Romgeometri: Sammendrag

6. Romgeometri: Sammendrag#

Kryssproduktet

\[\begin{split} \vec{a} \times \vec{b} = \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z| \end{split}\]

\(\vec{a} \times \vec{b}\) er ortogonal med både \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\).
\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)
\(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\varphi\), der \(\varphi\) er vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\).

Skalarproduktet

\[ \vec a \cdot \vec b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \]

\[ \vec a \cdot \vec b = |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos\varphi \]

Areal av trekant

En trekant \(ABC\) har arealvektor \(\vec G\) gitt ved

\[ \vec G = \dfrac{1}{2} \cdot \lvec{AB}\times \lvec{AC} \]

Arealet av trekanten er lik \(\abs{\vec G}\).

Volum av pyramide

En pyramide med grunnflatevektor \(\vec{G}\) og forflytningsvektor \(\vec{c}\) er gitt ved

\[ V = \dfrac{|\vec{G} \cdot \vec{c}|}{3} \]

Parameterframstilling for linjer

Gitt et punkt \(A\) og en retningsvektor \(\vec v\), så er en parameterframstilling gitt ved

\[ \vec r(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t \]

Avstand fra punkt til linje

\[ L = \dfrac{|\lvec{AP} \times \vec v|}{|\vec v|} \]

Formelen gjelder også for avstanden mellom to parallelle linjer.

Planlikningen

Gitt et punkt \(A\) i planet og en normalvektor \(\vec{n}\), så er planlikningen gitt ved

\[ \lvec{AP} \cdot \vec n = 0 \]

På standardform:

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

Avstand fra punkt til plan

Gitt et plan \(\alpha\) med normalvektor \(\vec n\) og \(A \in \alpha\) og \(P(x, y, z) \notin \alpha\).

Geometrisk formel:

\[ L = \frac{|\lvec{AP} \cdot \vec n|}{|\vec n|} \]

Koordinatformel:

\[ L = \frac{|ax + by + cz + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Avstandsformelen gjelder også for avstanden mellom

Kulelikningen

En kule med sentrum \(S(x_0, y_0, z_0)\) og radius \(r\) har likningen

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \]