Substitusjon

Læringsmål

• Kunne bruke substitusjon til å regne ut ubestemte og bestemte integraler.

Substitusjon (variabelskifte) er en teknikk som tar utgangspunkt i kjerneregelen for derivasjon. I prinsippet bruker vi kjerneregelen baklengs.

Ubestemte integraler med substitusjon

Gitt en funksjon \(f(u(x))\) der \(u(x)\) er en kjerne, så er

\[ \boxed{\int f(u(x)) \d x = \int f(u) \cdot \dfrac{\d u}{u'}} \]

Akkurat som med delvis integrasjon, står vi fritt til å velge oss hva \(u\) skal være når vi jobber med et integral. Et godt valg av \(u\) lar oss omdanne et vanskelig integral til et enklere et som vi kan løse.

\[ \underbrace{\int f(u(x)) \d x}_{\text{vanskelig integral}} = \underbrace{\int f(u) \cdot \dfrac{\d u}{u'}}_{\text{enklere integral}} \]

Eksempel 1

Finn

\[ \int xe^{x^2} \d x \]

Skjul løsningsforslag

Målet vårt er å få en enklere integrand som bare inneholder variabelen \(u\). Vi prøver å sette \(u = x^2\) siden \(u' = 2x\). Dette vil sørge for at vi deler bort faktoren \(x\) som står foran eksponentialfunksjonen.

Med formelen for substitusjon får vi da at

\[\begin{split} \begin{align*} \int x e^{x^2} \d x &= \int x e^u \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int x e^u \cdot \dfrac{\d u}{2x} \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \int e^u \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{2} e^u + C \end{align*} \end{split}\]

Til slutt setter vi tilbake kjernen \(u\). Dermed er

\[ \int x e^{x^2} \d x = \dfrac{1}{2} e^{x^2} + C \]

La oss ta et type integral vi får bruk for å løse i blant:

Eksempel 2

Finn integralet

\[ \int \dfrac{1}{2x - 1} \d x \]

Skjul løsningsforslag

Vi prøver å sette \(u = 2x - 1\) som gir \(u' = 2\). Da får vi

\[\begin{split} \begin{align*} \int \dfrac{1}{2x - 1} \d x &= \int \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{\d u}{2} \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \ln \abs{u} + C \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \ln \abs{2x - 1} + C \end{align*} \end{split}\]

Bestemt integrasjon med substitusjon

Gitt en funksjon \(f(u(x))\) der \(u(x)\) er en kjerne, så er

\[ \boxed{\int\limits_a^b f(u(x)) \dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} f(u)\dfrac{\d u}{u'}} \]

Setningen ovenfor gir oss en systematisk måte å bytte ut grensene på når vi regner ut bestemte integraler. Det lar oss slippe å sette tilbake kjernen når vi er ferdig, og vi får ofte en del enklere regning.

Eksempel 3

Regn ut

\[ \int\limits_1^3 (2x - 1)^2 \d x \]

Skjul løsningsforslag

Vi bruker substitusjon med

\[ u = 2x - 1 \limplies u' = 2. \]

Når vi bytter variabelen fra \(x\) til \(u\), må også grensene endres. Disse får vi ved å regne ut \(u(x)\) med de opprinnelige grensene:

\[ x = 1 \limplies u(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \]

\[ x = 3 \limplies u(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5 \]

Altså blir integralet

\[\begin{split} \begin{align*} \int\limits_1^3 (2x - 1)^2 \d x &= \int\limits_1^5 u^2 \cdot \dfrac{\d u}{2} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^5 u^2 \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{3}u^3\right]_1^5 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot (5^3 - 1^3) \\ \\ &= \dfrac{1}{6} \cdot 124 = \dfrac{62}{3} \end{align*} \end{split}\]