Oppgaver: Delvis integrasjon

Sentrale formler

• Delvis integrasjon

\[ \boxed{\int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v'} \]

• Analysens fundamentalteorem

\[ \boxed{\int f'(x) \d x = f(x) + C} \]

Oppgave 1

Regn ut integralene.

a)

Skjul oppgaven

\[ \int x e^{2x} \d x \]

Vis fasit

\[ \int x e^{2x} \d x = \dfrac{1}{4}e^{2x}(2x - 1) + C \]

Vis løsningsforslag

Vi velger at

\[ u = x \limplies u' = 1 \]

og

\[ v' = e^{2x} \limplies v = \frac{1}{2} e^{2x} \]

Med delvis integrasjon får vi da

\[\begin{split} \begin{align*} \int u' v &= uv - \int uv' \\ \\ &= x \cdot \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 1 \cdot \dfrac{1}{2}e^{2x} \d x \\ \\ &= \dfrac{1}{2}xe^{2x} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \\ \\ &= \dfrac{1}{2}xe^{2x} - \dfrac{1}{4}e^{2x} + C \\ \\ &= \dfrac{1}{4}e^{2x}(2x - 1) + C \end{align*} \end{split}\]

b)

Skjul oppgaven

\[ \int x \ln (2x) \d x \]

c)

Skjul oppgaven

\[ \int 4x e^{-2x} \d x \]

d)

Skjul oppgaven

\[ x^2 \ln x \d x \]

Oppgave 2

Regn ut integralene.

a)

Skjul oppgaven

\[ \int\limits_0^1 x e^{2x} \d x \]

b)

Skjul oppgaven

\[ \int\limits_{-1}^0 x^2 e^{-x} \d x \]

c)

Skjul oppgaven

\[ \int\limits_1^2 x \ln x \d x \]

d)

Skjul oppgaven

\[ \int\limits_1^2 \ln x \d x \]

Vis hint

Tenk på integranden som \(1 \cdot \ln x\) og bruk delvis integrasjon.

Oppgave 3

Regn ut integralene.

a)

Skjul oppgaven

\[ \int \sqrt{x} \ln x \d x \]

b)

Skjul oppgaven

\[ \int \dfrac{\ln x}{x} \d x \]

Vis hint

Tenk at det integranden er \(\dfrac{1}{x} \cdot \ln x\) og bruk delvis integrasjon.

c)

Skjul oppgaven

\[ \int \sqrt{x}e^x \d x \]

d)

Skjul oppgaven

\[ \int \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} \d x \]

Vis hint

Tenk at det integranden er \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot \ln x\) og bruk delvis integrasjon.

---

Oppgave 4

a)

Skjul oppgaven

Om en funksjon \(f\) får du vite at

• \(f'(x) = xe^{-x}\)

• Grafen til \(f\) går gjennom punktet \((0, 3)\).

Bestem \(f(x)\).

Vis fasit

\[ f(x) = -e^{-x}(x + 1) + 4 \]

b)

Skjul oppgaven

Om en funksjon \(g\) får du vite at

• \(g'(x) = e^{x} (x^2 - 1)\)

• Grafen til \(g\) går gjennom punktet \((1, 4e)\).

Bestem \(g(x)\).

c)

Skjul oppgaven

Om en funksjon \(h\) får du vite at

• \(h'(x) = 2x \ln x + x\)

• Grafen til \(h\) går gjennom punktet \((1, 3)\).

Bestem \(h(x)\).

d)

Skjul oppgaven

Om en funksjon \(p\) får du vite at

• \(p'(x) = e^{-3x} + 3xe^{-3x}\)

• Grafen til \(p\) går gjennom punktet \((1, e)\).

Oppgave 5

a)

Skjul oppgaven

Til høyre vises grafen til funksjonen

\[ f(x) = (x - 1)e^{-x} \]

Finn arealet av det fargelagte området.

Vis fasit

Arealet er \(\dfrac{1}{e}\)

Oppgave 6

Grafen til en funksjon \(f\) er vist til høyre.

Bestem \(b\) slik at arealet av de to fargelagte områdene er like store.