Oppgavesamling: Romgeometri

Oppgave 1

Gitt punktene \(A(-1, 3, 2)\), \(B(2, 2, 1)\), \(C(1, -1, -2)\) og \(T(5, 3, 8)\).

a)

Skjul oppgaven

Finn \(\lvec{AB} \times \lvec{AC}\)

Vis fasit

\[ \lvec{AB} \times \lvec{AC} = [0, 10, -10] \]

Vis løsningsforslag

Vi har at

\[ \lvec{AB} = [2 - (-1), 2 - 3, 1 - 2] = [3, -1, -1] \]

\[ \lvec{AC} = [1 - (-1), -1 - 3, -2 - 2] = [2, -4, -4] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 3 & -1 & -1 \\ 2 & -4 & -4| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|-1 & -1 \\ -4 & -4|}_{\displaystyle =0} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|3 & -1 \\ 2 & -4|}_{\displaystyle =-10} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|3 & -1 \\ 2 & -4|}_{\displaystyle =-10} \\ \\ &= [0, 10, -10] \end{align*} \end{split}\]

Gitt trekanten \(ABC\).

b)

Skjul oppgaven

Finn arealet av trekanten.

Vis fasit

\(5 \sqrt{2}\)

Vis løsningsforslag

Arealvektoren til trekanten er gitt ved

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2} \cdot \lvec{AB} \times \lvec{AC} = [0, 5, -5] \]

Lengden av denne vektoren gir arealet av trekanten:

\[ \abs{\vec G} = |5 \cdot [0, 1, -1]| = 5 \sqrt{2} \]

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A\) og \(B\).

c)

Skjul oppgaven

Finn den korteste avstanden fra \(C\) til \(\ell\).

Vis fasit

\[ L = \dfrac{10\sqrt{22}}{11} \]

Vis løsningsforslag

Vi har at \(\lvec{AB}\) er en retningsvektor for linja \(\ell\).

Den korteste avstanden \(L\) fra punktet \(C\) til linja \(\ell\) er gitt ved formelen

\[ L = \dfrac{\abs{\lvec{AC} \times \lvec{AB}}}{\abs{\lvec{AB}}} \]

der vi vet at

\[ \lvec{AB} \times \lvec{AC} = [0, 10, -10] \qog \lvec{AB} = [3, -1, -1]. \]

Da får vi

\[ \abs{\lvec{AB} \times \lvec{AC}} = |10 \cdot [0, 1, -1]| = 10\sqrt{2} \]

\[ \abs{\lvec{AB}} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{11} \]

Dermed er den korteste avstanden

\[ L = \dfrac{10\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \dfrac{10\sqrt{22}}{11} \]

Gitt pyramiden \(ABCT\).

d)

Skjul oppgaven

Finn volumet av pyramiden.

Vis fasit

\(V = 10\)

Vis løsningsforslag

Når en pyramide har fire hjørner, så spiller det ingen rolle hvilke tre punkter vi velger som grunnflate. Vi lar \(ABC\) være grunnflaten siden vi allerede har arealvektoren \(\vec{G}\) til denne trekanten fra oppgave b).

Da er volumet av pyramiden

\[ V = \dfrac{\abs{\vec G \cdot \lvec{AT}}}{3} \]

der

\[ \vec{G} = [0, 5, -5] \qog \lvec{AT} = [6, 0, 6] \]

Da får vi

\[ \vec{G} \cdot \lvec{AT} = -30 \]

som gir volumet

\[ V = \dfrac{\abs{-30}}{3} = 10 \]

Oppgave 2

Et plan \(\alpha\) går gjennom punktene \(A(-3, 6, 8)\), \(B(0, 2, 4)\) og \(C(3, -4, 4)\).

a)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for planet.

Vis fasit

\[ 4x + 2y + z - 8 = 0 \]

Vis løsningsforslag

Vi finner en normalvektor til planet først:

\[ \lvec{AB} = [3, -4, -4] \qog \lvec{AC} = [6, -10, -4] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 3 & -4 & -4 \\ 6 & -10 & -4| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|-4 & -4 \\ -10 & -4|}_{\displaystyle = -24} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|3 & -4 \\ 6 & -4|}_{\displaystyle = 12} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|3 & -4 \\ 6 & -10|}_{\displaystyle = -6} \\ \\ &= [-24, -12, -6] \\ \\ &= (-6) \cdot [4, 2, 1] \end{align*} \end{split}\]

Så vi setter normalvektoren til \(\vec n = [4, 2, 1]\). Vi bruker punktet \(B(0, 2, 4)\) til å lage en likning for planet:

\[ \lvec{BP} \cdot \vec n = 0 \]

\[ [x, y - 2, z - 4] \cdot [4, 2, 1] = 0 \]

\[ 4x + 2(y - 2) + (z - 4) = 0 \]

\[ 4x + 2y + z - 8 = 0 \]

b)

Skjul oppgaven

Bestem skjæringspunktene mellom \(\alpha\) og hver av de tre koordinataksene.

Vis fasit

• Skjæring med \(x\)-aksen: \(X(2, 0, 0)\)

• Skjæring med \(y\)-aksen: \(Y(0, 4, 0)\)

• Skjæring med \(z\)-aksen: \(Z(0, 0, 8)\)

Vis løsningsforslag

Planlikningen til \(\alpha\) er gitt ved

\[ 4x + 2y + z - 8 = 0 \]

Når planet skjærer \(x\)-aksen er \(y = z = 0\). Fra planlikningen får vi da

\[ 4x - 8 = 0 \liff x = 2 \liff X(2, 0, 0) \in \alpha \]

Når planet skjærer \(y\)-aksen er \(x = z = 0\). Fra planlikningen får vi da

\[ 2y - 8 = 0 \liff y = 4 \liff Y(0, 4, 0) \in \alpha \]

Når planet skjærer \(z\)-aksen er \(x = y = 0\). Fra planlikningen får vi da:

\[ z - 8 = 0 \liff z = 8 \liff Z(0, 0, 8) \in \alpha \]

En pyramide har hjørner i origo og i skjæringspunktene mellom \(\alpha\) og koordinataksene.

c)

Skjul oppgaven

Bestem volumet av pyramiden.

