Delvis integrasjon

Læringsmål

• kunne regne ut ubestemte og bestemte integraler ved bruk av delvis integrasjon

Siden integrasjon handler om å finne antideriverte, er det naturlig å snu seg mot derivasjonsreglene for å utvikle teknikker for å løse integraler. Her skal vi ta utgangspunkt i produktregelen for derivasjon for å utvikle en teknikk for å løse integraler som kalles delvis integrasjon.

Integrasjonsteknikk: Delvis integrasjon

For to funksjoner \(u\) og \(v\) gjelder

\[ \int u'(x) \cdot v(x) \, \d x = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \, \d x \]

Vi skriver dette ofte på en mer kompakt form som

\[ \boxed{\int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v'} \]

Vis forklaring

Produktregelen for derivasjon sier at

\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

Integrerer vi på hver side av likningen får vi

\[ \int (u \cdot v)' \, \d x = \int u' \cdot v \, \d x + \int u \cdot v' \, \d x \]

På venstre side skal vi bare finne den antideriverte til \((u \cdot v)'\), og det er jo bare \(u \cdot v + C\). Dermed får vi

\[ u \cdot v + C = \int u' \cdot v \, \d x + \int u \cdot v' \, \d x \]

Dette kan vi skrive om til

\[ \int u' \cdot v \, \d x = u \cdot v - \int u \cdot v' \, \d x + C \]

Vi kan “bake inn” integrasjonskonstanten i en av de andre ubestemte integralene siden de vil begge ha en integrasjonskonstant, og dermed får vi formelen for delvis integrasjon:

\[ \int u' \cdot v \, \d x = u \cdot v - \int u \cdot v' \, \d x \]

---

Teknikken går ut på å omgjøre et “vanskelig” integral til et “enklere” integral vi kan antiderivere direkte:

\[ \underbrace{\int u' \cdot v}_{\text{vanskelig integral}} = u\cdot v - \underbrace{\int u \cdot v'}_{\text{enkelt integral}} \]

Vi ser derfor på venstresiden av formelen som vårt integral, og så bruker vi formelen til å omgjøre det til et enklere integral på høyresiden. Vi står fritt til å velge hvilken av funksjonene som skal være \(u'\) og hvilken som skal være \(v\).

Eksempel 1

Finn integralet

\[ \int x \cdot e^x \, \d x \]

Skjul løsningsforslag

Her kan vi ikke umiddelbart se noen enkel antiderivert. Men siden integralet er et produkt av to funksjoner, kan vi prøve oss på delvis integrasjon

\[ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' \]

Vi tenker oss at vårt integral er venstresiden av formelen. Vi står fritt til å velge hvilken av funksjonene som skal være \(u'\) og hvilken som skal være \(v\). Men det er ofte bare én av valgene som gir oss et enklere integral vi kan løse.

La oss først prøve å velge at \(u' = x\) og at \(v = e^x\). Da får vi at

\[ u' = x \limplies u = \dfrac{1}{2} x^2 \]

\[ v = e^x \limplies v' = e^x \]

Setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon får vi

\[ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' \]

\[ \int x \cdot e^x \, \d x = \dfrac{1}{2} x^2 e^x - \int \dfrac{1}{2} x^2 e^x \, \d x \]

Dette ga oss bare et enda vanskeligere integral på høyre side, så dette var ikke et godt valg.

La oss prøve det andre valget, nemlig at \(u' = e^x\) og at \(v = x\). Da får vi at

\[ u' = e^x \limplies u = e^x \]

\[ v = x \limplies v' = 1 \]

Setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon får vi

\[ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' \]

\[ \int x \cdot e^x \, \d x = e^x \cdot x - \int e^x \cdot 1 \, \d x \]

Nå fikk vi et enklere integral vi kan løse:

\[\begin{split} \begin{align*} \int x \cdot e^x \, \d x &= e^x \cdot x - \int e^x \, \d x \\ \\ &= e^x \cdot x - e^x + C \\ \\ &= e^x \cdot (x - 1) + C \end{align*} \end{split}\]

---

Underveisoppgave 1

Regn ut

\[ \int x \ln x \d x \]

