Anvendelser av integrasjon

Innhold

Anvendelser av integrasjon#

Kunne bestemme volumet til omdreiningslegemer som er dreid om \(x\)-aksen eller \(y\)-aksen med integrasjon
Kunne bestemme arealet avgrenset av to funksjonsgrafer.
Kunne bestemme lengden av en kurve med integrasjon
Kunne bestemme gjennomsnittsverdien til en funksjon på et intervall med integrasjon

Areal avgrenset av funksjonsgrafer#

Areal avgrenset av to funksjonsgrafer#

Dersom funksjonsgrafene til to funksjoner \(f\) og \(g\) skjærer hverandre i \(x = a\) og \(x = b\), så er arealet \(A\) av området mellom grafene gitt ved

\[ A = \int\limits_a^b \abs{f(x) - g(x)} \, \d x \]

Eksempel 1#

Til høyre vises grafene til funksjonene

\[ f(x) = x^2 \qog g(x) = \sqrt{x} \]

Finn arealet avgrenset av de to grafene.

Vi starter med å finne skjæringspunktene mellom de to funksjonsgrafene slik at vi vet hva integrasjonsgrensene skal være:

\[ f(x) = g(x) \liff x^2 = \sqrt{x} \limplies x^4 = x \]

\[ x^4 - x = 0 \limplies x(x^3 - 1) = 0 \]

som gir

\[ x = 0 \or x^3 = 1 \limplies x = 0 \or x = 1. \]

På intervallet \([0, 1]\) vil \(g(x) > f(x)\). Da blir arealet av området avgrenset av de to grafene gitt ved

\[ A = \int\limits_0^1 \abs{f(x) - g(x)} \d x = \int\limits_0^1 (g(x) - f(x)) \d x \]

Vi løser det ubestemte integralet først:

\[\begin{split} \begin{align*} \int (g(x) - f(x)) \d x &= \int (\sqrt{x} - x^2) \d x \\ \\ &= \int \sqrt{x} \d x - \int x^2 \d x \\ \\ &= \int x^{1/2} \d x - \dfrac{1}{3}x^3 \\ \\ &= \dfrac{1}{3/2}x^{3/2} - \dfrac{1}{3}x^3 + C \\ \\ &= \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{1}{3}x^3 + C. \end{align*} \end{split}\]

Vi velger den enkleste antideriverte ved å sette \(C = 0\). Den er da gitt ved

\[ F(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{1}{3}x^3 \]

Arealet blir da

\[\begin{split} \begin{align*} A &= F(1) - F(0) \\ \\ &= \left(\dfrac{2}{3} \cdot 1^{3/2} - \dfrac{1}{3} \cdot 1^3\right) - \left(\dfrac{2}{3} \cdot 0^{3/2} - \dfrac{1}{3} \cdot 0^3\right) \\ \\ &= \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \\ \\ &= \dfrac{1}{3} \end{align*} \end{split}\]

Volum av omdreiningslegemer#

Volum av omdreiningslegemer om \(x\)-aksen (skivemetoden)#

Volumet \(V\) til omdreiningslegemet vi får om vi dreier grafen til \(f\) \(360\degree\) om \(x\)-aksen på intervallet \([a, b]\) er gitt ved

\[ \boxed{V = \pi \int\limits_a^b f(x)^2 \, \d x} \]

Eksempel 2#

Grafen til funksjonen \(f(x) = 2x + 1\) dreies om 360 grader om \(x\)-aksen på intervallet \([1, 3]\).

Finn volumet av omdreiningslegemet.

Volumet av omdreiningslegemet er gitt ved

\[ V = \pi \int\limits_1^3 f(x)^2 \d x = \pi \int\limits_1^3 (2x + 1)^2 \d x \]

Vi kan bruke substitusjon for å løse integralet enklest mulig:

\[ u = 2x + 1 \limplies \d u = 2\d x \liff \d x = \dfrac{\d u}{2} \]

De nye integrasjonsgrensene blir da

\[ u(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \qog u(3) = 2\cdot 3 + 1 = 7 \]

Dermed blir volumet

\[\begin{split} \begin{align*} V &= \pi \int\limits_3^7 u^2 \dfrac{\d u}{2} \\ \\ &= \dfrac{\pi}{2} \int\limits_3^7 u^2 \d u \\ \\ &= \dfrac{\pi}{2} \left[\dfrac{1}{3}u^3\right]_3^7 \\ \\ &= \dfrac{\pi}{6} \left(7^3 - 3^3\right) \\ \\ &= \dfrac{\pi}{6} \left(343 - 27\right) \\ \\ &= \dfrac{\pi}{6} \cdot 316 \\ \\ &= \dfrac{158\pi}{3} \end{align*} \end{split}\]

Volumet av omdreiningslegemer om \(y\)-aksen (sylindermetoden)#

Volumet til omdreiningslegemet vi får om vi dreier grafen til \(f\) \(360\degree\) om \(y\)-aksen på intervallet \([a, b]\) er gitt ved

\[ \boxed{V = 2\pi \int\limits_a^b x \cdot f(x) \, \d x} \]

Gjennomsnittsverdien til en funksjon#

Gjennomsnittet av en funksjon#

Gjennomsnittet til en funksjon \(f\) på intervallet \([a, b]\) er gitt ved

\[ \boxed{\bar{f} = \dfrac{1}{b - a} \int\limits_a^b f(x) \, \d x} \]

Buelengde av en kurve#

Buelengde (lengden av en kurve)#

Buelengden \(L\) av grafen til en funksjon \(f\) på et intervall \([a, b]\) er gitt ved

\[ \boxed{L = \int\limits_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} \, \d x} \]

Overflatearealet til et omdreiningslegeme#

Overflatearealet til et omdreiningslegeme om \(x\)-aksen#

Overflatearealet \(A\) til omdreiningslegemet vi får om vi dreier grafen til \(f\) \(360\degree\) om \(x\)-aksen på intervallet \([a, b]\) er gitt ved

\[ \boxed{A = 2\pi \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \, \d x} \]