Vis fasit

\[ V = \dfrac{32}{3} \]

Vis løsningsforslag

Fra oppgave b) har vi skjæringspunktene mellom \(\alpha\) og koordinataksene:

\[ X(2, 0, 0) \qog Y(0, 4, 0) \qog Z(0, 0, 8) \]

Vi kaller origo for \(O(0, 0, 0)\) og velger \(OXY\) som grunnflate og \(Z\) som toppunkt. Grunnflaten er da spent ut av vektorene

\[ \lvec{OX} = [2, 0, 0] \qog \lvec{OY} = [0, 4, 0] \]

Grunnflatevektoren \(\vec{G}\) er gitt ved

\[ \vec{G} = \dfrac{1}{2}\lvec{OX} \times \lvec{OY} \]

Vi regner ut kryssproduktet først:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OX} \times \lvec{OY} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|0 & 0 \\ 4 & 0|}_{\displaystyle = 0} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|2 & 0 \\ 0 & 0|}_{\displaystyle = 0} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|2 & 0 \\ 0 & 4|}_{\displaystyle = 8} \\ \\ &= [0, 0, 8] \end{align*} \end{split}\]

Grunnflatevektoren er da \(\vec G = [0, 0, 4]\). Volumet av pyramiden er gitt ved

\[ V = \dfrac{\abs{\vec G \cdot \lvec{OZ}}}{3} \]

Vi har at

\[ \vec G \cdot \lvec{OZ} = [0, 0, 4] \cdot [0, 0, 8] = 32 \]

Altså er volumet

\[ V = \dfrac{32}{3} \]

---

Oppgave 3

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A(3, 1, 2)\) og \(B(5, 3, 3)\).

a)

Skjul oppgaven

Lag en parameterframstilling for \(\ell\).

Vis fasit

\(\vec r(t) = [3 + 2t, 1 + 2t, 2 + t]\)

Vis løsningsforslag

Vi trenger en retningsvektor for linja. Enhver slik vektor er parallell med

\[ \lvec{AB} = [5 - 3, 3 - 1, 3 - 2] = [2, 2, 1] \]

Vi velger \(\vec v = [2, 2, 1]\). Da er en parameterframstilling for linja gitt ved:

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r(t) &= \lvec{OA} + \vec v \cdot t \\ \\ &= [3, 1, 2] + [2, 2, 1] \cdot t \\ \\ &= [3 + 2t, 1 + 2t, 2 + t] \end{align*} \end{split}\]

Et punkt \(C(1, -3, 5)\) ligger ikke på linja.

b)

Skjul oppgaven

Finn avstanden fra \(\ell\) til \(C\).

Vis fasit

\(L = 2 \sqrt{5}\)

Vis løsningsforslag

Avstanden fra \(\ell\) til \(C\) er gitt ved

\[ L = \dfrac{|\lvec{AC} \times \vec v|}{|\vec v|} \]

Vi har at

\[ \lvec{AC} = [1 - 3, -3 - 1, 5 - 2] = [-2, -4, 3] \qog \vec v = [2, 2, 1] \]

Da får vi

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AC} \times \vec v &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ -2 & -4 & 3 \\ 2 & 2 & 1| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|-4 & 3 \\ 2 & 1|}_{\displaystyle = -10} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|-2 & 3 \\ 2 & 1|}_{\displaystyle = -8} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|-2 & -4 \\ 2 & 2|}_{\displaystyle = 4} \\ \\ &= [-10, 8, 4] \end{align*} \end{split}\]

Vi regner ut lengden av telleren og nevneren i formelen:

\[\begin{split} \begin{align*} \abs{\lvec{AC} \times \vec v} &= \abs{[-10, 8, 4]} \\ \\ &= \abs{2 \cdot [-5, 4, 2]} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{5^2 + 4^2 + 2^2} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{45} \\ \\ &= 2 \cdot \sqrt{9 \cdot 5} \\ \\ &= 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} \\ \\ &= 6 \sqrt{5} \end{align*} \end{split}\]

Lengden av nevneren er

\[ |\vec v| = \abs{[2, 2, 1]} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3 \]

Dermed blir avstanden

\[ L = \dfrac{6 \sqrt{5}}{3} = 2 \sqrt{5} \]

Et plan \(\alpha\) er gitt ved

\[ 2x - y + 2z + 3 = 0 \]

c)

Skjul oppgaven

Finn koordinatene til skjæringspunktet mellom \(\alpha\) og \(\ell\).

Vis fasit

\((-3, -5, -1)\)

Vis løsningsforslag

Vi setter inn koordinatene til parameterframstillingen i planlikningen og løser for \(t\). Fra oppgave a) har vi at

\[ \vec r(t) = [3 + 2t, 1 + 2t, 2 + t] \]

som gir

\[ 2 \cdot \underbrace{(3 + 2t)}_{\displaystyle x} - \underbrace{(1 + 2t)}_{\displaystyle y} + 2 \cdot \underbrace{(2 + t)}_{\displaystyle z} + 3 = 0 \]

\[ 2(3 + 2t) - (1 + 2t) + 2(2 + t) + 3 = 0 \]

\[ 6 + 4t - 1 - 2t + 4 + 2t + 3 = 0 \]

\[ 4t + 12 = 0 \liff t = -3 \]

Koordinatene til skjæringspunktet er da

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r(-3) &= [3 + 2\cdot (-3), 1 + 2\cdot (-3), 2 + (-3)] \\ \\ &= [-3, -5, -1] \end{align*} \end{split}\]

Altså skjærer \(\ell\) planet \(\alpha\) i punktet \((-3, -5, -1)\).

---

Oppgave 4

Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen

\[ 3x + 4z - 10 = 0 \]

a)

Skjul oppgaven

Finn en normalvektor til planet.

Vis fasit

\(\vec n = [3, 0, 4]\)

Vis løsningsforslag

Fra planlikningen

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

kan vi lese av \(\vec n = [a, b, c]\) som en normalvektor til planet. Dermed er en mulig normalvektor

\[ \vec n = [3, 0, 4]. \]

b)

Skjul oppgaven

Vis at punktet \(A(2, 3, 1)\) ligger i planet.

Vis løsningsforslag

Vi setter inn koordinatene til \(A\) i planlikningen og sjekker at den er oppfylt:

\[ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 10 = 0 \]

Altså ligger \(A\) i \(\alpha\).

En kule \(K\) tangerer planet i punktet \(A\) og har radius \(10\).

c)

Skjul oppgaven

Finn de mulige koordinatene til kulens sentrum.

Vis fasit

\(S_1(8, 3, 9)\) eller \(S_2(-4, 3, -7)\)

Vis løsningsforslag

Koordinatene til kulens sentrum vil ligge en avstand \(10\) fra punktet \(A\) langs linja som har retningsvektor \(\vec n\). Hvis vi lager oss en enhetsvektor \(\hat n\) langs denne retningen, får vi to mulige sentrum:

\[ \lvec{OS} = \lvec{OA} \pm 10 \hat n \]

Vi har at

\[ \hat n = \dfrac{\vec n}{|\vec n|} \]

der

\[ \abs{\vec n} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \]

Dermed er

\[ \hat n = \dfrac{\vec n}{5} \]

Den ene muligheten blir derfor

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OS_1} &= \lvec{OA} + 10 \cdot \dfrac{\vec n}{5} \\ \\ &= \lvec{OA} + 2 \cdot \vec n \\ \\ &= [2, 3, 1] + 2 \cdot [3, 0, 4] \\ \\ &= [8, 3, 9] \end{align*} \end{split}\]

Den andre muligheten blir

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OS_2} &= \lvec{OA} - 2 \cdot \vec n \\ \\ &= [2, 3, 1] - 2 \cdot [3, 0, 4] \\ \\ &= [-4, 3, -7] \end{align*} \end{split}\]

---

Oppgave 5

To linjer \(\ell\) og \(m\) er gitt ved

\[ \vec{r}_\ell(t) = [3 + 4t, 1 + 7t, 1 + 4t] \qog \vec r_m(s) = [5 + s, 8 + 2s, 7 + s] \]

Linja \(\ell\) ligger i et plan \(\alpha\) og linja \(m\) ligger i et plan \(\beta\) der planene er parallelle.

a)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for hvert plan.