Vis fasit

\[ \int x \ln x \d x = \frac{1}{4}x^2(2\ln x - 1) + C \]

Vis løsningsforslag

Vi prøver delvis integrasjon med

\[ u' = x \limplies u = \frac{1}{2}x^2 \]

\[ v = \ln x \limplies v' = \frac{1}{x} \]

Setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon får vi

\[ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' \]

\[\begin{split} \begin{align*} \int x \ln x \d x &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \d x \\ \\ &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x \d x \\ \\ &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 + C \\ \\ &= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C \\ \\ &= \frac{1}{4}x^2(2\ln x - 1) + C \end{align*} \end{split}\]

---

Eksempel 2

Regn ut

\[ \int\limits_1^e 2x \ln x \d x \]

Skjul løsningsforslag

Vi finner det ubestemte integralet først:

\[ \int 2x \ln x \d x \]

Vi bruker delvis integrasjon med

\[ u' = 2x \limplies u = x^2 \]

\[ v = \ln x \limplies v' = \frac{1}{x} \]

Setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon får vi

\[ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' \]

\[\begin{split} \begin{align*} \int 2x \ln x \d x &= x^2 \ln x - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} \d x \\ \\ &= x^2 \ln x - \int x \d x \\ \\ &= x^2 \ln x - \frac{1}{2}x^2 + C \\ \\ &= \frac{1}{2}x^2(2\ln x - 1) + C \end{align*} \end{split}\]

En antiderivert er derfor \(F(x) = \dfrac{1}{2}x^2(2\ln x - 1)\). Vi kan nå bruke dette til å regne ut det bestemte integralet:

\[ F(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 (2\ln 1 - 1) = -\frac{1}{2} \]

\[ F(e) = \frac{1}{2} \cdot e^2 (2\ln e - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^2 (2 - 1) = \frac{1}{2}e^2 \]

Dermed er

\[\begin{split} \begin{align*} \int\limits_1^e 2x \ln x \d x &= F(e) - F(1) \\ \\ &= \frac{1}{2}e^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) \\ \\ &= \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} \\ \\ &= \frac{1}{2}(e^2 + 1) \end{align*} \end{split}\]

---

Underveisoppgave 2

Regn ut

\[ \int\limits_1^{e} x^2 \ln x \d x \]

Vis fasit

\[ \int\limits_1^{e} x^2 \ln x \d x = \frac{1}{9}(2e^3 + 1) \]

Vis løsningsforslag

Vi finner det ubestemte integralet først:

\[ \int x^2 \ln x \d x \]

Vi prøver delvis integrasjon med

\[ u' = x^2 \limplies u = \frac{1}{3}x^3 \]

\[ v = \ln x \limplies v' = \frac{1}{x} \]

Så setter vi dette inn i formelen for delvis integrasjon:

\[ \int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v' \]

\[\begin{split} \begin{align*} \int x^2 \ln x \d x &= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} \d x \\ \\ &= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \int \frac{1}{3}x^2 \d x \\ \\ &= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x^3 + C \\ \\ &= \frac{1}{3}x^3 \ln x - \frac{1}{9}x^3 + C \\ \\ &= \frac{1}{9}x^3(3\ln x - 1) + C \end{align*} \end{split}\]

Siden vi skal regne ut et bestemt integral, setter vi \(C = 0\) for å få en så enkel antiderivert som mulig. Vi har da at

\[ F(x) = \frac{1}{9}x^3(3\ln x - 1) \]

som gir

\[ F(1) = \frac{1}{9} \cdot 1^3 (3\ln 1 - 1) = -\frac{1}{9} \]

\[ F(e) = \frac{1}{9} \cdot e^3 (3\ln e - 1) = \frac{1}{9} \cdot e^3 (3 - 1) = \frac{2}{9}e^3 \]

Dermed blir det bestemte integralet

\[\begin{split} \begin{align*} \int\limits_1^{e} x^2 \ln x \d x &= F(e) - F(1) \\ \\ &= \frac{2}{9}e^3 - \left(-\frac{1}{9}\right) \\ \\ &= \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9} \\ \\ &= \frac{1}{9}(2e^3 + 1) \end{align*} \end{split}\]