Numerisk integrasjon#
Læringsmål
Kunne bruke bruke numeriske metoder for integrasjon til å finne numeriske verdier for integraler, og analysere nøyaktigheten av disse metodene.
Kunne tolke og skrive programmer som bruker ulike numeriske metoder til å beregne bestemte integraler.
Kunne beskrive integralet som en grense av Riemannsummer, og bruke Riemannsummer med programmering til å finne numeriske verdier for integraler.
En hel haug med integraler kan ikke løses uten å numeriske metoder rett og slett fordi det ikke finnes noen elementærfunksjon for den antideriverte til en funksjon. Sagt med andre ord, vi kan ikke finne en funksjon \(F(x)\) slik at \(F'(x) = f(x)\). Et eksempel på dette er et integral som tilsynelatende ser veldig enkelt ut, men hvor integranden likevel ikke har noen antiderivert:
En måte å angripe dette integralet på er derfor ved å bruke numerisk integrasjon. I all teorien som følger, skal vi se på hvordan vi kan utvikle og implementere numeriske metoder for integrasjon på integraler på formen
Rektangelmetoder#
Strategien som ligger bak rektangelmetodene går ut på å tegne inn rektangler under grafen til \(f\) og bruke summen av arealene til rektangelene som en tilnærming til verdien til integralet.
Fellestrekket for alle rektangelmetodene er at de har to komponenter:
En fast bredde \(\Delta x\) på hvert rektangel. Vi kaller dette ofte for steglengden til metoden.
Lar høyden til hvert rektangel være lik funksjonsverdien i et bestemt punkt på hvert intervall
Hvis vi bruker stadig flere rektangler med mindre bredde, så vil tilnærmingen komme nærmere og nærmere den faktiske verdien til integralet. I grensen der vi lar antall rektangler \(N \to \infty\), så vil tilnærmingen konvergere mot den ekte verdien av integralet.
Venstretilnærming#
Å bruke en venstretilnærming handler om å bruke det venstre endepunktet på hvert intervall til å bestemme høyden på rektangelet. Høyden av rektangelet vil være lik funksjonsverdien i venstre endepunkt på hvert intervall.
Høyretilnærming#
Midtpunktstilnærming#
Trapesmetoden#
Den siste geometriske tilnærmingen vi skal se på kalles for trapesmetoden. Ideen er at vi tegner inn trapeser under grafen til \(f\) og bruker summen av arealene til trapsene som en tilnærming til verdien til integralet.