Vis fasit

\[\begin{split} \begin{align*} \alpha:& \quad x - z - 2 = 0 \\ \\ \beta:& \quad x - z + 2 = 0 \end{align*} \end{split}\]

Vis løsningsforslag

Retningsvektorene til de to linjene vil være parallelle med hvert plan. Retningsvektorene kan lese av fra koeffisientene til parameterframstillingene som:

\[ \vec v_\ell = [4, 7, 4] \qog \vec v_m = [1, 2, 1] \]

Da blir en normalvektor til hvert plan:

\[\begin{split} \begin{align*} \vec v_\ell \times \vec v_m &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 4 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 1| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|7 & 4 \\ 2 & 1|}_{\displaystyle = -1} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|4 & 4 \\ 1 & 1|}_{\displaystyle = 0} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|4 & 7 \\ 1 & 2| }_{\displaystyle = 1} \\ \\ &= [-1, 0, 1] = (-1) \cdot [1, 0, -1] \end{align*} \end{split}\]

Altså er \(\vec n = [1, 0, -1]\) en normalvektor til begge plan. Vi trenger et punkt i hvert plan. Et punkt \(A\) i \(\alpha\) vil være gitt ved

\[ \lvec{OA} = \vec r_\ell(0) = [3, 1, 1] \]

Dermed blir en planlikning til \(\alpha\) gitt ved

\[ \lvec{AP} \cdot [1, 0, -1] = 0 \]

\[ [x - 3, y - 1, z - 1]\cdot [1, 0, -1] = 0 \]

\[ x - z - 2 = 0 \]

Et punkt \(B\) i \(\beta\) vil være gitt ved

\[ \lvec{OB} = \vec r_m(0) = [5, 8, 7] \]

Dermed blir en planlikning til \(\beta\) gitt ved

\[ \lvec{BP} \cdot [1, 0, -1] = 0 \]

\[ [x - 5, y - 8, z - 7] \cdot [1, 0, -1] = 0 \]

\[ x - z + 2 = 0 \]

Altså er likningene til de to planene gitt ved:

\[\begin{split} \begin{align*} \alpha:& \quad x - z - 2 = 0 \\ \\ \beta:& \quad x - z + 2 = 0 \end{align*} \end{split}\]

En kule tangerer \(\alpha\) i et punkt på \(\ell\) og \(\beta\) i et punkt på \(m\).

b)

Skjul oppgaven

Bestem kulens radius.

Vis fasit

\(r = \sqrt{2}\).

Vis løsningsforslag

Linjene ligger i hvert sitt parallelle plan som betyr at avstanden mellom de to linjene reduseres til avstanden fra et punkt til et plan. Radien til kula må være halvparten av denne avstanden.

Vi har at et punkt i planet \(\alpha\) er

\[ \lvec{OP} = \vec r_\ell(0) = [3, 1, 1] \]

Om det andre planet \(\beta\) vet vi at

\[ x - z + 2 = 0 \qog \abs{\vec n_\beta} = \sqrt{2} \]

Avstanden fra punktet \(P\) til \(\beta\) er da

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{\abs{x - z + 2}}{\abs{\vec n_\beta}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{3 - 1 + 2}}{\sqrt{2}} \\ \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{2}} \end{align*} \end{split}\]

Radius til kula vil være halvparten av denne avstanden, altså:

\[ r = \dfrac{L}{2} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

---

Oppgave 6

En kuleflate \(K\) er gitt ved likningen

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 35 = 0 \]

a)

Skjul oppgaven

Bestem sentrum og radius til \(K\).

Vis fasit

Sentrum \(S(2, -3, 1)\) og radius \(7\).

Vis løsningsforslag

Vi skriver om likningen til standardform ved å fullføre kvadrater:

\[ x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 - 2z - 35 = 0 \]

\[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + (z - 1)^2 - 1 - 35 = 0 \]

\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 49 = 7^2 \]

Altså har kuleflaten sentrum \(S(2, -3, 1)\) og radius \(7\).

Et plan \(\alpha\) tangerer \(K\) i punktet \(A(4, 0, -5)\).

b)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for \(\alpha\).

Vis fasit

\[ 2x + 3y - 6z - 38 = 0 \]

Vis løsningsforslag

En normalvektor til planet er gitt ved

\[ \vec n = \lvec{SA} = [4 - 2, 0 - (-3), -5 - 1] = [2, 3, -6] \]

Likningen for planet blir da

\[ \lvec{AP} \cdot \vec n = 0 \]

\[ [x - 4, y - 0, z - (-5)] \cdot [2, 3, -6] = 0 \]

\[ 2(x - 4) + 3y - 6(z + 5) = 0 \]

\[ 2x + 3y - 6z - 38 = 0 \]

En linje \(\ell\) er parallell med planet \(\alpha\) og går gjennom punktet \(B(0, -6, 7)\).

c)

Skjul oppgaven

Bestem i hvilket punkt linja \(\ell\) skjærer \(z\)-aksen.

Vis fasit

\(Z(0, 0, 10)\).

Vis løsningsforslag

Siden linja \(\ell\) er parallell med planet \(\alpha\), må retningsvektoren \(\vec v\) til linja og normalvektoren \(\vec n\) til planet være ortogonale. Det betyr at

\[ \vec v \cdot \vec n = 0 \]

La \(Z(0, 0, z)\) være punktet linja skjærer \(z\)-aksen. Da er \(\lvec{BZ}\) også en retningsvektor for linja som betyr at

\[ \lvec{BZ} \cdot \vec n = 0 \]

Vi har at

\[ \lvec{BZ} = [0, 6, z - 7] \qog \vec n = [2, 3, -6] \]

som gir

\[ [0, 6, z - 7] \cdot [2, 3, -6] = 0 \]

\[ 18 - 6z + 42 = 0 \]

\[ 6z = 60 \liff z = 10 \]

Altså skjærer linja \(z\)-aksen i \(Z(0, 0, 10)\).

