Trigonometriske identiteter

Innhold

7. Trigonometriske identiteter#

utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Trigonometriske identiteter lar oss omforme uttrykk med sinus og cosinus, og de lar oss regne ut eksakte verdier til en del vinkler ved å bruke de eksakte verdiene vi allerede kjenner.

I praksis er det mange identiteter, men de fleste kan vi bruke ved hjelp av enhetssirkelen og vektorregning.

Periodisitet#

For en vinkel \(\varphi\), vil vi kunne legge til eller trekke fra \(2\pi\) og få akkurat samme punkt på enhetssirkelen.

Hver gang vi legger til eller trekker fra \(2\pi\), går vi én runde rundt enhetssirkelen og ender opp på samme punkt.

Derfor tilfredsstiller posisjonsvektoren til punktet

\[ \vec{r}(\varphi + 2\pi\cdot k) = \vec{r}(\varphi) \]

som betyr at

\[\begin{split} \begin{align*} \sin \left(\varphi + 2\pi k\right) &= \sin \varphi \\ \\ \cos \left(\varphi + 2\pi k\right) &= \cos \varphi \end{align*} \end{split}\]

for alle heltall \(k\).

Eksempel 1#

Enhetssirkelen er vist til høyre med en vinkel \(\varphi = \dfrac{25\pi}{6}\).

Bestem de eksakte verdiene til

\[ \cos \dfrac{25\pi}{6} \qog \sin \dfrac{25\pi}{6} \]

Vi kan se at vinkelen går 2 ekstra omløp i positiv retning. For å finne vinkelen i første omløp, trekker vi fra \(2\pi\) to ganger:

\[ \dfrac{25\pi}{6} - 2\pi - 2\pi = \dfrac{25\pi}{6} - 4\pi = \dfrac{25\pi - 24\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{25\pi}{6} = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

og

\[ \sin \dfrac{25\pi}{6} = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} \]

Rotasjon med \(\dfrac{\pi}{2}\) radianer (90 grader)#

For alle vinkler \(\varphi\) gjelder:

\[\begin{split} \begin{align*} \cos \left(\varphi \pm \dfrac{\pi}{2}\right) &= \mp\sin \varphi \\ \\ \sin \left(\varphi \pm \dfrac{\pi}{2}\right) &= \pm\cos \varphi \end{align*} \end{split}\]

Posisjonsvektoren \(\lvec{OP}\) har koordinatene:

\[ \lvec{OP} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \]

Vi får vektoren \(\lvec{OQ}\) ved å rotere \(\lvec{OP}\) mot klokka med \(\pi/2\) radianer (90 grader). Da må vi bytte plass på koordinatene og endre fortegnet på den nye \(x\)-koordinaten:

\[ \lvec{OQ} = [-\sin \varphi, \cos \varphi] = [\cos\left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right), \sin\left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right)] \]

Altså er

\[\begin{split} \begin{align*} \cos \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) &= -\sin \varphi \\ \\ \sin \left(\varphi + \dfrac{\pi}{2}\right) &= \cos \varphi \end{align*} \end{split}\]

Koordinatene til \(\lvec{OR}\) får vi ved å rotere \(\lvec{OP}\) med \(\pi/2\) radianer med klokka. Da bytter vi plass på koordinatene og endrer fortegnet på den nye \(y\)-koordinaten:

\[ \lvec{OR} = \left[\sin \varphi, -\cos \varphi\right] = \left[\cos\left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right), \sin\left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right)\right] \]

Altså får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} \cos \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) &= \sin \varphi \\ \\ \sin \left(\varphi - \dfrac{\pi}{2}\right) &= -\cos \varphi \end{align*} \end{split}\]

Vi kan samle alle fire identiteter til to mer kompakte identiteter:

\[\begin{split} \begin{align*} \cos \left(\varphi \pm \dfrac{\pi}{2}\right) &= \mp\sin \varphi \\ \\ \sin \left(\varphi \pm \dfrac{\pi}{2}\right) &= \pm\cos \varphi \end{align*} \end{split}\]

Eksempel 2#

En vinkel \(\varphi = \dfrac{2\pi}{3}\) er vist i enhetssirkelen til høyre.

