Oppgaver: Bestemte og ubestemte integraler#
Oppgave 1#
Finn de ubestemte integralene.
a)
\[
\int x^3 \d x
\]
b)
\[
\int e^{-2x} \d x
\]
c)
\[
\int \dfrac{2}{x} \d x
\]
d)
\[
\int e^{3x} \d x
\]
Oppgave 2#
Finn de ubestemte integralene.
a)
\[
\int 2x^3 \d x
\]
b)
\[
\int (x^2 + \pi) \d x
\]
c)
\[
\int \left(e^{2x} - \dfrac{1}{x}\right) \d x
\]
d)
\[
\int \left(\dfrac{1}{x^2} - e^{-2x}\right) \d x
\]
Oppgave 3#
Regn ut de bestemte integralene.
a)
\[
\int\limits_0^1 (2x + 1) \d x
\]
b)
\[
\int\limits_1^e \dfrac{3}{x} \d x
\]
c)
\[
\int\limits_0^1 \left(e^{-x} - 1\right) \d x
\]
d)
\[
\int\limits_{-2}^{2} (x^3 - x) \d x
\]
\[
\int\limits_{-2}^{2} (x^3 - x) \d x = 0
\]
Oppgave 4#
Til høyre vises grafen til funksjonen
\[
f(x) = x^3 - 4x
\]
Finn arealet av det fargelagte området.
Arealet er lik \(8\).
Oppgave 5#
Om en funksjon \(f\) får du vite at
\(f'(x) = \dfrac{2}{x^2}\)
Grafen til \(f\) går gjennom punktet \((1, 3)\).
a)
Bestem \(f(x)\).
Om en funksjon \(g\) får du vite at
\(g'(x) = \dfrac{3}{x}\)
Grafen til \(g\) går gjennom punktet \((e, 2)\).
Funksjonen er definert for \(x > 0\).
b)
Bestem \(g(x)\).
Oppgave 6#
a)
Regn ut integralet
\[
\int\limits_{0}^\pi \sin (x) \d x
\]
Oppgave 7#
a)
Finn integralet
\[
\int \cos (2x) \d x
\]
b)
Finn integralet
\[
\int \sin (3x) \d x
\]
c)
Finn integralet
\[
\int \sin (x) \cos (x) \d x
\]
Du kan få bruk for identiteten
\[
\sin (2x) = 2 \sin (x) \cos (x)
\]
d)
Finn integralet
\[
\int \cos^2 x \d x
\]
Du kan få bruk for identiteten
\[
\cos^2 x - \sin^2 x = \cos (2x)
\]