Oppgaver: Aritmetiske rekker

Innhold

Oppgaver: Aritmetiske rekker#

Oppgave 1#

a)

En aritmetisk følge \(\{a_n\}\) har startledd \(2\) og differanse \(5\).

Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).

\[ a_n = 5n - 3 \]

Formelen for det \(n\)-te leddet er

\[ a_n = a_1 + d(n - 1) \]

Vi har at \(a_1 = 2\) og \(d = 5\) som gir

\[ a_n = 2 + 5(n - 1) = 2 + 5n - 5 = 5n - 3 \]

b)

En aritmetisk følge \(\{b_n\}\) har startledd \(-3\) og differanse \(2\).

Finn en eksplisitt formel for \(b_n\).

\[ b_n = 2n - 5 \]

Startleddet er \(b_1 = -3\) og differansen er \(d = 2\). Da blir

\[ b_n = b_1 + d(n - 1) = -3 + 2(n - 1) = -3 + 2n - 2 = 2n - 5 \]

c)

En aritmetisk følge \(\{c_n\}\) har startledd \(20\) og differanse \(-3\).

Finn en eksplisitt formel for \(c_n\).

\[ c_n = -3n + 23 \]

Startleddet er \(c_1 = 20\) og differansen er \(d = -3\). Da blir formelen for det \(n\)-te leddet:

\[ c_n = c_1 + d(n - 1) = 20 - 3(n - 1) = 20 - 3n + 3 = -3n + 23 \]

Oppgave 2#

a)

En artimetisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ 3, 8, 13, 18, 23, \ldots \]

Finn en eksplisitt formel \(a_n\).

\[ a_n = 5n - 2 \]

Startleddet er \(a_1 = 3\) og differansen er \(d = 5\). Dermed blir

\[ a_n = a_1 + d(n - 1) = 3 + 5(n - 1) = 3 + 5n - 5 = 5n - 2 \]

b)

En aritmetisk følge \(\{b_n\}\) er gitt ved

\[ 50, 45, 40, 35, 30, \ldots \]

Finn en eksplisitt formel \(b_n\).

\[ b_n = -5n + 55 \]

Startleddet er \(b_1 = 50\) og differansen er \(d = -5\). Dermed blir

\[ b_n = b_1 + d(n - 1) = 50 - 5(n - 1) = 50 - 5n + 5 = -5n + 55 \]

c)

En aritmetisk følge \(\{c_n\}\) er gitt ved

\[ -10, -3, 4, 11, 18, \ldots \]

Finn en eksplisitt formel \(c_n\).

\[ c_n = 7n - 17 \]

Startleddet er \(c_1 = -10\) og differansen er \(d = 7\). Dermed blir

\[ c_n = c_1 + d(n - 1) = -10 + 7(n - 1) = -10 + 7n - 7 = 7n - 17 \]

Oppgave 3#

En aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ 1, 3, 5, 7, 9, \ldots, 99 \]

a)

Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).

\[ a_n = 2n - 1 \]

Differansen i følgen er \(d = 2\). Startleddet er \(a_1 = 1\). Dermed kan vi skrive opp en formel for følgen som:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1 \]

Rekka \(S\) er gitt ved

\[ S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots + 99 \]

b)

Finn summen av rekka.

\[ S = 2500 \]

Summen av en aritmetisk rekke er

\[ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Vi har at det \(n\)-te leddet i rekka er

\[ a_n = 2n - 1 \]

Det siste i rekka er \(a_n = 99\) som gir

\[ 2n - 1 = 99 \implies 2n = 100 \implies n = 50 \]

Altså er det \(50\) ledd i rekka. Da blir summen lik

\[ S_{50} = \dfrac{1 + 99}{2} \cdot 50 = 50 \cdot 50 = 2500 \]

Oppgave 4#

a)

En aritmetisk rekke er gitt ved

\[ S = 2 + 5 + 8 + 11 + \ldots + 50 \]

Finn summen av rekka.

\[ S = 442 \]

Rekka har startledd \(a_1 = 2\) med en differanse \(d = 3\). Derfor får vi at

\[ a_n = 2 + 3(n - 1) = 2 + 3n - 3 = 3n - 1 \]

Det siste leddet i rekka er lik \(50\) som gir

\[ a_n = 50 \liff 3n - 1 = 50 \liff 3n = 51 \]

som gir

\[ n = 17 \]

