Vektorregning: Sammendrag#
Vektorregning i 3D
Kryssproduktet
\[\begin{split}
\vec{a} \times \vec{b} = \mqty|\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
|
\end{split}\]
\[
\abs{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{\vec{a}} \abs{\vec{b}} \sin \varphi
\]
Areal
Parallellogram:
\[
G = \abs{\vec{a} \times \vec{b}}
\]
Trekant:
\[
G = \dfrac{1}{2}\abs{\vec{a} \times \vec{b}}
\]
Volum
Prisme:
\[
V = \abs{\vec{G} \cdot \vec{c}}
\]
Pyramide:
\[
V = \dfrac{\abs{\vec{G} \cdot \vec{c}}}{3}
\]
Linjer
Parameterframstillinger
\[
\vec{r}(t) = \lvec{OA} + \vec{v} \cdot t
\]
Retningsvektor
\[
\vec{v} = \lvec{AB} = \vec{r}'(t)
\]
Plan
Planlikningen
\[
\lvec{AP} \cdot \vec{n} = 0
\]
\[
ax + by + cz + d = 0
\]
Avstander
Punkt til linje
\[
L = \dfrac{\abs{\lvec{AP} \times \vec{v}}}{\abs{\vec{v}}}
\]
Punkt til plan
\[
L = \dfrac{\abs{\lvec{AP} \cdot \vec{n}}}{\abs{\vec{n}}}
\]
Parallelle linjer
\[
L = \dfrac{\abs{\lvec{AP} \cdot \vec{v}}}{\abs{\vec{v}}}
\]
Ikke-parallelle linjer
\[
L = \dfrac{\abs{\lvec{AP} \cdot \vec{n}}}{\abs{\vec{n}}}
\]
\[
\vec{n} = \vec{v}_\ell \times \vec{v}_m
\]