Geometriske følger og rekker

Læringsmål

• Kunne bestemme et uttrykk for det \(n\)-te leddet i en geometrisk følge.

• Kunne bestemme summen av endelige geometriske rekker.

• Kunne bestemme summen av uendelige geometriske rekker.

• Kunne avgjøre om en uendelig geometrisk rekke konvergerer eller divergerer.

• Kunne bestemme konvergensområdet for uendelige geometriske rekker med variable kvotienter.

• Kunne bruke geometriske rekker i praktiske anvendelser.

En geometrisk følge \(\{a_n\}\) er en følge der forholdet mellom to naboledd \(a_{n + 1} / a_n\) alltid er lik en fast konstant \(k\) som vi kaller for kvotienten til følgen. En geometrisk rekke er summen \(\sum a_n\) av leddene i en geometrisk følge.

Eksempel 1

I figuren til høyre vises et kvadrat med sidelengder \(1\). Arealet av kvadratet er derfor bare \(A = 1\).

Figuren er delt opp i mindre områder med areal \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) og så videre der de fire første områdene er merket i figuren. Arealet av det neste området er alltid halvparten av det forrige området slik at

\[ A_1 = \dfrac{1}{2}, \quad A_2 = \dfrac{1}{4}, \quad A_3 = \dfrac{1}{8}, \quad A_4 = \dfrac{1}{16}, \quad \ldots \]

Slik fortsetter mønsteret for alltid siden vi kan alltid dele opp det siste området i to mindre områder. Men summen av alle disse arealene må jo være lik \(1\) siden arealet av hele kvadratet er \(1\). Det må i så fall bety at

\[ 1 = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + \ldots = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \ldots \]

Vi kan se at hvert ledd bare er det forrige leddet ganget med \(\dfrac{1}{2}\). Vi sier at dette er en geometrisk rekke og at den har kvotienten \(\dfrac{1}{2}\).

Geometriske følger

Rekursiv formel for geometriske følger

For en geometrisk følge \(\{a_n\}\), gjelder

\[ a_{n + 1} = a_n \cdot k \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \]

der \(k\) kalles for kvotienten til følgen.

---

Eksempel 2

En geometrisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ 3, 6, 12, 24, 48, \ldots \]

Finn en rekursiv formel for leddene i følgen.

Skjul løsningsforslag

Vi finner kvotienten ved å dele to naboledd med hverandre siden

\[ a_{n + 1} = a_n \cdot k \liff k = \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \]

Da får vi

\[ k = \dfrac{6}{3} = 2 \]

Dermed har vi at

\[ a_{n + 1} = 2 \cdot a_n \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \qder a_1 = 3 \]

---

Underveisoppgave 1

En geometrisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ 9, 27, 81, 243, 729, \ldots \]

Finn en rekursiv formel for leddene i følgen.

Vis fasit

\[ a_{n + 1} = 3 \cdot a_n \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \qder a_1 = 9 \]

Vis løsningsforslag

Vi finner kvotienten \(k\) ved å dele to naboledd med hverandre:

\[ k = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{27}{9} = 3 \]

Dermed har vi at

\[ a_{n + 1} = 3 \cdot a_n \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \qder a_1 = 9 \]

Eksplisitt formel for geometriske følger

For geometrisk følge \(\{a_n\}\) med startledd \(a_1\) og kvotient \(k\), er det \(n\)-te leddet i følgen gitt ved

\[ a_n = a_1 \cdot k^{n - 1} \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \]

---

Eksempel 3

En geometrisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ 3, 6, 12, 24, 48, \ldots \]

Bestem \(a_n\).

Skjul løsningsforslag

Vi har at \(a_1 = 3\) og \(a_2 = 6\). Da blir kvotienten

\[ k = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{6}{3} = 2 \]

Dermed får vi

\[ a_n = a_1 \cdot k^{n - 1} = 3 \cdot 2^{n - 1} \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \]

---

Underveisoppgave 2

En geometrisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ 4, 2, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \ldots \]

Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).

Vis fasit

\[ a_n = 4 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} = \dfrac{4}{2^{n - 1}} \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \]

Vis løsningsforslag

Kvotienten \(k\) er gitt ved

\[ k = \dfrac{a_{2}}{a_1} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \]

Dermed er en eksplisitt formel for \(a_n\) gitt ved

\[ a_n = a_1 \cdot k^{n - 1} = 4 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1} = \dfrac{4}{2^{n - 1}} \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \]

---

Geometriske rekker

En geometrisk rekke er summen av leddene i en geometrisk følge. Den kan enten ha endelig mange ledd, eller den kan ha uendelig mange ledd. Vi tar et motiverende eksempel før vi ser på det generelle tilfellet.