Summen av rekka er derfor

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{17}}{2} \cdot 17 = \frac{5 + 50}{2} \cdot 17 = 26 \cdot 17 = 442 \]

b)

En aritmetisk rekke er gitt ved

\[ S = 3 + 7 + 11 + 15 + \ldots + 99 \]

Bestem summen av rekka.

\[ S = 1275 \]

Rekka har startledd \(a_1 = 3\) med en differanse \(d = 4\). Formelen for det \(n\)-te leddet i rekka er da

\[ a_n = 3 + 4(n - 1) = 3 + 4n - 4 = 4n - 1 \]

Det siste leddet i rekka er \(a_n = 99\) som gir

\[ 4n - 1 = 99 \liff 4n = 100 \liff n = 25 \]

Altså er det \(25\) ledd i rekka. Summen av rekka blir derfor

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \dfrac{3 + 99}{2} \cdot 25 = 51 \cdot 25 = 1275 \]

c)

En aritmetisk rekke er gitt ved

\[ S = 100 + 96 + 92 + \ldots + 4 \]

Finn summen av rekka.

\[ S = 1300 \]

Rekka har startledd \(a_1 = 100\) og differanse \(d = -4\). Det \(n\)-te leddet er derfor gitt ved

\[ a_n = 100 - 4(n - 1) = 100 - 4n + 4 = -4n + 104 \]

Det siste leddet i rekka er \(a_n = 4\) som gir

\[ -4n + 104 = 4 \liff -4n = -100 \liff n = 25 \]

Altså er det \(25\) ledd i rekka. Summen av rekka blir derfor

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \dfrac{100 + 4}{2} \cdot 25 = 52 \cdot 25 = 1300 \]

d)

En aritmetisk rekke er gitt ved

\[ S = -8 - 3 + 2 + 7 + \ldots + 47 \]

Bestem summen av rekka.

\[ S = 234 \]

Rekka har startled \(a_1 = -8\) og differanse \(d = 5\). Det \(n\)-te leddet i rekka er derfor gitt ved

\[ a_n = -8 + 5(n - 1) = -8 + 5n - 5 = 5n - 13 \]

Det siste leddet i rekka er \(a_n = 47\) som gir

\[ 5n - 13 = 17 \liff 5n = 60 \liff n = 12 \]

Altså er det \(12\) ledd i rekka. Summen av rekka blir derfor

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 = \dfrac{-8 + 47}{2} \cdot 12 = \dfrac{39}{2} \cdot 12 = 234 \]

e)

En aritmetisk rekke er gitt ved

\[ S = -3 + 0 + 3 + 6 + \ldots + 69 \]

Finn summen av rekka.

\[ S = 825 \]

Rekka har startledd \(a_1 = -3\) og differanse \(d = 3\). Det \(n\)-te leddet i rekka er derfor gitt ved

\[ a_n = -3 + 3(n - 1) = -3 + 3n - 3 = 3n - 6 \]

Det siste leddet i rekka er \(a_n = 69\) som gir

\[ 3n - 6 = 69 \liff 3n = 75 \liff n = 25 \]

Altså er det \(25\) ledd i rekka. Summen av rekka blir derfor

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \dfrac{-3 + 69}{2} \cdot 25 = \dfrac{66}{2} \cdot 25 = 33 \cdot 25 = 825 \]

Oppgave 5#

For en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) gjelder

\[ a_{n + 1} - a_n = 5 \qog a_1 = 3 \]

a)

Finn \(a_5\).

\[ a_5 = 23 \]

Den rekursive formelen forteller oss at differansen i følgen er \(d = 5\). Startleddet er \(a_1 = 3\) som gir at formelen for det \(n\)-te leddet er

\[ a_n = 3 + 5(n - 1) = 3 + 5n - 5 = 5n - 2 \]

Vi setter inn \(n = 5\):

\[ a_5 = 5 \cdot 5 - 2 = 25 - 2 = 23 \]

En rekke er gitt ved

\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{30} \]

b)

Finn summen av rekka.

\[ S = 2265 \]

Fra oppgave a vet vi at

\[ a_n = 5n - 2 \]

Det siste leddet i rekka blir da

\[ a_{30} = 5 \cdot 30 - 2 = 150 - 2 = 148 \]

Summen av rekka blir derfor

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{30}}{2} \cdot 30 = \dfrac{3 + 148}{2} \cdot 30 = \dfrac{151}{2} \cdot 30 = 151 \cdot 15 = 2265 \]

