{7} \cdot [2, -3, 6] = \left[\dfrac{2}{7}, -\dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7}\right] \]

c)

Gitt vektoren $\vec{c} = [-4, 2, 1]$.

Finn enhetsvektoren $\hat{c}$ som har samme retning som $\vec{c}$.

\[ \hat{c} = \left[-\dfrac{4}{\sqrt{21}}, \dfrac{2}{\sqrt{21}}, \dfrac{1}{\sqrt{21}}\right] \]

Enhetsvektoren er gitt ved

\[ \hat{c} = \dfrac{\vec{c}}{\abs{\vec{c}}} \]

Lengden av vektoren $\vec{c}$ er gitt ved

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} \]

Altså får vi at

\[ \hat{c} = \dfrac{1}{\sqrt{21}} \cdot [-4, 2, 1] = \left[-\dfrac{4}{\sqrt{21}}, \dfrac{2}{\sqrt{21}}, \dfrac{1}{\sqrt{21}}\right] \]

Oppgave 9#

Gitt en vektor $\vec{a}$ og en annen vektor $\vec{b}$, så er projeksjonslengden $L$ av $\vec{b}$ på $\vec{a}$ gitt ved

\[ L = \dfrac{\abs{\vec{b} \cdot \vec{a}}}{\abs{\vec{a}}} = \abs{\vec{b} \cdot \hat{a}} \]

a)

Gitt vektorene $\vec{a} = [1, 2, 3]$ og $\vec{b} = [4, -5, 6]$.

Finn projeksjonslengden av $\vec{b}$ på $\vec{a}$.

\[ L = \dfrac{12}{\sqrt{14}} \]

Projeksjonslengden av $\vec{b}$ på $\vec{a}$ er gitt ved

\[ L = \dfrac{\abs{\vec{a} \cdot \vec{b}}}{\abs{\vec{a}}} \]

Vi har at

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 \]

og

\[ \abs{\vec{a}} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \]

Dermed er projeksjonslengden

\[ L = \dfrac{12}{\sqrt{14}} \]

b)

Gitt vektorene $\vec{c} = [2, 1, 0]$ og $\vec{d} = [1, -3, 4]$.

Finn projeksjonslengden av $\vec{d}$ på $\vec{c}$.

\[ L = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \]

Projeksjonslengden av $\vec{d}$ på $\vec{c}$ er gitt ved

\[ L = \dfrac{\abs{\vec{c} \cdot \vec{d}}}{\abs{\vec{c}}} \]

Vi har at

\[ \vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + 0 \cdot 4 = 2 - 3 + 0 = -1 \]

og

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5} \]

Dermed er projeksjonslengden

\[ L = \dfrac{\abs{-1}}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \]

c)

Gitt vektorene $\vec{u} = [0, 1, 2]$ og $\vec{v} = [3, 4, -5]$.

Finn projeksjonslengden av $\vec{v}$ på $\vec{u}$.

\[ L = \dfrac{6}{\sqrt{5}} \]

Projeksjonslengden $L$ av $\vec{v}$ på $\vec{u}$ er gitt ved

\[ L = \dfrac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{\abs{\vec{u}}} \]

Vi har at

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) = 0 + 4 - 10 = -6 \]

og

\[ \abs{\vec{u}} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5} \]

Ergo er projeksjonslengden

\[ L = \dfrac{\abs{-6}}{\sqrt{5}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} \]

Oppgave 10#

Fra den geometriske formelen for prikkproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cdot \cos \varphi$ der $\varphi$ er vinkelen mellom vektorene, følger det at

$\vec{a} \cdot \vec{b}$	$\varphi$
$> 0$	$\lt 90^\circ$
$= 0$	$= 90^\circ$
$< 0$	$\gt 90^\circ$

a)

Gitt vektorene $\vec{a} = [1, 2, 3]$ og $\vec{b} = [4, -5, 6]$.