Eksempel 4

En geometrisk rekke er gitt ved

\[ S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots + 1024 \]

Finn summen av rekka.

Skjul løsningsforslag

Vi kan se at kvotienten er lik \(2\) siden hvert ledd er det dobbelte av det forrige leddet. Vi skriver først opp rekka slik den er, deretter skriver vi opp rekka på nytt ganget med kvotienten \(2\):

\[\begin{split} \begin{align*} S &= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots + 1024 \\ \\ 2\cdot S &= 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots + 1024 + 2048 \end{align*} \end{split}\]

Trekker vi den siste likningen fra den første likningen får vi:

\[ 2S - S = 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots + 1024 + 2048 - \left( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots + 1024 \right) \]

som vi kan skrive som

\[ S = 2048 - 1 + (2 - 2) + (4 - 4) + (8 - 8) + \ldots + (1024 - 1024) \]

som gir

\[ S = 2048 - 1 = 2047 \]

Strategien i eksempel 4 er det vi skal bruke til å finne en helt generell formel for summen av en endelig geometrisk rekke, som er det neste vi skal se på.

Endelige geometriske rekker

Formel for en endelig geometrisk rekke

For en endelig geometrisk rekke med \(n\) ledd og kvotient \(k\) på formen

\[ S_n = a + ak + ak^2 + ak^3 + \ldots + ak^{n - 1} \]

er summen av alle leddene gitt ved formelen

\[ S_n = a \cdot \dfrac{1 - k^n}{1 - k} \qfor k \neq 1 \]

Hvis første \(a_1\) og siste ledd \(a_n\) i rekka er kjent, kan formelen også skrives som

\[ S_n = \dfrac{a_1 - a_n \cdot k}{1 - k} \qfor k \neq 1 \]

Vis forklaring

Vi har at

\[ S_n = a + ak + ak^2 + \ldots + ak^{n - 1} \]

Ganger vi hver side av likningen med kvotienten \(k\) får vi

\[ k \cdot S_n = ak + ak^2 + \ldots + ak^{n - 1} + ak^n \]

Trekker vi den første likningen fra den siste likningen får vi:

\[ S_n - k \cdot S_n = a + ak + ak^2 + \ldots + ak^{n - 1} - \left( ak + ak^2 + \ldots + ak^{n - 1} + ak^n \right) \]

Omrokkerer vi på leddene på høyre side får vi:

\[ S_n - k \cdot S_n = a + \left( ak - ak \right) + \left( ak^2 - ak^2 \right) + \ldots + \left( ak^{n - 1} - ak^{n - 1} \right) - ak^n \]

Så alle ledd kansellerer hverandre bort bortsett fra det første og det siste leddet som gir:

\[ S_n - k \cdot S_n = a - ak^n \]

Vi kan faktorisere på hver side og forenkle likningen til:

\[ S_n \cdot (1 - k) = a \cdot (1 - k^n) \]

Løser vi denne likningen for \(S_n\) får vi:

\[ S_n = a \cdot \dfrac{1 - k^n}{1 - k} \]

som var det vi skulle vise.

---

Eksempel 5

Bestem summen av rekka

\[ S = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots + \dfrac{1}{2048} \]

Skjul løsningsforslag

Rekka er en geometrisk rekke med startledd \(a_1 = 1\) og kvotient \(k = \dfrac{1}{2}\). Det siste leddet er gitt ved \(a_n = \dfrac{1}{2048}\). Vi kan bruke formelen for summen av en endelig geometrisk rekke:

\[\begin{split} \begin{align*} S &= \dfrac{a_1 - a_n \cdot k}{1 - k} \\ \\ &= \dfrac{1 - \dfrac{1}{2048} \cdot \dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} \\ \\ &= \dfrac{1 - \dfrac{1}{4096}}{\dfrac{1}{2}} \\ \\ &= 2\cdot \left(1 - \dfrac{1}{4096}\right) \\ \\ &= 2 - \dfrac{1}{2048} \\ \\ &= \dfrac{4095}{2048} \end{align*} \end{split}\]

---

Underveisoppgave 3

En geometrisk rekke er gitt ved

\[ S = 3 + 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{729} \]

Vis fasit

\[ S = \dfrac{6560}{1458} \]

Vis løsningsforslag

Det første leddet er \(a_1 = 3\) og det siste leddet er \(a_n = \dfrac{1}{729}\). Kvotienten er gitt ved \(k = \dfrac{1}{3}\) siden det neste leddet alltid er \(1/3\) av det forrige. Dermed er summen av rekka gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} S &= \dfrac{a_1 - a_n \cdot k}{1 - k} \\ \\ &= \dfrac{3 - \dfrac{1}{729} \cdot \dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} \\ \\ &= \dfrac{3 - \dfrac{1}{2187}}{\dfrac{2}{3}} \\ \\ &= \dfrac{3}{2} \cdot \left( 3 - \dfrac{1}{2187} \right) \\ \\ &= \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{1458} \\ \\ &= \dfrac{6560}{1458} \end{align*} \end{split}\]

Uendelige geometriske rekker

Som vi så i eksempel 1 og 2, så kan en geometrisk rekke også ha uendelig mange ledd. I mange situasjoner vil rekka nærme seg et bestemt tall, og da sier vi at rekka konvergerer – eller kaller rekka for konvergent. Hvis summen av rekka går mot \(\pm \infty\), så sier vi at rekka divergerer – eller kaller rekka for divergent.