Finn de eksakte verdiene til

\[ \cos \dfrac{2\pi}{3} \qog \sin \dfrac{2\pi}{3} \]

Koordinatene til vektoren \(\lvec{OP}\) er

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \dfrac{2\pi}{3}, \sin \dfrac{2\pi}{3}\right] \]

Vi kan rotere vektoren \(90\) grader med klokka for å få et punkt \(Q\) som ligger i 1. kvadrant slik at vi kan bestemme koordinatene med en kjent vinkel:

\[ \lvec{OQ} = \left[\cos \left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right), \sin \left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right)\right] = \left[\cos \dfrac{\pi}{6}, \sin \dfrac{\pi}{6}\right] = \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \]

Siden vi nå kjenner koordinatene til \(\lvec{OQ}\), kan vi finne koordinatene til \(\lvec{OP}\) ved å rotere \(\lvec{OQ}\) \(90\) grader mot klokka (altså vi bare “angrer” den opprinnelige rotasjonen). Da får vi at

\[ \lvec{OP} = \left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Rotasjon med \(\pi\) radianer (180 grader)#

For alle vinkler \(\varphi\) gjelder:

\[\begin{split} \begin{align*} \cos(\varphi \pm \pi) &= -\cos \varphi \\ \\ \sin(\varphi \pm \pi) &= -\sin \varphi \end{align*} \end{split}\]

Vektoren \(\lvec{OP}\) har koordinatene

\[ \lvec{OP} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \]

Punktet \(Q\) får vi ved å enten rotere vektoren \(\lvec{OP}\) 180 grader mot eller med klokka. Mot klokka tilsvarer \(\varphi + \pi\) og med klokka tilsvarer \(\varphi - \pi\). Koordinatene til \(\lvec{OQ}\) vil uansett da bli

\[ \lvec{OQ} = [\cos(\varphi + \pi), \sin(\varphi + \pi)] = [\cos(\varphi - \pi), \sin(\varphi - \pi)] \]

som vi kan samle til ett uttrykk:

\[ \lvec{OQ} = [\cos(\varphi \pm \pi), \sin(\varphi \pm \pi)] \]

Å rotere vektoren \(\lvec{OP}\) 180 grader er det samme som å finne den motsatte vektoren, som vi gjør med å gange vektoren med \(-1\). Ergo må koordinatene til \(\lvec{OQ}\) være

\[ \lvec{OQ} = (-1) \cdot \lvec{OP} = [-\cos \varphi, -\sin \varphi] \]

De to uttrykkene for \(\lvec{OQ}\) må være like som betyr at vi får identitene:

\[\begin{split} \begin{align*} \cos (\varphi \pm \pi) &= -\cos \varphi \\ \\ \sin (\varphi \pm \pi) &= -\sin \varphi \end{align*} \end{split}\]

Eksempel 3#

I figuren til høyre vises enhetssirkelen med en vinkel \(\varphi = \dfrac{4\pi}{3}\) og en vektor \(\lvec{OP}\).

Finn de eksakte verdiene til

\[ \cos \dfrac{4\pi}{3} \qog \sin \dfrac{4\pi}{3} \]

Vektoren \(\lvec{OP}\) har koordinatene

\[ \lvec{OP} = \left[\cos \dfrac{4\pi}{3}, \sin \dfrac{4\pi}{3}\right] \]

Hvis vi roterer vektoren 180 grader med klokka får vi et punkt \(Q\) som ligger i 1. kvadrant. Da kan vi finne koordinatene til \(\lvec{OQ}\) med en kjent vinkel:

\[ \lvec{OQ} = \left[\cos \left(\dfrac{4\pi}{3} - \pi\right), \sin \left(\dfrac{4\pi}{3} - \pi\right)\right] = \left[\cos \dfrac{\pi}{3}, \sin \dfrac{\pi}{3}\right] = \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Vektoren \(\lvec{OP}\) er bare motsatt rettet av \(\lvec{OQ}\). Vi ganger derfor bare koordinatene til \(\lvec{OQ}\) med \(-1\) for å finne koordinatene til \(\lvec{OP}\):

\[ \lvec{OP} = (-1) \cdot \lvec{OQ} = \left[-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] \]

