Oppgaver: Substitusjon

Oppgave 1

Finn integralene.

a)

Skjul oppgaven

\[ \int xe^{-x^2} \d x \]

Vis hint

Sett \(u = -x^2\).

Vis fasit

\[ \int xe^{-x^2} \d x = -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C \]

Vis løsningsforslag

Vi velger substitusjonen

\[ u = -x^2 \limplies u' = -2x \]

Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon:

\[\begin{split} \begin{align*} \int xe^{-x^2} \d x &= \int x\cdot e^u \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int x\cdot e^u \cdot \dfrac{\d u}{-2x} \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \int e^u \cdot \d u \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} e^u + C \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + C \end{align*} \end{split}\]

b)

Skjul oppgaven

\[ \int \dfrac{5}{3x + 4} \d x \]

Vis hint

Sett \(u = 3x + 4\)

Vis fasit

\[ \int \dfrac{5}{3x + 4} \d x = \dfrac{5}{3} \ln \abs{3x + 4} + C \]

Vis løsningsforslag

Vi setter

\[ u = 3x + 4 \limplies u' = 3 \]

Så bruker vi formelen for integrasjon med substitusjon:

\[\begin{split} \begin{align*} \int \dfrac{5}{3x + 4} \d x &= \int \dfrac{5}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{5}{u} \cdot \dfrac{\d u}{3} \\ \\ &= \dfrac{5}{3} \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \dfrac{5}{3} \ln \abs{u} + C \\ \\ &= \dfrac{5}{3} \ln \abs{3x + 4} + C \end{align*} \end{split}\]

c)

Skjul oppgaven

\[ \int \dfrac{2x}{x^2 + 1} \d x \]

Vis hint

Sett \(u = x^2 + 1\)

Vis fasit

\[ \int \dfrac{2x}{x^2 + 1} \d x = \ln \abs{x^2 + 1} + C \]

Vis løsningsforslag

Vi setter

\[ u = x^2 + 1 \limplies u' = 2x \]

Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon:

\[\begin{split} \begin{align*} \int \dfrac{2x}{x^2 + 1} \d x &= \int \dfrac{u'}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \ln \abs{u} + C \\ \\ &= \ln \abs{x^2 + 1} + C \end{align*} \end{split}\]

d)

Skjul oppgaven

\[ \int \dfrac{e^x}{e^x - 1} \d x \]

Vis hint

Sett \(u = e^x - 1\).

Vis fasit

\[ \int \dfrac{e^x}{e^x - 1} \d x = \ln \abs{e^x - 1} + C \]

Vis løsningsforslag

Vi setter

\[ u = e^x - 1 \limplies u' = e^x \]

Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon:

\[\begin{split} \begin{align*} \int \dfrac{e^x}{e^x - 1} \d x &= \int \dfrac{u'}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \ln \abs{u} + C \\ \\ &= \ln \abs{e^x - 1} + C \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 2

Finn integralene.

a)

Skjul oppgaven

\[ \int x \sqrt{1 - x^2} \d x \]

Vis fasit

\[ \int x \sqrt{1 - x^2} \d x = -\dfrac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C \]

Vis løsningsforslag

Vi velger oss \(u\) gitt ved

\[ u = 1 - x^2 \limplies u' = -2x \]

Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon:

\[\begin{split} \begin{align*} \int x \sqrt{1 - x^2} \d x &= \int x \sqrt{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int x \sqrt{u} \cdot \dfrac{\d u}{-2x} \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \int \sqrt{u} \d u \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \int u^{1/2} \d u \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3/2} u^{3/2} + C \\ \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} u^{3/2} + C \\ \\ &= -\dfrac{1}{3} u^{3/2} + C \\ \\ &= -\dfrac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C \end{align*} \end{split}\]

b)

Skjul oppgaven

\[ \int \dfrac{8x^3}{x^4 + 1} \d x \]

Vis fasit

\[ \int \dfrac{8x^3}{x^4 + 1} \d x = 2 \ln \abs{x^4 + 1} + C \]

Vis løsningsforslag

Vi setter

\[ u = x^4 + 1 \limplies u' = 4x^3 \]

Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon:

\[\begin{split} \begin{align*} \int \dfrac{8x^3}{x^4 + 1} \d x &= \int \dfrac{8x^3}{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{8x^3}{u} \cdot \dfrac{\d u}{4x^3} \\ \\ &= \int \dfrac{2}{u} \d u \\ \\ &= 2 \ln \abs{u} + C \\ \\ &= 2 \ln \abs{x^4 + 1} + C \end{align*} \end{split}\]

c)

Skjul oppgaven

\[ \int \dfrac{\ln x}{x} \d x \]

