Vektorregning med digitale verktøy

Her skal vi ta for oss ulike temaer innenfor vektorregningen i 3D som er litt krevende å gjøre for hånd, men hvor ideene som ligger bak kan være relativt enkle å forstå.

Grunnleggende vektorregning i 3D

Parameterframstillinger av linjer

Skjæring mellom objekter

Vinkler mellom objekter

Med den geometriske formelen for prikkproduktet kan vi finne vinkelen \(\varphi\) mellom to vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \abs{\vec{a}} \cdot \abs{\vec{b}} \cos(\varphi) \]

Dette er setningen vi trenger for å finne vinkelen mellom plan og andre objekter.

Vinkelen mellom en linje og et plan

Når vi skal finne vinkelen mellom en linje \(\ell\) og et plan \(\alpha\), tar vi utgangspunkt i retningsvektoren \(\vec{v}\) til linja og normalvektoren \(\vec{n}\) til planet.

Vinkelen mellom et plan og en linje

Gitt en linje \(\ell\) med retningsvektor \(\vec{v}\) og et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec{n}\) der vinkelen mellom \(\vec{v}\) og \(\vec{n}\) er \(\varphi\).

Da er vinkelen \(\theta\) mellom linja og planet gitt ved

\[ \theta = 90^\circ - \varphi \]

Vinkelen mellom to plan

Vinkelen mellom to plan er den samme som vinkelen mellom normalvektorene tli de to planene.

Vinkelen mellom to plan

Gitt et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec{n}_\alpha\) og et plan \(\beta\) med normalvektor \(\vec{n}_\beta\).

La vinkelen mellom normalvektorene være \(\varphi\). Da er vinkelen mellom de to planene også lik \(\varphi\).