Linja \(\ell\) ligger i et annet plan \(\beta\). Planet \(\beta\) står normalt på \(\alpha\).

d)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for \(\beta\).

Vis fasit

\[ 15x - 2y + 4z - 28 = 0 \]

Vis løsningsforslag

Vi trenger to ikke-parallelle vektorer som er parallelle med \(\beta\) for å finne en normalvektor til planet. Siden punktene \(B(0, -6, 7)\) og \(Z(0, 0, 10)\) fra oppgave c) ligger i planet, så må \(\lvec{BZ}\) være en slik vektor. Siden planet \(\beta\) står normalt på \(\alpha\), vil også \(\vec n_\alpha\) være parallell med \(\beta\).

Dermed vil \(\vec n_\alpha \times \lvec{BZ}\) være en normalvektor til \(\beta\). Vi har at

\[ \vec n_\alpha = [2, 3, -6] \qog \lvec{BZ} = [0, 6, 3] \]

\[\begin{split} \begin{align*} \vec n_\alpha \times \lvec{BZ} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 2 & 3 & -6 \\ 0 & 6 & 3| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|3 & -6 \\ 6 & 3|}_{\displaystyle = 45} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|2 & -6 \\ 0 & 3|}_{\displaystyle = 6} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|2 & 3 \\ 0 & 6|}_{\displaystyle = 12} \\ \\ &= [45, -6, 12] \\ \\ &= 3 \cdot [15, -2, 4] \end{align*} \end{split}\]

Vi velger derfor \(\vec n_\beta = [15, -2, 4]\) som normalvektor til planet \(\beta\). Da kan vi skrive en likning for planet som

\[ \lvec{BP} \cdot \vec n_\beta = 0 \]

\[ [x, y, z - 7] \cdot [15, -2, 4] = 0 \]

\[ 15x - 2y + 4z - 28 = 0 \]

---

Oppgave 7

To linjer \(\ell\) og \(m\) er gitt ved

\[ \vec r_\ell(t) = [9 + 2t, t, 5 + 2t] \qog \vec r_m(s) = [2 + 3s, -4 + 2s, -1 + 2s] \]

Linjene skjærer hverandre i et punkt \(T\).

a)

Skjul oppgaven

Bestem koordinatene til \(T\).

Vis fasit

\(T(5, -2, 1)\)

Vis løsningsforslag

Vi løser likningen \(\vec r_\ell(t) = \vec r_m(s)\) for å finne koordinatene til punktet. Det gir oss likningssystemet

\[ 9 + 2t = 2 + 3s \and t = -4 + 2s \and 5 + 2t = -1 + 2s \]

Den midterste likningen er allerede løst for \(t\), så vi setter inn uttrykket for \(t\) i én av de andre likningene. Velger den første likningen:

\[ 9 + 2 \cdot (-4 + 2s) = 2 + 3s \]

\[ 9 - 8 + 4s = 2 + 3s \liff s = 1 \]

som gir oss at

\[ t = -4 + 2\cdot 1 = -2 \]

Vi bør regne ut punktet med begge parameterframstillinger for å dobbeltsjekke at vi får samme punkt:

\[ \vec r_\ell(-2) = [9 + 2\cdot(-2), -2, 5 + 2\cdot(-2)] = [5, -2, 1] \]

og

\[ \vec r_m(1) = [2 + 3\cdot 1, -4 + 2\cdot 1, -1 + 2\cdot 1] = [5, -2, 1] \]

Altså skjærer linjene hverandre i punktet \(T(5, -2, 1)\).

Linjene ligger i et plan \(\alpha\).

b)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for planet.

Vis fasit

\[ -2x + 2y + z + 13 = 0 \]

Vis løsningsforslag

Retningsvektorene til linjene vil være parallelle med planet, samtidig som de to vektorene er ikke-parallelle. Dermed kan vi bruke kryssproduktet av dem til å lage en normalvektor til planet. Vi har at

\[ \vec v_\ell = \vec r_\ell'(t) = [2, 1, 2] \qog \vec v_m = \vec r_m'(s) = [3, 2, 2] \]

Da får vi

\[\begin{split} \vec v_\ell \times \vec v_m &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|1 & 2 \\ 2 & 2|}_{\displaystyle = -2} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|2 & 2 \\ 3 & 2|}_{\displaystyle = -2} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|2 & 1 \\ 3 & 2|}_{\displaystyle = 1} \\ \\ &= [-2, 2, 1] \end{split}\]

Altså kan vi velge normalvektoren \(\vec n = [-2, 2, 1]\). Punktet \(T\) ligger i planet, som gir planlikningen:

\[ \lvec{TP} \cdot \vec n = 0 \]

\[ [x - 5, y + 2, z - 1] \cdot [-2, 2, 1] = 0 \]

\[ -2(x - 5) + 2(y + 2) + (z - 1) = 0 \]

\[ -2x + 2y + z + 13 = 0 \]

Planet tangerer en kuleflate som har sentrum i \(S(8, 6, 9)\).

c)

Skjul oppgaven

Bestem kulens radius.

Vis fasit

\(r = 6\)

Vis løsningsforslag

Den korteste avstanden fra sentrum til planet vil være lik radius. Fra oppgave b) har vi planlikningen

\[ -2x + 2y + z + 13 = 0 \]

som gir oss at avstanden er

\[\begin{split} \begin{align*} r &= \dfrac{\abs{-2 \cdot 8 + 2 \cdot 6 + 9 + 13}}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{18}}{3} \\ \\ &= 6 \end{align*} \end{split}\]

Altså har kuleflaten radius \(r = 6\).

En annen kuleflate tangerer planet \(\alpha\) i samme punkt som den første kulen. Kuleflaten har radius \(9\) og ligger på den andre siden av planet i forhold til den første kulen.

d)

Skjul oppgaven

Bestem koordinatene til kuleflatens sentrum \(Q\).

Vis fasit

\(Q(18, -4, 4)\)

Vis løsningsforslag

Kuleflaten har radius lik \(9\). Den forrige kuleflaten har radius lik \(6\) som betyr at vi kan flytte oss en avstand \(6 + 9 = 15\) fra punktet \(S\) langs normalvektoren til planet for å finne koordinatene til sentrum. Vi vet ikke hvilken vei vi skal gå langs \(\vec n\), så vi må også dobbeltsjekke at vi får en avstand \(9\) fra planet.