Vis fasit

\[ \int \dfrac{\ln x}{x} \d x = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2 + C \]

Vis løsningsforslag

Vi setter

\[ u = \ln x \limplies u' = \dfrac{1}{x} \]

Så bruker vi formelen for integrasjon med substitusjon:

\[\begin{split} \begin{align*} \int \dfrac{\ln x}{x} \d x &= \int \dfrac{u}{x} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{u}{x} \cdot \dfrac{\d u}{1/x} \\ \\ &= \int u \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{2} u^2 + C \\ \\ &= \dfrac{1}{2} (\ln x)^2 + C \end{align*} \end{split}\]

d)

Skjul oppgaven

\[ \int \sqrt{x + 5} \d x \]

Vis fasit

\[ \int \sqrt{x + 5} \d x = \dfrac{2}{3} (x + 5)^{3/2} + C \]

Vis løsningsforslag

Vi setter

\[ u = x + 5 \limplies u' = 1 \]

Så setter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon:

\[\begin{split} \begin{align*} \int \sqrt{x + 5} \d x &= \int \sqrt{u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \sqrt{u} \cdot \dfrac{\d u}{1} \\ \\ &= \int u^{1/2} \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{3/2} u^{3/2} + C \\ \\ &= \dfrac{2}{3} u^{3/2} + C \\ \\ &= \dfrac{2}{3} (x + 5)^{3/2} + C \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 3

Regn ut.

a)

Skjul oppgaven

\[ \int\limits_0^2 (x + 3)^3 \d x \]

Vis fasit

\[ \int\limits_0^2 (x + 3)^3 \d x = 136 \]

Vis løsningsforslag

Vi velger substitusjonen

\[ u = x + 3 \limplies u' = 1 \]

De nye integrasjonsgrensene blir da

\[\begin{split} \begin{align*} x &= 0 \limplies u(0) = 0 + 3 = 3 \\ \\ x &= 2 \limplies u(2) = 2 + 3 = 5 \end{align*} \end{split}\]

Vi setter inn i formelen for integral med substitusjon som gir:

\[\begin{split} \begin{align*} \int\limits_0^2 (x + 3)^3 \d x &= \int\limits_3^5 u^3 \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int\limits_3^5 u^3 \cdot \dfrac{\d u}{1} \\ \\ &= \int\limits_3^5 u^3 \d u \\ \\ &= \left[\dfrac{1}{4}u^4\right]_3^5 \\ \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \left(5^4 - 3^4\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot \left(625 - 81\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{4} \cdot 544 \\ \\ &= 136 \end{align*} \end{split}\]

der vi har brukt at vi kan faktorisere \(544 = 4 \cdot 136\).

b)

Skjul oppgaven

\[ \int\limits_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}} \d x \]

Vis fasit

\[ \int\limits_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}} \d x = 2 \]

Vis løsningsforslag

Vi velger substitusjonen

\[ u = 2x + 1 \limplies u' = 2 \]

De nye grensene blir da

\[\begin{split} \begin{align*} x &= 0 \limplies u(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \\ \\ x &= 4 \limplies u(4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \end{align*} \end{split}\]

Altså får vi

\[\begin{split} \begin{align*} \int\limits_0^4 \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}} \d x &= \int\limits_1^9 \dfrac{1}{\sqrt{u}} \cdot \dfrac{\d u}{2} \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\int\limits_1^9 u^{-\frac{1}{2}} \d u \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{1/2}u^{1/2}\right]_1^9 \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left[\sqrt{u}\right]_1^9 \\ \\ &= \sqrt{9} - \sqrt{1} \\ \\ &= 3 - 1 \\ \\ &= 2 \end{align*} \end{split}\]

c)

Skjul oppgaven

\[ \int\limits_4^9 \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \d x \]

Vis fasit

\[ \int\limits_4^9 \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \d x = 9 + 4 \ln 2 \]

Vis løsningsforslag

Vi setter

\[ u = \sqrt{x} \limplies u' = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2u} \]

De nye integrasjonsgrensene blir

\[\begin{split} \begin{align*} x &= 4 \limplies u(4) = \sqrt{4} = 2 \\ \\ x &= 9 \limplies u(9) = \sqrt{9} = 3 \end{align*} \end{split}\]

Dermed får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} \int\limits_4^9 \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \d x &= \int\limits_2^3 \dfrac{u + 1}{u - 1} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int\limits_2^3 \dfrac{u + 1}{u - 1} \cdot \dfrac{\d u}{1/(2u)} \\ \\ &= \int\limits_2^3 \dfrac{u + 1}{u - 1} \cdot 2u \d u \\ \\ &= \int\limits_2^3 \dfrac{2u^2 + 2u}{u - 1} \d u \end{align*} \end{split}\]