Altså er

\[ \cos \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \qog \sin \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Sinus og cosinus til positive og negative vinkler#

For alle vinkler \(\varphi\) er

\[\begin{split} \begin{align*} \cos (-\varphi) &= \cos \varphi \\ \\ \sin (-\varphi) &= -\sin \varphi \end{align*} \end{split}\]

Posisjonsvektoren \(\lvec{OP}\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \]

Samtidig får vi koordinatene til \(\lvec{OQ}\) ved å speile vektoren om \(x\)-aksen. Dette svarer til å endre \(y\)-koordinaten, men holde \(x\)-koordinaten uendret. Dermed får vi:

\[ \lvec{OQ} = [\cos(-\varphi), \sin(-\varphi)] = [\cos \varphi, -\sin \varphi] \]

Men da er

\[ \cos(-\varphi) = \cos \varphi \qog \sin(-\varphi) = -\sin \varphi \]

Eksempel 4#

Finn de eksakte verdiene til

\[ \cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \qog \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \]

Fra figuren kan vi se at \(x\)-koordinatene til punktet \(P\) og \(Q\) er like, mens \(y\)-koordinaten har motsatt fortegn. Dermed får vi at

\[ \cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} \]

og

\[ \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Den neste identiteten vi skal se på kalles for Pytagoras’ identitet. Den har en sterk tilknytning til Pytagoras’ setning. Først skal vi merke oss at vi bruker en forenklet skrivemåte

\[ \sin^2 \varphi = (\sin \varphi)^2 \qog \cos^2 \varphi = (\cos \varphi)^2 \]

Pytagoras’ identitet#

For alle vinkler \(\varphi\) gjelder

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \]

Vi bruker vektorregning og regner ut lengden av posisjonsvektoren til punktet \(P\):

\[ \lvec{OP} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \]

\[ \abs{\lvec{OP}}^2 = \lvec{OP} \cdot \lvec{OP} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \cdot [\cos \varphi, \sin \varphi] = \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi \]

Denne må være lik \(1\) siden radius i sirkelen er \(1\) og punktet ligger på enhetssirkelen. Dermed får vi Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \]

Eksempel 5#

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at

\(\varphi\) ligger i 3. kvadrant
\(\cos \varphi = -2/3\).

Finn en eksakt verdi for \(\sin \varphi\).

Vi bruker Pytagoras’ identitet:

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \]

Vi setter inn verdien for \(\cos \varphi\):

\[ \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 + \sin^2 \varphi = 1 \]

som gir

\[ \sin^2 \varphi = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} \]

Sinus må være negativ siden vi er i 3. kvadrant. Ergo er

\[ \sin \varphi = -\sqrt{\dfrac{5}{9}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \]

Cosinus til doble vinkler#

For alle vinkler \(\varphi\) gjelder følgende identitet:

\[ \cos (2\varphi) = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi \]

Posisjonsvektoren til punktet \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \]

Posisjonsvektoren til punktet \(Q\) er gitt ved

\[ \lvec{OQ} = [\cos (-\varphi), \sin (-\varphi)] = [\cos \varphi, -\sin \varphi] \]

Med den geometriske formelen for skalarproduktet får vi da

\[ \lvec{OP} \cdot \lvec{OQ} = \abs{\lvec{OP}} \cdot \abs{\lvec{OQ}} \cdot \cos (\varphi - (-\varphi)) \]

Siden begge punktene ligger på enhetssirkelen er \(\abs{\lvec{OP}} = \abs{\lvec{OQ}} = 1\). Dermed får vi

\[ \lvec{OP} \cdot \lvec{OQ} = 1 \cdot 1 \cdot \cos (2\varphi) \]

Regner vi ut skalarproduktet på venstre side får vi

\[ \lvec{OP} \cdot \lvec{OQ} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \cdot [\cos \varphi, -\sin \varphi] = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi \]

Dermed følger det at

\[ \cos (2\varphi) = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi \]

Eksempel 6#

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at \(\cos \varphi = 3/5\).