Vi vet at \(\abs{\vec n} = 3\), så da vil \(5\cdot \vec n\) ha riktig lengde hvis vi starter i \(S\). Da får vi to muligheter:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ} &= \lvec{OS} + 5 \cdot \vec n \\ \\ &= [8, 6, 9] + 5 \cdot [-2, 2, 1] \\ \\ &= [8, 6, 9] + [-10, 10, 5] \\ \\ &= [-2, 16, 14] \end{align*} \end{split}\]

Vi sjekker om avstanden fra planet til punktet er \(9\):

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{\abs{-2x + 2y + z + 13}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{-2 \cdot (-2) + 2 \cdot 16 + 14 + 13}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{63}}{3} \\ \\ &= 21 \end{align*} \end{split}\]

Altså er ikke dette det riktige punktet. Da går vi i motsatt retning i stedet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{OQ} &= \lvec{OS} - 5\cdot \vec n \\ \\ &= [8, 6, 9] - [-10, 10, 5] \\ \\ &= [18, -4, 4] \end{align*} \end{split}\]

Vi sjekker om avstanden er korrekt:

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{\abs{-2 \cdot 18 + 2 \cdot (-4) + 4 + 13}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{-27}}{3} \\ \\ &= 9 \end{align*} \end{split}\]

Altså får vi riktig avstand som betyr at kuleflatens sentrum er \(Q(18, -4, 4)\).

---

Oppgave 8

Static preview. Enable JavaScript for an interactive view.

En rett avkortet pyramide \(OABCDEFG\) er vist i figuren til høyre. Punktene er gitt ved

• \(O(0, 0, 0)\)

• \(A(4, 0, 0)\)

• \(B(4, 4, 0)\)

• \(C(0, 4, 0)\)

• \(D(1, 1, 3)\)

• \(E(3, 1, 3)\)

• \(F(3, 3, 3)\)

• \(G(1, 3, 3)\)

a)

Skjul oppgaven

Bestem arealet av sideflaten \(ABFE\).

Vis fasit

\[ G_{ABFE} = 3\sqrt{10} \]

Vis løsningsforslag

Vi deler opp sideflaten \(ABFE\) i to trekanter \(ABF\) og \(AFE\).

Vektorene som spenner ut trekanten \(ABF\) er gitt ved

\[ \lvec{AB} = [0, 4, 0] \qog \lvec{AF} = [-1, 3, 3] \]

Arealet av denne trekanten er da \(G_{ABF} = \dfrac{1}{2}\abs{\lvec{AB} \times \lvec{AF}}\). Vi regner ut kryssproduktet først:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AF} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 3 & 3| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|4 & 0 \\ 3 & 3|}_{\displaystyle =12} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|0 & 0 \\ -1 & 3|}_{\displaystyle =0} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|0 & 4 \\ -1 & 3|}_{\displaystyle =4} \\ \\ &= [12, 0, 4] \\ \\ &= 4 \cdot [3, 0, 1] \end{align*} \end{split}\]

Arealet av trekanten \(ABF\) blir da

\[ G_{ABF} = \frac{1}{2} \abs{\lvec{AB} \times \lvec{AF}} = \frac{1}{2} \abs{4 \cdot [3, 0, 1]} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = 2 \cdot \sqrt{10} \]

Så tar vi trekant \(AFE\). Denne er utspent av vektorene

\[ \lvec{AF} = [-1, 3, 3] \qog \lvec{AE} = [-1, 1, 3] \]

Vi regner ut kryssproduktet:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AF} \times \lvec{AE} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ -1 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 3| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|3 & 3 \\ 1 & 3|}_{\displaystyle =6} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|-1 & 3 \\ -1 & 3|}_{\displaystyle =0} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|-1 & 3 \\ -1 & 1|}_{\displaystyle =2} \\ \\ &= [6, 0, 2] \\ \\ &= 2 \cdot [3, 0, 1] \end{align*} \end{split}\]

Arealet av trekant \(AFE\) er da

\[ G_{AFE} = \frac{1}{2} \abs{\lvec{AF} \times \lvec{AE}} = \frac{1}{2} \abs{2 \cdot [3, 0, 1]} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{10} \]

Arealet av sideflaten \(ABFE\) blir da summen av arealene av trekantene \(ABF\) og \(AFE\):

\[ G_{ABFE} = G_{ABF} + G_{AFE} = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10} \]

b)

Skjul oppgaven

Bestem volumet av \(OABCDEFG\).

Hint

Se for deg at du utvider pyramiden slik at du får den fulle pyramiden før den ble avkortet som vist i den interaktive figuren nedenfor. Du kan bruke denne ideen til å finne volumet av den avkortede pyramiden.

Static preview. Enable JavaScript for an interactive view.

Vis fasit

\[ V_{OABCDEFG} = 28 \]

Vis løsningsforslag

Vi kan tenke på volumet av \(OABCDEFG\) som volumet av en pyramide med grunnflate \(OABC\) hvor vi fjerner volumet av en pyramide med grunnflate \(DEFG\) der de har et felles toppunkt \(T\).

Koordinatene i \(xy\)-planet til toppunktet vil ligge i midten av begge grunnflater som bare er gitt ved

\[ \lvec{OT}_{xy} = \dfrac{\lvec{OO} + \lvec{OA} + \lvec{OB} + \lvec{OC}}{4} = \dfrac{[8, 8, 0]}{4} = [2, 2, 0] \]

Samtidig vil linja gjennom \(O\) og \(D\) nødvendigvis gå gjennom dette toppunktet \(T\), så vi kan lage en parameterframstilling for denne linja og bestemme \(t\) slik at \(x = y = 2\):

\[ \vec r(t) = \lvec{OO} + \lvec{OD} \cdot t = [t, t, 3t] \]

For at \(x\)- og \(y\)-koordinatene skal være lik \(2\), må \(t = 2\) som betyr at toppunktet vil ha koordinatene

\[ \lvec{OT} = \vec r(2) = [2, 2, 6] \]

Grunnflaten \(OABC\) og \(DEFG\) er kvadrater, så volumet av hver av dem kan vi finne ved å bruke at volumet for en pyramide med grunnflate \(G\) og høyde \(h\) er gitt ved

\[ V = \dfrac{Gh}{3} \]

Grunnflatearealet til \(OABC\) er

\[ G_{OABC} = 4^2 = 16 \]

Grunnflatearealet til \(DEFG\) er

\[ G_{DEFG} = \abs{\lvec{DE}}^2 = 2^2 = 4 \]

Siden begge grunnflater er parallelle med \(xy\)-planet, så er høyden til hver pyramide forskjellen i \(z\)-koordinatene til punktet \(T\) og \(z\)-koordinaten til grunnflaten.

