Kuler

Innhold

5. Kuler#

utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Kulelikningen#

En kuleflate med sentrum i punktet \(S(x_0, y_0, z_0)\) og radius \(r\) består av alle punkter \(P(x, y, z)\) som tilfredsstiller likningen

\[ \abs{\lvec{SP}} = r \]

Likningen kan skrives på standardform med koordinater som følger:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \]

Eksempel 1#

Gitt en kule med sentrum i punktet \(S(4, 2, 3)\) og radius \(r = 2\).

Finn likningen til kuleflaten.

Kulelikningen er gitt ved

\[ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 2^2 \]

\[ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 4 \]

Likningen til en kule er ikke alltid skrevet på standardform, som gjør det vanskelig å lese av sentrum og radius fra likningen. Da kan vi bruke fullstendig kvadraters metode for å skrive om likningen til standardform.

Fullstendig kvadraters metode#

Gitt et uttrykk \(x^2 + bx\) kan vi alltid skrive det om til

\[ x^2 + bx = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 \]

La oss se på et eksempel.

Eksempel 2#

En kule er gitt ved likningen

\[ x^2 + 4x + y^2 - 6y + z^2 + 2z - 6 = 0 \]

Finn sentrum og radius til kulen.

Vi bruker fullstendig kvadraters metode for å skrive om uttrykkene i likningen som fullstendige kvadrater:

\[ x^2 + 4x = \left(x + \dfrac{4}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = (x + 2)^2 - 4 \]

\[ y^2 - 6y = \left(y - \dfrac{6}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{6}{2}\right)^2 = (y - 3)^2 - 9 \]

\[ z^2 + 2z = \left(z + \dfrac{2}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{2}\right)^2 = (z + 1)^2 - 1 \]

Så setter vi inn i kulelikningen:

\[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + (z + 1)^2 - 1 - 6 = 0 \]

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 - 20 = 0 \]

\[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 20 \]

Ergo har kule sentrum i \(S(-2, 3, -1)\) og radius \(r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

Tangentplan#

Når et plan \(\alpha\) tangerer en kuleflate i et punkt \(P\), kaller vi planet for et tangentplan til kula. Da er en normalvektor til planet gitt ved

\[ \vec{n} = \lvec{SP} \]

Eksempel 3#

Punktene \(A(-1, 0, 3)\) og \(B(3, 2, 5)\) ligger på en kule der \(AB\) er diameteren til kulen.

Et plan \(\alpha\) tangerer kuleflaten i punktet \(B\).

Finn likningen til \(\alpha\).

Først finner vi kulens sentrum. Siden \(AB\) er diameteren til kula, så må punktet \(S\) ligge midt mellom \(A\) og \(B\). Vi finner koordinatene til \(S\) ved å ta gjennomsnittet av koordinatene til \(A\) og \(B\):

\[ \lvec{OS} = \dfrac{1}{2}(\lvec{OA} + \lvec{OB}) = \dfrac{1}{2}([-1, 0, 3] + [3, 2, 5]) = \dfrac{1}{2}[2, 2, 8] = [1, 1, 4] \]

Dermed har kulen sentrum i \(S(1, 1, 4)\). En normalvektor til tangentplanet er da

\[ \vec{n} = \lvec{SB} = [3 - 1, 2 - 1, 5 - 4] = [2, 1, 1] \]

Vi lar \(P(x, y, z)\) være et vilkårlig punktet i planet. Da er likningen til planet gitt ved

\[ \lvec{PB} \cdot \vec{n} = 0 \]

\[ [x - 3, y - 2, z - 5] \cdot [2, 1, 1] = 0 \]

\[ 2(x - 3) + 1(y - 2) + 1(z - 5) = 0 \]

\[ 2x - 6 + y - 2 + z - 5 = 0 \]

\[ 2x + y + z - 13 = 0 \]

Avstander og skjæringer#

I praksis er det ikke mye ny teori å lære om kuler. Avstander og skjæringer kan vi finne ved å bruke de samme metodene som vi allerede har brukt for linjer og plan.