En annen rekke er gitt ved

\[ R = a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{29} \]

c)

Bestem \(R\).

\[ R = 1095 \]

Rekka \(R\) er summen av annen hvert ledd i \(\{a_n\}\). Dette betyr at rekka består av \(15\) ledd. Det siste leddet er gitt ved

\[ a_{29} = 5 \cdot 29 - 2 = 145 - 2 = 143 \]

Summen av rekka blir derfor

\[ R = \dfrac{a_1 + a_{29}}{2} \cdot 15 = \dfrac{3 + 143}{2} \cdot 15 = \dfrac{146}{2} \cdot 15 = 73 \cdot 15 = 1095 \]

Oppgave 6#

a)

I en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er \(a_5 - a_1 = 12\) og \(a_1 = 3\).

Bestem en eksplisitt formel for \(a_n\).

\[ a_n = 3n \]

Startleddet er \(a_1 = 3\). Differansen \(d\) vil tilfredsstille likningen

\[ a_5 - a_1 = 4d \]

og siden \(a_5 - a_1 = 12\), får vi

\[ 4d = 12 \liff d = 3 \]

Det betyr at formelen for det \(n\)-te leddet i følgen er

\[ a_n = a_1 + d(n - 1) = 3 + 3(n - 1) = 3 + 3n - 3 = 3n \]

b)

I en aritmetisk følge \(\{b_n\}\) er \(b_6 - b_3 = 15\) og \(b_2 = 4\).

Finn en eksplisitt formel for \(b_n\).

\[ b_n = 5n - 6 \]

Differansen i følgen tilfredsstiller

\[ b_6 - b_3 = 3d \and b_6 - b_3 = 15 \]

som betyr at

\[ 3d = 15 \liff d = 5 \]

Siden \(b_2 = 4\), betyr det at startleddet er

\[ b_1 = b_2 - d = 4 - 5 = -1 \]

Dermed blir formelen for det \(n\)-te leddet i følgen

\[ b_n = b_1 + d(n - 1) = -1 + 5(n - 1) = -1 + 5n - 5 = 5n - 6 \]

c)

I en aritmetisk følge er \(\{c_n\}\) gitt ved \(c_7 - c_2 = 20\) og \(c_3 = 5\).

Finn en eksplisitt formel for \(c_n\).

\[ c_n = 4n - 7 \]

Differansen i følgen tilfredsstiller

\[ c_7 - c_2 = 5d \and c_7 - c_2 = 20 \]

som betyr at

\[ 5d = 20 \liff d = 4 \]

Siden \(c_3 = 5\), betyr det at startleddet er

\[ c_1 = c_3 - 2d = 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 \]

Dermed blir formelen for det \(n\)-te leddet i følgen

\[ c_n = c_1 + d(n - 1) = -3 + 4(n - 1) = -3 + 4n - 4 = 4n - 7 \]

Oppgave 7#

Ta quizen!

La \(\{a_n\}\) være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig?

\[ a_5 = \dfrac{a_3 + a_7}{2} \]

\[ a_6 = \dfrac{a_5 + a_8}{2} \]

\[ a_7 = \dfrac{a_5 + a_{10}}{2} \]

\[ a_{9} = \dfrac{a_{7} + a_{12}}{2} \]

La \(\{b_n\}\) være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig?

\[ b_{15} = \dfrac{b_{11} + b_{19}}{2} \]

\[ b_{5} = \dfrac{b_{3} + b_{8}}{2} \]

\[ b_{21} = \dfrac{b_{16} + b_{23}}{2} \]

\[ b_{8} = \dfrac{b_{6} + b_{11}}{2} \]

La \(\{c_n\}\) være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig?

\[ c_{20} = \dfrac{c_{18} + c_{22}}{2} \]

\[ c_{15} = \dfrac{c_{12} + c_{17}}{2} \]

\[ c_{10} = \dfrac{c_{8} + c_{13}}{2} \]

\[ c_{5} = \dfrac{c_{1} + c_{7}}{2} \]

La \(\{d_n\}\) være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig?

\[ d_{11} = \dfrac{d_{7} + d_{15}}{2} \]

\[ d_{16} = \dfrac{d_{13} + d_{18}}{2} \]

\[ d_{50} = \dfrac{d_{45} + d_{54}}{2} \]

\[ d_{67} = \dfrac{d_{62} + d_{73}}{2} \]