Høyden til pyramiden med grunnflate \(OABC\) er

\[ h_{OABC} = 6 - 0 = 6 \]

som gir volumet

\[ V = \dfrac{G_{OABC} \cdot h_{OABC}}{3} = \dfrac{16 \cdot 6}{3} = 32 \]

Høyden til pyramiden med grunnflate \(DEFG\) er

\[ h_{DEFG} = 6 - 3 = 3 \]

som gir volumet

\[ V = \dfrac{G_{DEFG} \cdot h_{DEFG}}{3} = \dfrac{4 \cdot 3}{3} = 4 \]

Dermed er volumet av \(OABCDEFG\) gitt ved volumet av den store pyramiden minus volumet av den lille pyramiden:

\[ V_{OABCDEFG} = V_{OABC} - V_{DEFG} = 32 - 4 = 28 \]

---

Oppgave 9

To plan \(\alpha\) og \(\beta\) er gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} \alpha &: \quad 2x - 2y + z + 21 = 0 \\ \\ \beta &: \quad 7x - 4y + 4z + 56 = 0 \end{align*} \end{split}\]

En kuleflate \(K\) tangerer \(\alpha\) i \(P(-3, 7, -1)\) og \(\beta\) i \(Q(-4, 5, -2)\).

a)

Skjul oppgaven

Bestem en likning for \(K\).

Hint

Tenk deg en linje som starter i \(P\) og en annen linje som starter i \(Q\). Skjæringspunktet mellom disse linjene vil være sentrumet til kulen.

Vis fasit

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 9^2 \]

Vis løsningsforslag

Vi tenker oss en linje \(\ell\) som går gjennom punktet \(P\) og står normalt på \(\alpha\). Denne linja vil gå gjennom kulens sentrum. Så tenker vi oss en annen linje \(m\) som går gjennom punktet\( Q\) og står normalt på \(\beta\). Denne linja vil også gå gjennom kulens sentrum. Strategien er derfor å finne skjæringspunktet mellom de to linjene.

Vi lager parameterframstillingene først. Retningsvektorene til linjene er bare lik normalvektorene til planene som vi kan lese av fra planlikningene til å være:

\[ \vec n_\alpha = [2, -2, 1] \qog \vec n_\beta = [7, -4, 4] \]

Da får vi:

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r_\ell(t) &= \lvec{OP} + \vec n_\alpha \cdot t \\ \\ &= [-3, 7, -1] + [2, -2, 1] \cdot t \\ \\ &= [-3 + 2t, 7 - 2t, -1 + t] \end{align*} \end{split}\]

og

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r_m(s) &= \lvec{OQ} + \vec n_\beta \cdot s \\ \\ &= [-4, 5, -2] + [7, -4, 4] \cdot s \\ \\ &= [-4 + 7s, 5 - 4s, -2 + 4s] \end{align*} \end{split}\]

Så finner vi skjæringspunktet mellom linjene ved å løse \(\vec r_\ell(t) = \vec r_m(s)\):

\[ -3 + 2t = -4 + 7s \and 7 - 2t = 5 - 4s \and -1 + t = -2 + 4s \]

Vi løser den siste likningen for \(t\):

\[ -1 + t = -2 + 4s \liff t = -1 + 4s \]

Så setter vi inn i den første likningen:

\[ -3 + 2\cdot (-1 + 4s) = -4 + 7s \]

\[ -3 - 2 + 8s = -4 + 7s \liff s = 1 \]

som også gir at

\[ t = -1 + 4 = 3 \]

Vi setter inn i begge parameterframstillinger for å sikre at vi får samme punkt:

\[ \vec r_\ell(3) = [-3 + 2\cdot 3, 7 - 2\cdot 3, -1 + 3] = [3, 1, 2] \]

og

\[ \vec r_m(1) = [-4 + 7, 5 - 4, -2 + 4] = [3, 1, 2] \]

Altså er kulens sentrum \(S(3, 1, 2)\). Siden vi flytte oss én enhet langs \(\vec n_\beta\) med linja \(m\), vil radius til kula være

\[ r = \abs{\vec n_\beta} = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{81} = 9 \]

Dermed er en likning for kuleflaten gitt ved

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 9^2 \]

Planet \(\alpha\) og \(\beta\) skjærer hverandre langs en linje \(\ell\). Punktet \(A(-8, 5, 5)\) ligger på linja.

b)

Skjul oppgaven

Lag en parameterframstilling for \(\ell\).

Vis fasit

\(\vec r_\ell(t) = [-8 - 4t, 5 - t, 5 + 6t]\)

Vis løsningsforslag

Retningsvektoren til linja vil stå normalt på begge plan, slik at vi kan lage en retningsvektor for linja ved å ta kryssproduktet av normalvektorene. Vi har

\[ \vec n_\alpha = [2, -2, 1] \qog \vec n_\beta = [7, -4, 4] \]

Da får vi en retningsvektor blir:

\[\begin{split} \begin{align*} \vec v_\ell = \vec n_\alpha \times \vec n_\beta = \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 2 & -2 & 1 \\ 7 & -4 & 4| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|-2 & 1 \\ -4 & 4|}_{\displaystyle = -4} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|2 & 1 \\ 7 & 4|}_{\displaystyle = 1} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|2 & -2 \\ 7 & -4|}_{\displaystyle = 6} \\ \\ &= [-4, -1, 6] \end{align*} \end{split}\]

Da kan vi lage en parameterframstilling for linja som:

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r_\ell(t) &= \lvec{OA} + \vec v \cdot t \\ \\ &= [-8, 5, 5] + [-4, -1, 6] \cdot t \\ \\ &= [-8 - 4t, 5 - t, 5 + 6t] \end{align*} \end{split}\]

Et plan \(\gamma\) er gitt ved

\[ \gamma: \quad x + 2y + 2z - 27 = 0 \]

Planet \(\gamma\) skjærer \(K\) langs en sirkel.

c)

Skjul oppgaven

Bestem sentrum og radius til sirkelen.

Vis fasit

Sentrum i \((5, 5, 6)\) og radius \(3\sqrt{5}\).

Vis løsningsforslag

La \(L\) være avstanden fra sentrum \(S\) til planet \(\gamma\) og \(\rho\) være radius i skjæringssirkelen, og \(r\) være radius til kula. Da kan vi bruke skissen vist til høyre for å forstå geometrien.