Finn \(\cos (2 \varphi)\).

Vi har identiteten

\[ \cos (2\varphi) = \cos^2\varphi - \sin^2 \varphi \]

Siden vi kjenner til \(\cos \varphi\), kan vi bruke Pytagoras’ identitet til å eliminere \(\sin \varphi\) fra identiteten:

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \liff \sin^2 \varphi = 1 - \cos^2 \varphi \]

Vi setter inn og får:

\[ \cos (2\varphi) = \cos^2 \varphi - (1 - \cos^2 \varphi) = 2\cos^2 \varphi - 1 \]

Så regner vi ut:

\[ \cos (2\varphi) = 2 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \dfrac{9}{25} - 1 = \dfrac{18}{25} - 1 = -\dfrac{7}{25} \]

Sinus til doble vinkler#

For alle vinkler \(\varphi\) gjelder følgende identitet:

\[ \sin (2\varphi) = 2 \cdot \sin \varphi \cdot \cos \varphi \]

Posisjonsvektoren til punktet \(P\) er gitt ved

\[ \lvec{OP} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \]

Posisjonsvektoren til punktet \(Q\) er gitt ved

\[ \lvec{OQ} = [\cos (-\varphi), \sin (-\varphi)] = [\cos \varphi, -\sin \varphi] \]

Arealet av trekanten \(OPQ\) kan regnes ut ved å rotere \(\lvec{OQ}\) 90 grader i samme retning som \(\varphi\):

\[ \lvec{OQ}_\perp = [\sin \varphi, \cos \varphi] \]

Arealet av trekanten \(OPQ\) er da

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \lvec{OP} \cdot \lvec{OQ}_\perp \\ \\ &= \dfrac{1}{2} [\cos \varphi, \sin \varphi] \cdot [\sin \varphi, \cos \varphi] \\ \\ &= \dfrac{1}{2} (\cos \varphi \cdot \sin \varphi + \sin \varphi \cdot \cos \varphi) \\ \\ &= \sin \varphi \cdot \cos \varphi \end{align*} \end{split}\]

Vi kan også finne et uttrykk for arealet ved å bruke arealsetningen fra trigonometrien:

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \abs{\lvec{OP}} \cdot \abs{\lvec{OQ}} \cdot \sin (\varphi - (-\varphi)) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin (2\varphi) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \sin (2\varphi) \end{align*} \end{split}\]

Vi setter de to uttrykkene lik hverandre som gir:

\[ \dfrac{1}{2} \sin (2\varphi) = \sin \varphi \cdot \cos \varphi \]

som gir

\[ \sin (2\varphi) = 2 \cdot \sin \varphi \cdot \cos \varphi \]

Eksempel 7#

Om en vinkel \(\varphi\) får du vite at \(\sin \varphi = 4/5\) og \(\varphi\) ligger i 2. kvadrant.

Finn \(\sin (2 \varphi)\).

Vi har identiteten

\[ \sin (2\varphi) = 2 \cdot \sin \varphi \cdot \cos \varphi \]

Videre kan vi bruke Pytagoras’ identitet til å eliminere \(\cos \varphi\) fra identiteten:

\[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1 \liff \cos^2 \varphi = 1 - \sin^2 \varphi \]

Siden \(\varphi\) ligger i 2. kvadrant, må \(\cos \varphi\) være negativ. Dermed får vi

\[ \cos \varphi = -\sqrt{1 - \sin^2 \varphi} \]