Oppgave 8#

I en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er

\[ a_1 + a_3 + a_5 = 21 \]

a)

Finn \(a_3\).

\[ a_3 = 7 \]

Leddet \(a_3\) ligger midt mellom \(a_1\) og \(a_5\) i følgen \(\{a_n\}\). Dermed vil gjennomsnittet av \(a_1\) og \(a_5\) være lik \(a_3\):

\[ \dfrac{a_1 + a_5}{2} = a_3 \liff a_1 + a_5 = 2a_3 \]

Vi setter inn i likningen:

\[ a_3 + (a_1 + a_5) = 21 \]

\[ a_3 + 2a_3 = 21 \liff 3a_3 = 21 \liff a_3 = 7 \]

I en aritmetisk følge \(\{b_n\}\) er

\[ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 25 \]

b)

Finn \(b_3\).

\[ b_3 = 5 \]

Leddet \(b_3\) ligger midt mellom \(b_2\) og \(b_4\) som betyr at gjennomsnittet av de to leddene er lik \(b_3\):

\[ \dfrac{b_2 + b_4}{2} = b_3 \liff b_2 + b_4 = 2b_3 \]

Leddet \(b_3\) ligger også midt mellom \(b_1\) og \(b_5\) som også betyr at

\[ \dfrac{b_1 + b_5}{2} = b_3 \liff b_1 + b_5 = 2b_3 \]

Dermed blir likningen

\[ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 25 \]

\[ (b_1 + b_5) + b_3 + (b_2 + b_4) = 25 \]

\[ 2b_3 + b_3 + 2b_3 = 25 \]

\[ 5b_3 = 25 \]

\[ b_3 = 5 \]

Oppgave 9#

En aritmetisk følge \(\{a_n\}\) tilfredsstiller

\[ a_{n + 1} = a_n + 3 \qder a_1 = 2 \]

a)

Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).

\[ a_n = 3n - 1 \]

Fra rekursjonsformelen ser vi at differansen i følgen er \(d = 3\). Startleddet er \(a_1 = 2\) som betyr at

\[ a_n = 2 + 3(n - 1) = 2 + 3n - 3 = 3n - 1 \]

En rekke \(S\) er gitt ved

\[ S = \sum_{n = 1}^{20} a_n \]

b)

Bestem \(S\).

\[ S = 610 \]

Vi har at

\[ S = \sum_{n = 1}^{20} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{20} \]

Vi vet at det første leddet er \(a_1 = 2\). Det siste leddet blir:

\[ a_{20} = 3 \cdot 20 - 1 = 60 - 1 = 59 \]

Summen av rekka er derfor

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \dfrac{2 + 59}{2} \cdot 20 = \dfrac{61}{2} \cdot 20 = 61 \cdot 10 = 610 \]

En annen rekke \(R\) er gitt ved

\[ R = \sum_{n = 1}^{10} a_{2n} \]

c)

Finn \(R\).

\[ R = 320 \]

Rekka \(R\) kan skrives om til

\[ R = \sum_{n=1}^{10} a_{2n} = a_2 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{18} + a_{20} \]

Rekka består av \(10\) ledd, der det siste leddet er \(a_{20} = 59\) og det første leddet er

\[ a_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5 \]

Summen av rekka blir derfor

\[ R = \dfrac{a_2 + a_{20}}{2} \cdot 10 = \dfrac{5 + 59}{2} \cdot 10 = \dfrac{64}{2} \cdot 10 = 32 \cdot 10 = 320 \]

Oppgave 10#

I en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er

\[ a_1 + a_3 + a_5 = 30 \and a_5 = 14 \]

a)

Finn \(a_1\).

\[ a_1 = 6 \]

Leddet \(a_3\) ligger midt mellom \(a_1\) og \(a_5\) i følgen \(\{a_n\}\) slik at

\[ a_3 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \liff 2a_3 = a_1 + a_5 \]

Det betyr at

\[ a_1 + a_3 + a_5 = 30 \]

\[ 3a_3 = 30 \]

\[ a_3 = 10 \]

Leddet \(a_5 = 14\) som betyr at \(a_5 - a_3 = 14 - 10 = 4\). Differansen \(a_3 - a_1\) må også være lik \(4\) som betyr at

\[ a_1 = a_3 - 4 = 10 - 4 = 6 \]

En rekke \(S\) er gitt ved

\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{50} \]

b)

