Aritmetiske følger og rekker

Innhold

Aritmetiske følger og rekker#

utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

En aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er en følge der differansen mellom to naboledd alltid er lik en fast konstant \(d\). En aritmetisk rekke er summen \(\sum a_n\) av leddene i en aritmetisk følge.

Vi starter med et eksempel:

Eksempel 1#

En aritmetisk rekke er gitt ved

\[ S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100 \]

Finn summen av rekka.

Hvis vi skriver opp rekka to ganger over hverandre, men i motsatt rekkefølge av hverandre, får vi:

\[\begin{split} \begin{align*} S &= 1 + 2 + 3 + \ldots + 98 + 99 + 100 \\ \\ S &= 100 + 99 + 98 + \ldots + 3 + 2 + 1 \end{align*} \end{split}\]

Hvis vi legger sammen leddene som står ovenfor hverandre, så får vi

\[ 2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \ldots + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) \]

som vi kan forenkle til

\[ 2S = \underbrace{101 + 101 + 101 + \ldots + 101 + 101 + 101}_{100 \text{ ledd}} \]

Så derfor er

\[ 2S = 101 \cdot 100 \]

som blir

\[ S = \dfrac{101 \cdot 100}{2} = 5050 \]

Underveisoppgave 1#

En aritmetisk rekke er gitt ved

\[ S = 2 + 4 + 6 + \ldots + 96 + 98 + 100 \]

Finn summen av rekka.

\[ S = 2550 \]

Vi bruker samme strategi som i eksempel 1. Vi skriver opp rekka to ganger over hverandre, men i motsatt rekkefølge:

\[\begin{split} \begin{align*} S &= 2 + 4 + 6 + \ldots + 96 + 98 + 100 \\ \\ S &= 100 + 98 + 96 + \ldots + 6 + 4 + 2 \end{align*} \end{split}\]

Så legger vi sammen leddene som står ovenfor hverandre:

\[ 2S = (2 + 100) + (4 + 98) + (6 + 96) + \ldots + (96 + 6) + (98 + 4) + (100 + 2) \]

som vi kan forenkle til

\[ 2S = \underbrace{102 + 102 + 102 + \ldots + 102 + 102 + 102}_{50 \text{ ledd}} \]

Dermed er

\[ 2S = 102 \cdot 50 \]

som gir

\[ S = \dfrac{102 \cdot 50}{2} = 2550 \]

La oss definere mer presist:

Eksplisitt formel for aritmetiske følger#

En aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er en følge der det er en fast differanse \(d\) mellom alle naboledd. Det \(n\)-te leddet i følgen er da gitt ved

\[ a_n = a_1 + d\cdot (n - 1) \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \]

Eksempel 2#

En aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ 3, 7, 11, 15, 19, \ldots \]

Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).

Vi ser at startleddet er \(a_1 = 3\). Differansen mellom to naboledd blir:

\[ d = 7 - 3 = 4 \]

Vi ser også at dette er differansen mellom alle de andre naboleddene. Dermed kan vi skrive opp en formel for følgen som:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1 \]

Underveisoppgave 2#

En aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ 5, 9, 13, 17, 21, \ldots \]

Finn en eksplisitt formel for \(a_n\).

\[ a_n = 4n + 1 \]

Startleddet er \(a_1 = 5\). Differansen mellom to naboledd blir:

\[ d = 9 - 5 = 4 \]

Dermed kan vi skrive opp en formel for følgen som:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \cdot 4 = 5 + 4n - 4 = 4n + 1 \]

Rekursiv formel for en aritmetisk følge#

For en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) med en fast differanse \(d\) mellom alle naboledd, er en rekursiv formel for leddene i følgen gitt ved

\[ a_{n + 1} - a_n = d \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \]

Eksempel 3#

En aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er gitt ved

\[ -3, 0, 3, 6, 9, \ldots \]

Finn en rekursiv formel for leddene i følgen.

Differansen i følgen er \(d = 3\). Det første leddet er \(a_1 = -3\). En rekursiv formel for leddene i følgen er derfor

\[ a_{n + 1} - a_n = 3 \qfor n = 1, 2, 3, \ldots \qder a_1 = -3 \]

Summen av en aritmetisk rekke#

Summen av de \(n\) første leddene i en aritmetisk rekke er

\[ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Vi kan tolke dette som gjennomsnittet av første og siste ledd, ganget med hvor mange ledd det er i rekka.

