Bestemte og ubestemte integraler

Læringsmål

• Kunne regne ut bestemte integraler for enkle elementærfunksjoner.

• Kunne forklare sammenhengen mellom integraler og antideriverte ved hjelp av analysens fundamentalteorem.

• Kunne regne ut ubestemte integraler for enkle elementærfunksjoner.

Bestemte integraler: Areal med fortegn

Integrasjon handler om å finne arealet mellom grafen til en funksjon \(f\) og \(x\)-aksen. Vi forestiller oss at vi skal regne ut dette arealet på et intervall \([a, b]\). Vi skriver da at dette arealet \(A\) som

\[ A = \int\limits_a^b f(x) \, \d x \]

og kaller det for det bestemte integralet av \(f\) på intervallet \([a, b]\).

Eksempel 1

Grafen til funksjonen \(f\) er vist til høyre.

Regn ut integralet

\[ \int\limits_0^5 f(x) \dx \]

Skjul løsningsforslag

Vi finner arealet mellom grafen til \(f\) og \(x\)-aksen. Da får vi en trekant med grunnlinje \(5\) og høyde \(5\) som betyr at integralet (som er lik arealet) er

\[ \int\limits_0^5 f(x) \dx = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2} \]

---

Når vi regner ut integraler, så regner vi ut arealet med fortegn. Det vil si at når grafen til \(f\) ligger på oversiden av \(x\)-aksen så er arealet positivt siden \(f(x)\) er positiv. Når grafen til \(f\) ligger på undersiden av \(x\)-aksen så er arealet negativt siden \(f(x)\) er negativ. Altså er integraler egentlig arealer med fortegn.

La oss se på et eksempel:

Eksempel 2

Grafen til funksjonen \(f\) er vist til høyre.

Regn ut

\[ \int\limits_0^5 f(x) \dx \]

Skjul løsningsforslag

Integralet

\[ \int\limits_0^5 f(x) \dx \]

kan deles opp i to mindre integraler

\[ \int\limits_0^5 f(x) \dx = \int\limits_0^3 f(x) \dx + \int\limits_3^5 f(x) \dx \]

Med det første integralet ligger grafen til \(f\) på oversiden av \(x\)-aksen, så dette integralet blir positivt. Med det andre integralet ligger grafen til \(f\) på undersiden av \(x\)-aksen, så dette integralet blir negativt.

For det første integralet, så har vi en trekant med grunnlinje \(3\) og høyde \(+2\) som betyr at

\[ \int\limits_0^3 f(x) \dx = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \]

For det andre integralet, så har vi en trekant med grunnlinje \(2\) og høyde \(-4\) som betyr at

\[ \int\limits_3^5 f(x) \dx = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-4) = -4 \]

Dermed er det samlede integralet lik

\[ \int\limits_0^5 f(x) \dx = 3 + (-4) = -1 \]

---

I eksempel 1 og 2 er funksjonene bygget opp av rette linjer som gjør det mulig å regne ut integralene med geometri. Men de fleste funksjoner vi jobber med er jo ikke så enkle. For å regne ut integralet av mer kompliserte funksjoner trenger vi en mer generell sammenheng. Dette får vi ved hjelp av det som kalles for analysens fundamentalteorem.

Analysens fundamentalteorem

Analysens fundamentalteorem forteller oss at å regne ut et integral

\[ \int\limits_a^b f(x) \dx \]

er det samme som å derivere baklengs. Vi kaller det å antiderivere. Det vil si at det finnes en funksjon \(F\) slik at \(F'(x) = f(x)\). Integrasjon handler derfor om å lete etter hvilken funksjon \(F\) vi må derivere for å få \(f(x)\). Vi kaller \(f(x)\) for integranden og \(F(x)\) for den antideriverte til \(f(x)\).

Integrasjon og derivasjon er derfor motsatte regnearter.

Analysens fundamentalteorem: Bestemte integraler

For en funksjon \(f\) finnes det en funksjon \(F\) slik at \(F'(x) = f(x)\) for alle \(x\). Da gjelder:

\[ \int\limits_a^b f(x) \dx = F(b) - F(a) \]

der \(F\) er en antiderivert til \(f\).

Skrivemåten nedenfor er svært vanlig:

\[ \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a) \]

som lar oss skrive setningen som

\[ \int\limits_a^b f(x) \dx = \left[ F(x) \right]_a^b \]

Vis forklaring