Avgjør om vinkelen mellom vektorene er

mindre enn $90 \degree$
lik $90 \degree$
større enn $90 \degree$

Mindre enn $90 \degree$.

Vi regner ut prikkproduktet mellom de to vektorene:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12 \]

Siden $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, er vinkelen mellom vektorene mindre enn $90 \degree$.

b)

Gitt vektorene $\vec{c} = [2, 1, 0]$ og $\vec{d} = [1, -8, 4]$.

Avgjør om vinkelen mellom vektorene er

mindre enn $90 \degree$
lik $90 \degree$
større enn $90 \degree$

Vinkelen er større enn $90 \degree$.

Vi regner ut prikkproduktet mellom de to vektorene:

\[ \vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-8) + 0 \cdot 4 = 2 - 8 + 0 = -6 \]

Siden $\vec{c} \cdot \vec{d} < 0$, er vinkelen mellom vektorene større enn $90 \degree$.

c)

Gitt vektorene $\vec{u} = [1, 2, 3]$ og $\vec{v} = [1, 1, -1]$.

Avgjør om vinkelen mellom vektorene er

mindre enn $90 \degree$
lik $90 \degree$
større enn $90 \degree$

Vinkelen er lik $90 \degree$.

Vi regner ut prikkproduktet mellom de to vektorene:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 1 + 2 - 3 = 0 \]

Siden $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, er vinkelen mellom vektorene lik $90 \degree$.

Oppgave 11#

Om to vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ får du vite at

$\abs{\vec{u}} = 6$
$\abs{\vec{v}} = 3$
$\cos \varphi = \dfrac{1}{2}$ der $\varphi$ er vinkelen mellom vektorene.

a)

Finn $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Bruk den geometriske formelen for skalarproduktet:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \abs{\vec{u}} \cdot \abs{\vec{v}} \cdot \cos \varphi \]

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 9 \]

Fra den geometriske formelen for prikkproduktet har vi at

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \abs{\vec{u}} \cdot \abs{\vec{v}} \cdot \cos \varphi = 6 \cdot 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 9 \]

b)

Gitt vektoren $\vec{b} = \vec{u} + \vec{v}$.

Finn $\abs{\vec{b}}$.

Regn ut $\abs{\vec{b}}^2 = \vec{b} \cdot \vec{b}$ først.

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{63} = 3 \sqrt{7} \]

Vi regner ut $\abs{\vec{b}}^2$ først:

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\vec{b}}^2 &= \vec{b} \cdot \vec{b} \\ \\ &= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \\ \\ &= \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} \\ \\ &= \abs{\vec{u}}^2 + 2 \cdot 9 + \abs{\vec{v}}^2 \\ \\ &= 6^2 + 18 + 3^2 \\ \\ &= 36 + 18 + 9 \\ \\ &= 63 \end{align*} \end{split}\]

Dermed er

\[ \abs{\vec{b}} = \sqrt{63} = 3 \sqrt{7} \]

c)

Gitt vektoren $\vec{c} = \vec{u} - \vec{v}$.

Finn $\abs{\vec{c}}$.

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \]

Vi regner ut $\abs{\vec{c}}^2$ først:

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\vec{c}}^2 &= \vec{c} \cdot \vec{c} \\ \\ &= (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) \\ \\ &= \vec{u} \cdot \vec{u} - 2 \cdot \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{v} \\ \\ &= \abs{\vec{u}}^2 - 2 \cdot 9 + \abs{\vec{v}}^2 \\ \\ &= 6^2 - 18 + 3^2 \\ \\ &= 36 - 18 + 9 \\ \\ &= 27 \end{align*} \end{split}\]

Altså er

\[ \abs{\vec{c}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \]

d)

Gitt vektoren $\vec{d} = 3 \vec{u} - 2 \vec{v}$.