Vi setter inn i identiteten for sinus til doble vinkler og får:

\[\begin{split} \begin{align*} \sin (2\varphi) &= 2 \cdot \sin \varphi \cdot \cos \varphi \\ \\ &= 2 \sin \varphi \cdot \left(-\sqrt{1 - \sin^2 \varphi}\right) \\ \\ &= -2 \sin \varphi \cdot \sqrt{1 - \sin^2 \varphi} \\ &= -2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \sqrt{1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2} \\ \\ &= -2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \sqrt{1 - \dfrac{16}{25}} \\ \\ &= -2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \sqrt{\dfrac{9}{25}} \\ \\ &= -2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \\ \\ &= -\dfrac{24}{25} \end{align*} \end{split}\]

Identitetene nedenfor er mer generelle, men vi trenger dem ikke i praksis. Derfor er de markert med (*). I oppgavene får du utlede dem med rotasjoner av vektorer på enhetssirkelen.

Cosinus til summer og differanser av vinkler (*)#

For alle vinkler \(\varphi\) og \(\theta\) gjelder følgende identiteter:

\[\begin{split} \begin{align*} \cos (\varphi + \theta) &= \cos \varphi \cdot \cos \theta - \sin \varphi \cdot \sin \theta \\ \\ \cos (\varphi - \theta) &= \cos \varphi \cdot \cos \theta + \sin \varphi \cdot \sin \theta \end{align*} \end{split}\]

Vi kan samle de to identitetene til én samlet identitet:

\[ \cos (\varphi \pm \theta) = \cos \varphi \cdot \cos \theta \mp \sin \varphi \cdot \sin \theta \]

Vi velger enten det øverste eller nederste fortegnet gjennom hele likningen når vi skal bruke identitetene.

Punkt \(P\) har posisjonsvektoren

\[ \lvec{OP} = [\cos \theta, \sin \theta] \]

Punktet \(Q\) har posisjonsvektoren

\[ \lvec{OQ} = [\cos \varphi, \sin \varphi] \]

Etter Pytagoras’ identitet, vil begge vektorene har lengde lik \(1\):

\[ \abs{\lvec{OP}} = \abs{\lvec{OQ}} = 1 \]

Vinkelen mellom \(\lvec{OP}\) og \(\lvec{OQ}\) er gitt ved \(\varphi - \theta\). Dermed kan vi bruke formelen for skalarproduktet til å finne

\[ \lvec{OP} \cdot \lvec{OQ} = \abs{\lvec{OP}} \cdot \abs{\lvec{OQ}} \cdot \cos (\varphi - \theta) \]

\[ [\cos \theta, \sin \theta] \cdot [\cos \varphi, \sin \varphi] = 1 \cdot 1 \cdot \cos (\varphi - \theta) \]

som gir

\[ \cos \theta \cdot \cos \varphi + \sin \theta \cdot \sin \varphi = \cos (\varphi - \theta) \]

Dersom vi setter \(\theta \to -\theta\) i formelen får vi:

\[ \cos (-\theta) \cdot \cos \varphi + \sin (-\theta) \cdot \sin \varphi = \cos (\varphi - (-\theta)) = \cos (\varphi + \theta) \]

som gir

\[ \cos \theta \cdot \cos \varphi - \sin \theta \cdot \sin \varphi = \cos (\varphi + \theta) \]

Altså har vi at

\[ \cos (\varphi \pm \theta) = \cos \varphi \cdot \cos \theta \mp \sin \varphi \cdot \sin \theta \]

Sinus til summer og differanser av vinkler (*)#

For alle vinkler \(\varphi\) og \(\theta\) gjelder følgende identiteter:

\[\begin{split} \begin{align*} \sin (\varphi + \theta) &= \sin \varphi \cdot \cos \theta + \cos \varphi \cdot \sin \theta \\ \\ \sin (\varphi - \theta) &= \sin \varphi \cdot \cos \theta - \cos \varphi \cdot \sin \theta \end{align*} \end{split}\]

Vi kan samle de to identitene til én samlet identitet:

\[ \sin (\varphi \pm \theta) = \sin \varphi \cdot \cos \theta \pm \cos \varphi \cdot \sin \theta \]