Kula har sentrum \(S(3, 1, 2)\). Normalvektoren til planet er

\[ \vec n_\gamma = [1, 2, 2] \limplies \abs{\vec n_\gamma} = 3 \]

Dermed får vi at avstanden \(L\) fra \(S\) til \(\gamma\) er

\[\begin{split} \begin{align*} L &= \dfrac{\abs{x + 2y + 2z - 27}}{\abs{\vec n_\gamma}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{3 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 27}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{-18}}{3} \\ \\ &= 6 \end{align*} \end{split}\]

Dermed blir radien til sirkelen

\[\begin{split} L^2 + \rho^2 = r^2 \implies \rho = \sqrt{r^2 - L^2} \\ \end{split}\]

\[ \rho = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \]

Linja som går gjennom \(S\) og har retningsvektor lik normalvektoren til planet \(\gamma\) vil skjære planet i sentrum av sirkelen. Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \vec r(t) &= \lvec{OS} + \vec n_\gamma \cdot t \\ \\ &= [3, 1, 2] + [1, 2, 2] \cdot t \\ \\ &= [3 + t, 1 + 2t, 2 + 2t] \end{align*} \end{split}\]

Vi setter inn koordinatene til linja inn i planlikningen til \(\gamma\) for å finne sentrum av sirkelen. Vi har at

\[ \underbrace{(3 + t)}_{\displaystyle x} + 2 \underbrace{(1 + 2t)}_{\displaystyle y} + 2 \underbrace{(2 + 2t)}_{\displaystyle z} - 27 = 0 \]

\[ 3 + t + 2 + 4t + 4 + 4t - 27 = 0 \]

\[ 9t - 18 = 0 \liff t = 2 \]

Dermed er koordinatene til sirkelens sentrum

\[ \vec r(2) = [3 + 2, 1 + 2\cdot 2, 2 + 2\cdot 2] = [5, 5, 6] \]

Altså har sirkelen sentrum i \((5, 5, 6)\) og radius \(3\sqrt{5}\).

---

---

Oppgave 10

Static preview. Enable JavaScript for an interactive view.

En pyramide har grunnflate i punktene \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 0, 4)\) og \(C(0, 3, 6)\).

Pyramiden har et toppunkt \(T(t, t, t^2 + 5)\) der \(t \in \real\) som ligger på en kurve i rommet.

a)

Skjul oppgaven

Bestem hvilke punkter \(T\) som gir at volumet av pyramiden er lik \(10\).

Vis fasit

\[ T(-1, -1, 6) \or T(5, 5, 30) \]

Vis løsningsforslag

Vi starter med å finne en funksjon \(V(t)\) for volumet til pyramiden. Grunnflatevektoren er gitt ved

\[ \vec G = \dfrac{1}{2} \cdot \lvec{AB} \times \lvec{AC} \]

Vi har at

\[ \lvec{AB} = [2, 0, 4] \qog \lvec{AC} = [0, 3, 6] \]

Kryssproduktet av de to vektorene er da

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 2 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 6| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|0 & 4 \\ 3 & 6|}_{\displaystyle = -12} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|2 & 4 \\ 0 & 6|}_{\displaystyle = 12} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|2 & 0 \\ 0 & 3|}_{\displaystyle = 6} \\ \\ &= [-12, -12, 6] \end{align*} \end{split}\]

som gir at grunnflatevektoren er

\[ \vec G = [-6, -6, 3] \]

Forflytningsvektoren fra grunnflaten til toppunktet kan være

\[ \lvec{AT} = [t, t, t^2 + 5] \]

Da blir en funksjon \(V(t)\) for volumet til pyramiden gitt ved

\[ V(t) = \dfrac{\abs{\vec G \cdot \lvec{AT}}}{3} \]

Vi har at

\[\begin{split} \begin{align*} \vec G \cdot \lvec{AT} &= [-6, -6, 3] \cdot [t, t, t^2 + 5] \\ \\ &= -6t - 6t + 3(t^2 + 5) \\ \\ &= 3t^2 - 12t + 15 \\ \\ &= 3(t^2 - 4t + 5) \end{align*} \end{split}\]

Vi har at

\[ t^2 - 4t + 5 = (t - 2)^2 + 1 > 0 \qfor t \in \real \]

som vi kan tolke som en konveks andregradsfunksjon med bunnpunkt i \((2, 1)\), og vil derfor aldri være negativ.

Derfor vil absoluttverdien av uttrykket alltid være lik selve uttrykket, altså

\[ |3(t^2 - 4t + 5)| = 3(t^2 - 4t + 5) \]

Dermed blir volumfunksjonen

\[ V(t) = \dfrac{\abs{\vec G \cdot \lvec{AT}}}{3} = \dfrac{\abs{3(t^2 - 4t + 5)}}{3} = t^2 - 4t + 5 \]

Vi skal bestemme \(t\) slik at \(V(t) = 10\). Da får vi:

\[ V(t) = 10 \liff t^2 - 4t + 5 = 10 \liff t^2 - 4t - 5 = 0 \]

Vi bruker \(abc\)-formelen:

\[\begin{split} \begin{align*} t &= \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \\ \\ &= \dfrac{4 \pm 6}{2} \\ \\ &= 2 \pm 3 \end{align*} \end{split}\]

som gir

\[ t = -1 \or t = 5 \]

Dermed blir de ulike mulige toppunktene \(T\) som gir volumet \(10\):

\[ T(-1, -1, 6) \or T(5, 5, 30) \]

b)

Skjul oppgaven

Bestem det minste mulige volumet pyramiden kan ha.

Hint

Bruk derivasjon til å finne den verdien av \(t\) som gir det minste mulige volumet \(V(t)\).

Vis fasit

\(V_\mathrm{minst} = 1\).

Vis løsningsforslag

Fra oppgave a) har vi at volumfunksjonen er

\[ V(t) = t^2 - 4t + 5 \]

Volumet blir minst mulig dersom \(V'(t) = 0\). Vi har at

\[ V'(t) = 2t - 4 = 0 \liff t = 2 \]

Altså er det minste mulige volumet pyramiden kan ha gitt ved

\[ V_\mathrm{minst} = V(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \]

---

Oppgave 11

• Et plan \(\alpha\) går gjennom punktene \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 1, 0)\) og \(C(2, 0, 1)\).

• En linje \(\ell\) er gitt ved \(\vec r_\ell(t) = [9, 0, 0] + [2, 1, 0] \cdot t\).

• En kuleflate \(K\) har sentrum \(S\) på linja \(\ell\). Kula inneholder punktet \(D(9, 0, 2)\).

• Kuleflaten \(K\) tangerer \(\alpha\).

Bestem kulens radius og de mulige koordinatene til sentrum \(S\).

Vis fasit

Kula har radius \(3\) og sentrum i enten \(S_1(11, 1, 0)\) eller \(S_2(7, -1, 0)\).

Vis løsningsforslag

Først bør vi finne en normalvektor til planet så vi kan sammenligne hvordan planet er orientert i forhold til linja.

Vi har at

\[ \lvec{AB} = [2, 1, 0] \qog \lvec{AC} = [2, 0, 1] \]

Alle normalvektorer til planet er parallell med kryssproduktet av de to vektorene, så:

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|1 & 0 \\ 0 & 1|}_{\displaystyle = 1} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|2 & 0 \\ 2 & 1|}_{\displaystyle = 2} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|2 & 1 \\ 2 & 0|}_{\displaystyle = -2} \\ \\ &= [1, -2, -2] \end{align*} \end{split}\]

Dermed vil \(n_\alpha = [1, -2, -2]\) være en normalvektor for \(\alpha\). Retningsvektoren til linja \(\ell\) er \(v_\ell = [2, 1, 0]\). Vi kan merke oss at

\[ \vec n_\alpha \cdot \vec v_\ell = [1, -2, -2] \cdot [2, 1, 0] = 0 \]

som betyr at planet og linja er parallelle. Det betyr at avstanden fra planet til linja alltid er den samme. Siden kuleflaten har sentrum på linja, og planet tangerer kula, vil denne avstanden være lik radius.