Finn $\abs{\vec{d}}$.

\[ \abs{\vec{d}} = 6 \sqrt{7} \]

Vi regner ut $\abs{\vec{d}}^2$ først:

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\vec{d}}^2 &= \vec{d} \cdot \vec{d} \\ \\ &= (3 \vec{u} - 2 \vec{v}) \cdot (3 \vec{u} - 2 \vec{v}) \\ \\ &= 9 \cdot \vec{u} \cdot \vec{u} - 12 \cdot \vec{u} \cdot \vec{v} + 4 \cdot \vec{v} \cdot \vec{v} \\ \\ &= 9 \cdot \abs{\vec{u}}^2 - 12 \cdot 9 + 4 \cdot \abs{\vec{v}}^2 \\ \\ &= 9 \cdot 6^2 - 108 + 4 \cdot 3^2 \\ \\ &= 324 - 108 + 36 \\ \\ &= 252 \end{align*} \end{split}\]

Vi primtallsfaktoriserer $252$ for å forenkle kvadratroten:

\[ 252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \]

som gir oss at

\[ \abs{\vec{d}} = \sqrt{252} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 6 \sqrt{7} \]

Oppgave 12#

Avgjør om påstandene nedenfor er sanne. Begrunn svaret.

a)

Gitt en vektor $\vec a = [x, y, z]$, så vil vektorene nedenfor være ortogonale med $\vec{a}$:

\[ [y, -x, 0] \qog [z, 0, -x] \qog [0, z, -y] \]

Sann.

Dersom vektorene er ortgonale med $\vec a$, må prikkproduktet være lik $0$. Vi sjekker:

\[ [x, y, z] \cdot [y, -x, 0] = x \cdot y + y \cdot (-x) + z \cdot 0 = xy - xy + 0 = 0 \]

og

\[ [x, y, z] \cdot [z, 0, -x] = x \cdot z + y \cdot 0 + z \cdot (-x) = xz - xz = 0 \]

og

\[ [x, y, z] \cdot [0, z, -y] = x \cdot 0 + y \cdot z + z \cdot (-y) = yz - yz = 0 \]

Altså er alle tre vektorene ortogonale med $\vec a$.

b)

Dersom to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er ortogonale, så er

\[ \abs{\vec{a} + \vec{b}}^2 = \abs{\vec{a}}^2 + \abs{\vec{b}}^2 \]

Sann.

Påstanden er sann som vi kan se ved å følgende utregning:

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\vec a + \vec b}^2 &= (\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) \\ \\ &= \vec a \cdot \vec a + 2 \cdot \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec b \\ \\ &= \abs{\vec a}^2 + 2 \cdot \vec a \cdot \vec b + \abs{\vec b}^2 \\ \\ \end{align*} \end{split}\]

For at påstanden skal være sann, må $\vec a \cdot \vec b = 0$ som betyr at de to vektorene må være ortogonale.

c)

For alle punkter $A$ og $B$ er

\[ \abs{\lvec{AB}} = \abs{\lvec{BA}} \]

Sann.

Vi har at $\lvec{AB} = -\lvec{BA}$. Lengden av de vektorene må være like siden

\[ \abs{\lvec{AB}} = \abs{-\lvec{BA}} = \abs{-1} \cdot \abs{\lvec{BA}} = \abs{\lvec{BA}} \]

d)

Hvis to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er parallelle, så er

\[ \vec a \cdot \vec b = \abs{\vec a} \cdot \abs{\vec b} \]

Usann.

Den geometriske formelen for prikkproduktet er gitt ved

\[ \vec a \cdot \vec b = \abs{\vec a} \cdot \abs{\vec b} \cdot \cos \varphi \]

Hvis to vektorer er parallelle, betyr det at vinkelen $\varphi$ mellom dem er enten lik $0\degree$ eller $180\degree$.

Når $\varphi = 180\degree$, så er $\cos \varphi = -1$, og dermed vil prikkproduktet være negativt. Dermed er påstanden usann.