Bestem \(S\).

\[ S = 2750 \]

Vi har at startleddet er \(a_1 = 6\). Differansen i følgen blir halvparten av differansen \(a_3 - a_1 = 4\), så derfor er \(d = 2\). Formelen for det \(n\)-te leddet er da

\[ a_n = 6 + 2(n - 1) = 6 + 2n - 2 = 2n + 4 \]

Det siste leddet i rekka blir da

\[ a_{50} = 2 \cdot 50 + 4 = 100 + 4 = 104 \]

Summen av rekka blir derfor

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \dfrac{6 + 104}{2} \cdot 50 = \dfrac{110}{2} \cdot 50 = 55 \cdot 50 = 2750 \]

Oppgave 11#

I en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er

\[ a_1 + a_5 + a_9 = 0 \and a_9 = 8 \]

a)

Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).

\[ a_n = 2n - 10 \]

Vi har at \(a_5\) er lik gjennomsnittet av \(a_1\) og \(a_9\) i følgen \(\{a_n\}\):

\[ \dfrac{a_1 + a_9}{2} = a_5 \liff a_1 + a_9 = 2a_5 \]

Men da får vi at

\[ a_1 + a_5 + a_9 = 0 \liff 3a_5 = 0 \liff a_5 = 0 \]

Siden summen av de tre leddene er lik \(0\), må altså \(a_5\) = 0. Og da må det også bety at \(a_1 = -a_9 = -8\).

Differansen i følgen \(\{a_n\}\) blir da

\[ d = \dfrac{a_9 - a_5}{9 - 5} = \dfrac{8 - 0}{4} = 2 \]

Dermed kan vi skrive opp en eksplisitt formel for det \(n\)-te leddet i følgen:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d = -8 + (n - 1) \cdot 2 = -8 + 2n - 2 = 2n - 10 \]

En rekke tilfredsstiller

\[ a_1 + a_2 + \ldots + a_{n} = 220 \]

b)

Bestem hvor mange ledd det er i rekka.

\[ n = 20 \]

Summen av rekka er generelt gitt ved

\[ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \dfrac{-8 + 2n - 10}{2} \cdot n = \dfrac{2n - 18}{2} \cdot n = (n - 9)n \]

Rekka skal være lik \(220\) som gir likningen

\[ n(n - 9) = 220 \liff n^2 - 9n - 220 = 0 \]

Vi bruker \(abc\)-formelen:

\[ n = \dfrac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-220)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{9 \pm \sqrt{81 + 880}}{2} = \dfrac{9 \pm \sqrt{961}}{2} = \dfrac{9 \pm 31}{2} \]

Det vil bare være den positive løsningen som gir mening, og denne blir

\[ n = \dfrac{9 + 31}{2} = \dfrac{40}{2} = 20 \]

Altså er det \(20\) ledd i rekka.

Oppgave 12#

I en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er

\[ a_5 - a_2 = 9 \qog a_2 = -4 \]

a)

Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).

\[ a_n = 3n - 10 \]

Vi har at

\[ a_5 - a_2 = 9 \and a_5 - a_2 = 3d \]

som betyr at differansen er

\[ 3d = 9 \liff d = 3 \]

Startleddet i rekka blir da

\[ a_1 = a_2 - d = -4 - 3 = -7 \]

Formelen for det \(n\)-te leddet er da

\[ a_n = a_1 + d(n - 1) = -7 + 3(n - 1) = -7 + 3n - 3 = 3n - 10 \]

Rekka \(S\) er gitt ved

\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{100} \]

b)

Bestem \(S\).

\[ S = 14150 \]

Det siste leddet i rekka blir

\[ a_{100} = 3 \cdot 100 - 10 = 300 - 10 = 290 \]

Da blir summen av rekka lik:

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = \dfrac{-7 + 290}{2} \cdot 100 = \dfrac{283}{2} \cdot 100 = 283 \cdot 50 = 14150 \]

Oppgave 13#

En rekke er gitt ved

\[ S = \ln e^2 + \ln e^4 + \ln e^6 + \ldots + \ln e^{100} \]

a)

Finn \(S\).

\[ S = 2550 \]

Vi skriver om uttrykket ved å bruke sammenhengen mellom \(e^x\) og \(\ln x\):

\[\begin{split} \begin{align*} S &= \ln e^2 + \ln e^4 + \ln e^6 + \ldots + \ln e^{100} \\ \\ &= 2 + 4 + 6 + \ldots + 100 \end{align*} \end{split}\]