For å regne ut denne avstanden trenger vi en planlikning til \(\alpha\):

\[ \lvec{AP} \cdot \vec n_\alpha = 0 \]

\[ [x - 0, y - 0, z - 0] \cdot [1, -2, -2] = 0 \]

\[ x - 2y - 2z = 0 \]

Vi kan sette inn koordinatene til parameterframstillingen for linja i formelen for avstand fra punkt til plan for å finne radius:

\[\begin{split} r &= \dfrac{\abs{x - 2y - 2z}}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} \\ \\ &= \dfrac{\abs{(9 + 2t) - 2\cdot t - 2 \cdot 0}}{3} \\ \\ &= \dfrac{\abs{9}}{3} \\ \\ &= 3 \end{split}\]

Altså må radius til kula være \(r = 3\).

Nå må vi bare finne koordinatene til kulens sentrum. Vi har at punktet \(D\) ligger på kuleflaten, og siden sentrum \(S\) ligger på linja, må vi ha at

\[ \abs{\vec r_\ell(t) - \lvec{OD}}^2 = r^2 = 9 \]

for maksimalt to verdier av \(t\). Vi setter opp likningen og løser for \(t\). Vi har at

\[ \vec r_\ell(t) - \lvec{OD} = [9 + 2t, t, 0] - [9, 0, 2] = [2t, t, -2] \]

som gir oss

\[ \abs{\vec r_\ell(t) - \lvec{OD}}^2 = 9 \]

\[ (2t)^2 + t^2 + (-2)^2 = 9 \]

\[ 5t^2 + 4 = 9 \liff 5t^2 = 5 \liff t = \pm 1 \]

Dermed vil de mulige sentrene til kula være

\[ \lvec{OS_1} = \vec r_\ell(1) = [11, 1, 0] \]

eller

\[ \lvec{OS_2} = \vec r_\ell(-1) = [7, -1, 0] \]

Altså har kula radius \(3\) og sentrum i enten \(S_1(11, 1, 0)\) eller \(S_2(7, -1, 0)\).

Oppgave 12

Gitt punktene \(A(2, 1, 4)\), \(B(4, 0, 4)\) og \(C(2, 3, 2)\), og en linje \(\ell\) gitt ved

\[ \vec r_\ell(t) = [2, 1, 4] + [1, 2, -1] \cdot t \]

• Planet \(\alpha\) går gjennom punktene \(A\), \(B\) og \(C\).

• Et punkt \(S\) ligger på linja \(\ell\) og er sentrum i en kuleflate \(K\).

• Planet \(\alpha\) skjærer kuleflata \(K\) i en sirkel med radius \(3\).

• Kuleflaten har radius \(5\).

Bestem de mulige koordinatene til kulens sentrum.

Vis fasit

\(S_1(6, 9, 0)\) eller \(S_2(-2, -7, 8)\)

Vis løsningsforslag

Vi kan først og fremst merke oss at punktet \(A(2, 1, 4)\) ligger både i planet og på linja siden

\[ \lvec{OA} = \vec r_\ell(0) = [2, 1, 4]. \]

Det er ikke opplagt hvordan vi går fram her, så vi får først finne ut mer om objektene involvert. Avstanden fra kulens sentrum \(S\) til planet vil tilfredsstille

\[ L^2 + \rho^2 = r^2 \]

der \(\rho\) er radius til skjæringssirkelen mellom planet og kulen, og \(r\) er radius til kulen, og \(L\) er avstanden fra \(S\) til planet. Vi har at \(\rho = 3\) og \(r = 5\), så

\[ L^2 = r^2 - \rho^2 = 5^2 - 3^2 = 16 \limplies L = 4 \]

Siden punktet \(S\) ligger på linja \(\ell\) vil vi for minst én verdi av \(t\) ha at

\[ \lvec{AS} = \underbrace{\vec r_\ell(t)}_{\displaystyle \lvec{OS}} - \lvec{OA} = [t, 2t, -t] \]

Vi vet allerede avstanden \(L\) fra \(S\) til planet, så da må vi ha at

\[ L = \dfrac{\abs{\lvec{AS} \cdot \vec n_\alpha}}{\abs{\vec n_\alpha}} = 4 \]

For å finne denne avstanden, må vi ha en normalvektor til planet. Dette kan vi finne ved kryssproduktet av to vektorer som ligger i planet, for eksempel \(\lvec{AB}\) og \(\lvec{AC}\). Vi har at

\[ \lvec{AB} = [2, -1, 0] \qog \lvec{AC} = [0, 2, -2] \]

som gir

\[\begin{split} \begin{align*} \lvec{AB} \times \lvec{AC} &= \mqty|\vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2| \\ \\ &= \vec e_x \cdot \underbrace{\mqty|-1 & 0 \\ 2 & -2|}_{\displaystyle = 2} - \vec e_y \cdot \underbrace{\mqty|2 & 0 \\ 0 & -2|}_{\displaystyle = -4} + \vec e_z \cdot \underbrace{\mqty|2 & -1 \\ 0 & 2|}_{\displaystyle = 4} \\ \\ &= [2, 4, 4] \\ \\ &= 2 \cdot [1, 2, 2] \end{align*} \end{split}\]

Altså er en normalvektor til planet gitt ved

\[ \vec n_\alpha = [1, 2, 2] \limplies \abs{\vec n_\alpha} = 3 \]

Nå kan vi sette opp en likning for \(t\):

\[ L = \dfrac{\abs{\lvec{AS} \cdot \vec n_\alpha}}{\abs{\vec n_\alpha}} \]

\[ 4 = \dfrac{\abs{[t, 2t, -t] \cdot [1, 2, 2]}}{3} \]

\[ 4 = \dfrac{\abs{t + 4t - 2t}}{3} \]

\[ 4 = \dfrac{\abs{3t}}{3} = \abs{t} \]

som gir at

\[ \abs{t} = 4 \liff t = \pm 4 \]

Altså blir de mulige koordinatene til kulens sentrum gitt ved

\[ \lvec{OS_1} = \vec r_\ell(4) = [2, 1, 4] + [1, 2, -1] \cdot 4 = [6, 9, 0] \]

eller

\[ \lvec{OS_2} = \vec r_\ell(-4) = [2, 1, 4] + [1, 2, -1] \cdot (-4) = [-2, -7, 8] \]

Altså har kulen sentrum i enten \(S_1(6, 9, 0)\) eller \(S_2(-2, -7, 8)\).