Eksempel 4#

En kuleflate \(K\) og et plan \(\alpha\) er gitt ved likningene

\[\begin{split} \begin{align*} K &: \quad (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 3^2 \\ \\ \alpha &: \quad 2x + y - 2z - 8 = 0 \end{align*} \end{split}\]

Finn sentrum og radius til skjæringssirkelen mellom kula og planet.

Vi lar \(\rho\) være radius til skjæringssirkelen. Vi kan da lage oss en skisse som vist til høyre som viser et tverrsnitt av kuleflaten og planet. Da er \(L\) avstanden fra planet til kulens sentrum og \(r\) er radien til kuleflaten.

Sentrum i kuleflaten er \(S(3, 2, -1)\). Planet har en normalvektor \(\vec{n} = [a, b, c] = [2, 3, -2]\). Avstanden fra \(S\) til \(\alpha\) er da gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{\abs{ax + by + cz + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) - 8}}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{6 + 6 + 2 - 8}}{\sqrt{4 + 9 + 4}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{6}}{\sqrt{17}} \\ \\ &= \dfrac{6}{\sqrt{17}} \end{align*} \end{split}\]

Fra figuren har vi en rettvinklet trekant med hypotenus \(r\), katet \(L\) og den andre kateten \(\rho\). Dermed kan vi bruke Pytagoras’ setning for å finne radiusen til skjæringssirkelen:

\[ \rho^2 + L^2 = r^2 \liff \rho^2 = r^2 - L^2 \]

som gir

\[ \rho^2 = 3^2 - \left(\dfrac{6}{\sqrt{17}}\right)^2 = 9 - \dfrac{36}{17} = \dfrac{153 - 36}{17} = \dfrac{117}{17} \]

Altså er radien til skjæringssirkelen gitt ved

\[ \rho = \sqrt{\dfrac{117}{17}} \]

Eksempel 5#

En kuleflate \(K\) har sentrum i \(S(4, 1, 0)\) og radius \(r = 3\).

En linje \(\ell\) går gjennom punktet \(A(0, -1, -4)\) og har retningsvektor \(\vec v = [2, 1, 2]\).

Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom kula og linja.

Vi finner en likning for kula:

\[ (x - 4)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 3^2 = 9 \]

Så finner vi en parameterframstilling for linja:

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r(t) &= \lvec{OA} + \vec v \cdot t \\ \\ &= [0, -1, -4] + [2, 1, 2] \cdot t \\ \\ &= [2t, -1 + t, -4 + 2t] \end{align*} \end{split}\]

Skjæringspunktene mellom kula og linja finner vi ved å sette inn koordinatene til parameterframstillingen for linja inn i likningen for kula, og så løser vi for \(t\):

\[ (2t - 4)^2 + (-1 + t - 1)^2 + (-4 + 2t)^2 = 9 \]

\[ (2t - 4)^2 + (t - 2)^2 + (2t - 4)^2 = 9 \]

\[ 2(2t - 4)^2 + (t - 2)^2 = 9 \]

\[ 2(4t^2 - 16t + 16) + (t^2 - 4t + 4) = 9 \]

\[ 8t^2 - 32t + 32 + t^2 - 4t + 4 = 9 \]

\[ 9t^2 - 36t + 36 = 9 \]

\[ 9t^2 - 36t + 36 - 9 = 0 \]

\[ 9t^2 - 36t + 27 = 0 \]

\[ t^2 - 4t + 3 = 0 \]

\[ (t - 1)(t - 3) = 0 \]

\[ t = 1 \or t = 3 \]

Dermed får vi skjæringspunktene:

\[ \vec r(1) = [2 \cdot 1, -1 + 1, -4 + 2 \cdot 1] = [2, 0, -2] \]

\[ \vec r(3) = [2 \cdot 3, -1 + 3, -4 + 2 \cdot 3] = [6, 2, 2] \]

Skjæringspunktene mellom kula og linja er altså \((2, 0, -2)\) og \((6, 2, 2)\).