Likninger: Oppgaver#
Oppgave 1#
a)
Finn de generelle løsningene til likningen
\[
\cos x = \frac{1}{2}
\]
b)
Finn de generelle løsningene til likningen
\[
\sin x = \frac{1}{2}
\]
c)
Finn de generelle løsningene til likningen
\[
\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\]
d)
Finn de generelle løsningene til likningen
\[
\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\]
Oppgave 2#
a)
Løs likningen
\[
2\sin x - 1 = 0 \qfor x \in [0, 2\pi\rangle
\]
b)
Løs likningen
\[
2\cos \left(\pi x\right) = \sqrt{3} \qfor x \in [-4, 4\rangle
\]
c)
Løs likningen
\[
\tan \left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = 1 \qfor x \in [-4, 4\rangle
\]
d)
Løs likningen
\[
\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 \qfor x \in \langle -\pi, \pi\rangle
\]
Oppgave 4#
a)
Løs likningen
\[
\left(\sin x - \frac{1}{2}\right)\left(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0 \qfor x \in [0, 2\pi\rangle
\]
Hvis to funksjoner \(f(x) \cdot g(x) = 0\), så er enten \(f(x) = 0\) eller \(g(x) = 0\).
b)
Løs likningen
\[
4 \sin \left(\dfrac{x}{2}\right) + 2 = 0 \qfor x \in [-2\pi, 2\pi\rangle
\]
c)
Løs likningen
\[
\cos (\pi x) - \sin (\pi x) = 0 \qfor x \in [-2, 2\rangle
\]
d)
Løs likningen
\[
2\sqrt{3} \sin (2x) + 2 \cos (2x) = 0 \qfor x \in [-2\pi, 2\pi\rangle
\]
Oppgave 5#
a)
Løs likningen
\[
\cos \left(\dfrac{\pi}{2}x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}
\]
b)
Løs likningen
\[
\sin \left(\dfrac{\pi}{2}x + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\]
c)
Løs likningen
\[
\tan \left(\dfrac{\pi}{2}x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1
\]
Oppgave 6#
a)
Løs likningen
\[
2 \cos^2 x + \sin x - 2 = 0 \qfor x \in [0, 2\pi\rangle
\]
b)
Løs likningen
\[
\sin^2 x + \dfrac{1}{2} \sin (2x) = 0 \qfor x \in [0, 2\pi\rangle
\]
c)
Løs likningen
\[
\sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0 \qfor x \in [0, 2\pi\rangle
\]
Oppgave 7#
En likning er gitt ved
\[
\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) - \sin^2 \left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{2}
\]
a)
Finn de generelle løsningene til likningen.
b)
Bestem \(a\) slik at likningen har \(6\) løsninger i intervallet \([-a, a\rangle\).
Oppgave 8#
a)
Gitt punktene \(A(1, 1, 1)\), \(B(3, 3, 2)\) og \(C(2, 1, 2)\).
Finn vinkelen \(\angle BAC\).
Bruk den geometriske formelen for prikkproduktet
\[
\vec a \cdot \vec b = \abs{\vec a} \abs{\vec b} \cos \varphi
\]