Herfra kan vi utføre polynomdivisjon for å gjøre integranden enklere:

Altså får vi at

\[\begin{split} \begin{align*} \int\limits_2^3 \dfrac{2u^2 + 2u}{u - 1} \d u &= \int\limits_2^3 \left(2u + 4 + \dfrac{4}{u - 1}\right) \d u \\ \\ &= \int\limits_2^3 2u \d u + \int\limits_2^3 4 \d u + \int\limits_2^3 \dfrac{4}{u - 1} \d u \\ \\ &= \left[u^2\right]_2^3 + \left[4u\right]_2^3 + \left[4 \ln \abs{u - 1}\right]_2^3 \\ \\ &= (9 - 4) + (12 - 8) + (4 \ln 2 - 4 \ln 1) \\ \\ &= 5 + 4 + 4 \ln 2 \\ \\ &= 9 + 4 \ln 2 \end{align*} \end{split}\]

d)

Skjul oppgaven

\[ \int\limits_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x} \d x \]

Vis fasit

\[ \int\limits_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x} \d x = \ln 2 \]

Vis løsningsforslag

Vi prøver å sette \(u = \ln x\) siden den deriverte da vil muligens kansellere faktoren \(x\) i nevneren. Da får vi

\[ u = \ln x \limplies u' = \dfrac{1}{x} \]

Da vil det ubestemte integralet bli

\[\begin{split} \begin{align*} \int \dfrac{1}{x \ln x} \d x &= \int \dfrac{1}{x \cdot u} \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{x \cdot u} \cdot \dfrac{\d u}{1/x} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{x\cdot u} x \cdot \d u \\ \\ &= \int \dfrac{1}{u} \d u \\ \\ &= \ln \abs{u} + C \\ \end{align*} \end{split}\]

De nye integrasjonsgrensene blir

\[\begin{split} \begin{align*} x &= e \limplies u(e) = \ln e = 1 \\ \\ x &= e^2 \limplies u(e^2) = \ln e^2 = 2 \end{align*} \end{split}\]

Altså får vi at

\[ \int\limits_e^{e^2} \dfrac{1}{x \ln x} \d x = \int\limits_1^2 \dfrac{1}{u} \d u = \left[\ln \abs{u}\right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \]

---

Oppgave 4

Noen ganger må man bruke flere integrasjonsteknikker sammen for å komme helt i mål.

Finn integralene.

a)

Skjul oppgaven

\[ \int e^{\sqrt{x}} \d x \]

Vis hint

Sett \(u = \sqrt{x}\). Da får du et integral du kan løse med delvis integrasjon.

Vis fasit

\[ \int e^{\sqrt{x}} \d x = 2e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} - 1\right) + C \]

Vis løsningsforslag

Vi setter \(u = \sqrt{x}\) som gir

\[ u = \sqrt{x} \limplies u' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2u} \]

Så etter vi inn i formelen for integrasjon med substitusjon får vi

\[\begin{split} \begin{align*} \int e^{\sqrt{x}} \d x &= \int e^u \cdot \dfrac{\d u}{u'} \\ \\ &= \int e^u \cdot \dfrac{\d u}{1/(2u)} \\ \\ &= \int 2u e^u \d u \end{align*} \end{split}\]

Dette integralet kan vi løse med delvis integrasjon (vi må passe på å bruke en annen variabel enn \(u\) her siden den allerede er brukt):

\[ \int z' v = z v - \int z v' \]

Vi setter

\[\begin{split} \begin{align*} z' &= e^u \limplies z = e^u \\ \\ v &= 2u \limplies v' = 2 \end{align*} \end{split}\]

Så setter vi inn i formelen for delvis integrasjon som gir

\[\begin{split} \begin{align*} \int 2u e^u \d u &= e^u \cdot 2u - \int e^u \cdot 2 \d u \\ \\ &= 2u e^u - 2 \int e^u \d u \\ \\ &= 2u e^u - 2 e^u + C \\ \\ &= 2 e^u (u - 1) + C \end{align*} \end{split}\]

Til slutt setter vi tilbake kjernen \(u\) som gir

\[ \int e^{\sqrt{x}} \d x = 2e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} - 1\right) + C \]

b)

Skjul oppgaven

\[ \int \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1} \d x \]

Vis hint

Etter du har gjort variabelskifte \(u = \sqrt{x}\) kan du skrive om integranden til en brøk av polynomer med \(u\) som variabel. Deretter kan du utføre polynomdivisjon for å gjøre integranden enklere.

---

Oppgave 5

Om en funksjon \(f\) får du vite at

• \(f'(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 1}\)

• Funksjonen går gjennom punktet \((2, 4)\).

Bestem \(f(x)\).