Altså er dette en aritmetisk rekke med startledd \(a_1 = 2\) og differanse \(d = 2\). Det siste leddet i rekka er \(a_n = 100\) som betyr at vi summerer opp de \(50\) første partallene. Da får vi

\[ S = \dfrac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \dfrac{2 + 100}{2} \cdot 50 = 51 \cdot 50 = 2550 \]

En annen rekke er gitt ved

\[ R = \ln 2 + \ln 4 + \ln 8 + \ldots + \ln 1024 \]

b)

Finn \(R\).

\[ R = 55 \ln 2 \]

Vi starter med å uttrykke tallene som potenser av \(2\) og bruker logaritmeregler for å skrive uttrykket rekka enklere:

\[\begin{split} \begin{align*} R &= \ln 2 + \ln 4 + \ln 8 + \ldots + \ln 1024 \\ \\ &= \ln 2 + \ln 2^2 + \ln 2^3 + \ldots + \ln 2^{10} \\ \\ &= \ln 2 + 2\cdot \ln 2 + 3 \cdot \ln 2 + \ldots + 10\cdot \ln 2 \\ \\ &= (1 + 2 + 3 + \ldots + 10)\cdot \ln 2 \\ \\ &= \dfrac{(10 + 1)}{2} \cdot 10 \cdot \ln 2 \\ \\ &= 55 \ln 2 \end{align*} \end{split}\]

Gitt uttrykket:

\[ L = \log_2 \left(2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 8192\right) \]

c)

Bestem \(L\).

\[ L = 91 \]

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} R &= \log_2 \left(2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 8192\right) \\ \\ &= \log_2 2 + \log_2 4 + \log_2 8 + \ldots + \log_2 8192 \\ \\ &= \log_2 2 + \log_2 2^2 + \log_2 2^3 + \ldots + \log_2 2^{13} \\ \\ &= 1 + 2 + 3 + \ldots + 13 \\ \\ &= \dfrac{(13 + 1)}{2} \cdot 13 = 91 \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 14#

I en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er \(a_3 = 8\).

a)

Finn summen

\[ a_1 + a_3 + a_5 \]

\[ a_1 + a_3 + a_5 = 24 \]

Leddet \(a_3\) ligger midt mellom \(a_1\) og \(a_5\), så dermed er

\[ \dfrac{a_1 + a_5}{2} = a_3 \liff a_1 + a_5 = 2a_3 \]

Dermed blir summen

\[\begin{split} \begin{align*} a_1 + a_2 + a_3 &= (a_1 + a_5) + a_3 \\ \\ &= 2a_3 + a_3 \\ \\ &= 3a_3 \\ \\ &= 3 \cdot 8 \\ \\ &= 24 \end{align*} \end{split}\]

b)

Finn summen

\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \]

\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 40 \]

Vi har at

gjennomnittet av \(a_1\) og \(a_5\) er lik \(a_3\).
gjennomsnittet av \(a_2\) og \(a_4\) er lik \(a_3\).

Da får vi at

\[ a_1 + a_5 = 2a_3 \and a_2 + a_4 = 2a_3 \]

Dermed blir summen

\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 5a_3 = 5 \cdot 8 = 40 \]

I en annen aritmetisk følge \(\{b_n\}\) er \(b_{5} = 20\)

c)

Finn

\[ b_1 + b_2 + \ldots + b_9 \]

\[ b_1 + b_2 + \ldots + b_9 = 180 \]

Vi har at

gjennomnittet av \(b_1\) og \(b_9\) er lik \(b_5\).
gjennomnittet av \(b_2\) og \(b_8\) er lik \(b_5\).
gjennomnittet av \(b_3\) og \(b_7\) er lik \(b_5\).
gjennomnittet av \(b_4\) og \(b_6\) er lik \(b_5\).

Alle disse gir et bidrag \(2b_5\) til summen, som betyr at

\[\begin{split} \begin{align*} b_1 + b_2 + \ldots + b_9 &= (b_1 + b_9) + (b_2 + b_8) + (b_3 + b_7) + (b_4 + b_6) + b_5 \\ \\ &= 2b_5 + 2b_5 + 2b_5 + 2b_5 + b_5 \\ \\ &= 9b_5 \\ \\ &= 9 \cdot 20 \\ \\ &= 180 \end{align*} \end{split}\]