Vi starter med strategien vi så på i eksempel 1 og underveisoppgave 1. Vi har at:

\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n - 1} + a_n \]

der

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

Da kan vi tenke oss at vi lager en annen aritmetisk følge \(\{b_n\}\) som er \(\{a_n\}\) i motsatt rekkefølge slik at \(\{b_n\}\) er lik

\[ a_n, a_{n - 1}, \ldots, a_2, a_1 \]

Hvis vi da lager oss en følge \(\{c_n\}\) som er summen av de to følgende, så får vi

\[ a_1 + a_n, a_2 + a_{n - 1}, \ldots, a_{n - 1} + a_n, a_n + a_1 \]

Akkurat som i eksempel 1 og underveisoppgave 1, vil alle leddene i følgen bli lik \(a_1 + a_n\). Vi kan for eksempel se at dette er tilfelle her:

\[ a_2 + a_{n - 1} = a_1 + \underbrace{d + a_{n - 1}}_{=a_n} = a_1 + a_n \]

Så skriver vi opp rekka to ganger, men i motsatt rekkefølge av hverandre:

\[\begin{split} \begin{align*} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_{n - 1} + a_n \\ \\ S_n &= a_n + a_{n - 1} + \ldots + a_2 + a_1 \end{align*} \end{split}\]

Så legger vi de sammen og bruker at summen av alle ledd nå blir lik summen av første og siste ledd:

\[ 2S_n = \underbrace{(a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \ldots + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n)}_{n \text{ ledd}} \]

Da får vi

\[ 2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n \]

som gir

\[ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Eksempel 4#

En aritmetisk rekke \(S\) er gitt ved

\[ S = 1 + 5 + 9 + 14 + 19 + \ldots + 77 \]

Finn summen av rekka.

Summen av rekka vil være

\[ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Vi må derfor første finne en formel for det \(n\)-te leddet og deretter hvor mange ledd det er i rekka, før vi kan finne summen.

Vi har at differansen er \(d = 4\) og første ledd er \(a_1 = 1\). Dermed er

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)\cdot 4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3 \]

Vi vet at siste ledd er gitt ved \(a_n = 77\), så vi setter opp en likning og løser for \(n\):

\[ a_n = 77 \liff 4n - 3 = 77 \]

som gir

\[ 4n = 80 \liff n = 20 \]

Ergo har vi at summen av rekka er lik:

\[ S_{20} = \dfrac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{1 + 77}{2} \cdot 20 = 78\cdot 10 = 780 \]

Gjennomsnittet \(\bar{x}\) av to tall \(a\) og \(b\) ligger alltid midt mellom \(a\) og \(b\). Dette er en egenskap som vil være nyttig i noen sammenhenger når vi jobber med aritmetiske følger.

Aritmetiske gjennomsnitt#

For en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) så vil ethvert ledd \(a_n\) være lik gjennomsnittet av to ledd \(a_{n + k}\) og \(a_{n - k}\) som ligger like mange ledd \(k\) fra \(a_n\). Det vil si:

\[ a_n = \dfrac{a_{n + k} + a_{n - k}}{2} \]

Underveisoppgave 4#

La \(\{a_n\}\) være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig?

\[ a_8 = \dfrac{a_6 + a_{10}}{2} \]

\[ a_4 = \dfrac{a_1 + a_6}{2} \]

\[ a_5 = \dfrac{a_4 + a_7}{2} \]

\[ a_6 = \dfrac{a_4 + a_7}{2} \]

La \(\{b_n\}\) være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig?

\[ b_4 = \dfrac{b_2 + b_6}{2} \]

\[ b_3 = \dfrac{b_1 + b_4}{2} \]

\[ b_{21} = \dfrac{b_{19} + b_{24}}{2} \]

\[ b_{15} = \dfrac{b_{13} + b_{18}}{2} \]

La \(\{c_n\}\) være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig?

\[ c_{17} = \dfrac{c_{11} + c_{23}}{2} \]

\[ c_{13} = \dfrac{c_{7} + c_{20}}{2} \]

\[ c_{7} = \dfrac{c_{5} + c_{10}}{2} \]

\[ c_{30} = \dfrac{c_{27} + c_{32}}{2} \]

La \(\{d_n\}\) være en aritmetisk følge. Hvilket alternativ er riktig?

\[ d_{11} = \dfrac{d_{9} + d_{13}}{2} \]

\[ d_{7} = \dfrac{d_{5} + d_{10}}{2} \]

\[ d_{15} = \dfrac{d_{11} + d_{18}}{2} \]

\[ d_{20} = \dfrac{d_{17} + d_{24}}{2} \]

Eksempel 5#

I en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er

\[ a_1 + a_3 + a_5 = 30 \]

Finn \(a_3\).

Vi har at gjennomsnittet av \(a_1\) og \(a_5\) må være lik \(a_3\) siden leddavstanden er den samme fra \(a_3\) til \(a_5\) som fra \(a_3\) til \(a_1\), nemlig \(k = 2\).

Det betyr at

\[ a_3 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \liff 2a_3 = a_1 + a_5 \]

Dermed kan vi skrive om likningen som

\[ a_3 + (a_1 + a_5) = 30 \liff a_3 + 2a_3 = 30 \]

altså er

\[ 3a_3 = 30 \liff a_3 = 10 \]

Underveisoppgave 5#

I en aritmetisk følge \(\{a_n\}\) er

\[ a_2 + a_4 + a_6 = 36 \]

Finn \(a_4\).

\[ a_4 = 12 \]

Vi har at

\[ a_4 = \dfrac{a_2 + a_6}{2} \liff a_2 + a_6 = 2a_4 \]

Dermed får vi at

\[ a_4 + (a_2 + a_6) = 36 \]

\[ a_4 + 2a_4 = 36 \]

\[ 3a_4 = 36 \liff a_4 = \dfrac{36}{3} = 12 \]