Uendelige geometriske rekker

En uendelig geometrisk rekke \(S\) med startledd \(a\) og kvotient \(k\) på formen

\[ S = a + ak + ak^2 + ak^3 + \ldots \]

konvergerer hvis og bare hvis \(\abs{k} < 1\).

Da er summen av rekka gitt ved

\[ S = \dfrac{a}{1 - k} \]

Vis forklaring

Vi starter med summen av de første \(n\) leddene i rekka:

\[ S_n = a \cdot \dfrac{1 - k^n}{1 - k} \]

Dersom \(\abs{k} < 1\) så vil \(k^n\) bli mindre og mindre jo større \(n\) blir. I grensen der \(n \to \infty\), så vil \(k^n \to 0\). Da får vi at

\[ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a \cdot \dfrac{1 - k^n}{1 - k} = a \cdot \dfrac{1 - 0}{1 - k} = \dfrac{a}{1 - k} \]

som var det vi skulle vise.

---

Eksempel 6

En rekke er gitt ved

\[ S = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \ldots \]

Bestem summen av rekka.

Skjul løsningsforslag

Rekka er en geometrisk rekke med startledd \(a = 1\) og kvotient \(k = \dfrac{1}{3}\). Siden \(\abs{k} < 1\), så konvergerer rekka og summen av rekka er gitt ved formelen for uendelige geometriske rekker:

\[ S = \dfrac{a}{1 - k} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2/3} = \dfrac{3}{2} \]

---

Underveisoppgave 4

En geometrisk rekke er gitt ved

\[ S = 2 + \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{25} + \dfrac{2}{125} + \ldots \]

Finn summen av rekka.

Vis fasit

\[ S = \dfrac{5}{2} \]

Vis løsningsforslag

Vi har startledd \(a = 2\) og kvotient \(k = 1/5\) siden hvert ledd alltid blir en \(1/5\) av det forrige. Summen av rekka er da

\[ S = \dfrac{a}{1 - k} = \dfrac{2}{1 - \dfrac{1}{5}} = \dfrac{2}{4/5} = \dfrac{10}{2} = \dfrac{5}{2} \]

---

Variable kvotienter og konvergensområder

Noen ganger jobber vi med geometriske rekker der kvotienten er en funksjon \(k(x)\).

Uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient

En uendelig geometrisk rekke \(S(x)\) med startledd \(a\) og kvotient \(k(x)\) på formen

\[ S(x) = a + a\cdot k(x) + a \cdot k(x)^2 + a \cdot k(x)^3 + \ldots \]

konvergerer hvis og bare hvis

\[ \abs{k(x)} \lt 1 \]

De verdiene av \(x\) som tilfredsstiller at \(\abs{k(x)} \lt 1\) kalles for konvergensområdet til rekka.

---

Eksempel 7

Gitt rekka

\[ S(x) = 1 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x^3}{8} + \ldots \]

Bestem konvergensområdet til rekka.

Skjul løsningsforslag

Vi kan se at kvotienten til rekka er

\[ k(x) = \dfrac{x}{2} \]

Konvergensområdet til rekka må tilfredsstille at

\[ \abs{k(x)} \lt 1 \liff \abs{\dfrac{x}{2}} \lt 1 \]

Dette betyr at konvergensområdet til rekka er

\[ \abs{x} \lt 2 \liff -2 \lt x \lt 2 \]

---

Underveisoppgave 5

Gitt rekka

\[ S(x) = 1 + \dfrac{3x}{4} + \dfrac{9x^2}{16} + \dfrac{27x^3}{64} + \ldots \]

Finn konvergensområdet til rekka.

Vis fasit

\[ \abs{x} \lt \dfrac{4}{3} \]

Vis løsningsforslag

Kvotienten til rekka er gitt ved

\[ k(x) = \dfrac{3x}{4} \]

Konvergensområdet til rekka må tilfredsstille at

\[ \abs{k(x)} \lt 1 \liff \abs{\dfrac{3x}{4}} \lt 1 \liff \abs{x} \lt \dfrac{4}{3} \]