Heldagsprøve Vår 2026

Innhold

Heldagsprøve Vår 2026#

Del 1 – 3 timer – Uten hjelpemidler#

Oppgave 1#

a)

En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - x - 12. \]

Bestem i hvilke punkter grafen til $f$ skjærer $x$-aksen.

$(-3, 0)$ og $(4, 0)$.

Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i de punktene der $f(x) = 0$. Vi løser denne likningen med $abc$-formelen:

\[ x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm 7}{2}. \]

som gir

\[ x = -3 \or x = 4. \]

Altså skjærer grafen til $f$ gjennom $x$-aksen i $(-3, 0)$ og $(4, 0)$.

b)

En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved

\[ g(x) = 3(x + 5)(x - 1). \]

Bestem koordinatene til bunnpunktet til grafen til $g$.

$(-2, -27)$.

Symmetrilinja (som gir $x$-koordinaten til bunnpunktet) vil ligge midt mellom nullpunktene. Vi kan lese av at nullpunktene er $x = -5$ og $x = 1$. Symmetrilinja er gitt ved gjennomsnittet av de to nullpunktene:

\[ x_0 = \dfrac{-5 + 1}{2} = -2. \]

Vi finner $y$-koordinaten ved å regne ut $g(-2)$:

\[ g(-2) = 3(-2 + 5)(-2 - 1) = 3 \cdot 3 \cdot (-3) = -27. \]

Altså er koordinatene til bunnpunktet $(-2, -27)$.

c)

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ -2x^2 - 8x + 4 = a(x - b)^2 + c \]

\[ a = -2 \and b = -2 \and c = 12. \]

Uttrykket på høyre side er gitt ved andregradsuttrykket på ekstremalpunktsform der $a$ er den ledende koeffisienten, $b$ er symmetrilinja og $c$ er $y$-koordinaten til ekstremalpunktet.

Den ledende koeffisienten er $a = -2$ siden den ledende koeffisienten på venstre side er $-2$.

Symmetrilinja finner vi ved

\[ x_0 = \dfrac{-(-8)}{2 \cdot (-2)} = -2. \]

Altså må $b = -2$.

For å finne $c$ regner vi ut verdien til uttrykket på venstre side når $x = -2$:

\[ -2 \cdot (-2)^2 - 8 \cdot (-2) + 4 = -8 + 16 + 4 = 12. \]

Altså har vi at

\[ a = -2 \and b = -2 \and c = 12. \]

Oppgave 2#

I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$.

Bestem $f(x)$.

Husk å forklare hvordan du har tenkt.

Det er flere korrekte svar. Nedenfor vises de tre mulighetene.

Nullpunktsform:: $f(x) = -2(x + 3)(x - 1)$.
Ekstremalpunktsform:: $f(x) = -2(x + 1)^2 + 8$.
Standardform:: $f(x) = -2x^2 - 4x + 6$.

Vi trenger bare å finne $f(x)$ for én av de tre representasjonene vi har sett på for andregradsfunksjoner: Nullpunktsform, ekstremalpunktsform eller standardform. Nedenfor viser vi alle tre.

Nullpunktsform

Vi kan bestemme $f(x)$ på nullpunktsform ved å ta utgangspunkt i nullpunktene til funksjonen. Vi kan se at grafen skjærer $x$-aksen i $x = -3$ og $x = 1$ som betyr at

\[ f(x) = a(x + 3)(x - 1). \]

Flytter vi oss én enhet fra ekstremalpunktet langs $x$-aksen, endres $y$-verdien med $-2$. Det betyr at $a = -2$. Ergo får vi at

\[ f(x) = -2(x + 3)(x - 1). \]

Ekstremalpunktsform

Vi har fortsatt at den ledenede koeffisienten er $a = -2$. Vi kan lese av at ekstremalpunktet er $(-1, 8)$ som betyr at

\[ f(x) = -2(x + 1)^2 + 8 \]

Standardform

På standardform vil $f(x)$ være gitt ved

\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]

Symmetrilinja er $x = -1$ som betyr at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -1 \implies b = 2a. \]

Det betyr at

\[ f(x) = ax^2 + 2ax + c. \]

Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(0, 6)$ som betyr at $c = 6$. Dermed har vi at

\[ f(x) = ax^2 + 2ax + 6. \]

For å bestemme verdien til $a$ setter vi inn ett kjent punkt på grafen til $f$. Vi bruker $(1, 0)$ som gir

\[ f(1) = 0 \liff a + 2a + 6 = 0 \liff a = -2. \]

Altså er

\[ f(x) = -2x^2 - 4x + 6. \]

Oppgave 3#

Funksjonen $f$ er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 5x^2 + 8x + 4 \]

a)

Bestem nullpunktene til $f$.

\[ x = -2 \qog x = -1. \]

Alle mulige heltallige nullpunkter vil kunne dele kontantleddet til $f(x)$. Det betyr at kandidatene for heltallige nullpunkter er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4\} \]

Siden alle leddene er positive, er det bare mulig å finne negative nullpunkter. Vi tester $x = -1$:

Her ble resten null som betyr at

\[ x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x + 1)(x^2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)^2. \]

der vi i siste overgang har brukt 1. kvadratsetning. Det betyr at nullpunktene til $f$ er

\[ x = -2 \qog x = -1. \]

b)

Løs ulikheten $f(x) < 0$.

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \setminus \{-2\}. \]

En alternativ måte å uttrykke løsningen på kan være $x \in \langle \gets, -2\rangle \cup \langle -2, -1 \rangle$.

For å løse ulikheten $f(x) < 0$ tegner vi et fortegnsskjema:

Fra fortegnslinja til $f(x)$ ser vi at $f(x) < 0$ når

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \setminus \{-2\}. \]

En alternativ måte å uttrykke løsningen på kan være $x \in \langle \gets, -2\rangle \cup \langle -2, -1 \rangle$.

Oppgave 4#

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{4x + 8}{2x^2 - 8} \]

Hvilke av påstandene nedenfor er riktige?

Husk å begrunne svarene dine og vurdere hver påstand.

Påstand 1: Grafen til $f$ har to vertikale asymptoter.
Påstand 2: Grafen til $f$ har en horisontal asymptote $y = 0$.
Påstand 3: Grafen til $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.

Påstand 1: Feil.
Påstand 2: Riktig.
Påstand 3: Feil.

For å vurdere de tre påstandene starter vi først med å nullpunktsfaktorisere telleren og nevneren, og deretter forkorte brøken så mye som mulig.

For tellerpolynomet har vi at

\[ 4x + 8 = 4(x + 2). \]

For nevnerpolynomet har vi at

\[ 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x + 2)(x - 2). \]

Dermed kan vi forkorte brøken til

\[ f(x) = \dfrac{4(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{2}{x - 2}, \quad x \neq -2. \]

Nå er vi klare til å vurdere påstandene.

Påstand 1: Grafen til $f$ har bare én vertikal asymptote i $x = 2$ siden den forkortede brøken gir oss bare ett nullpunkt i nevneren som er $x = 2$. Det betyr at påstand 1 er feil.
Påstand 2: Nevnerpolynomet er av en høyere grad enn tellerpolynomet som betyr at den horisontale asymptoten må være $y = 0$. Derfor er påstanden riktig.
Påstand 3: Grafen til $f$ har ingen nullpunkter siden den forkortede brøken gir oss en konstant i telleren ikke kan være lik null. Dermed er påstand 3 feil.

Oppgave 5#

Anna har skrevet programmet nedenfor.

def f(x):
    return 2 * x**3 - 3 * x**2 - 12 * x - 4


x = -3
while f(x) < f(x + 1):
    x = x + 1

print((x, f(x)))

a)

Hva er det Anna prøver å finne ut med programmet sitt?

Programmet finner toppunktet til grafen til $f$.

Programmet starter med $x = -3$ og øker verdien til $x$ med $1$ så lenge $f(x) < f(x + 1)$. Det betyr at programmet stadig sjekker om den neste funksjonsverdien er større enn den forrige. Med én gang dette ikke er sant, så stopper while-løkka og skriver ut $(x, f(x))$ for den siste verdien av $x$. Det betyr at programmet finner toppunktet til grafen til $f$.

b)

Bestem verdiene som skrives ut av programmet når det kjøres.

\[ (-1, 3) \]

Siden programmet finner toppunktet til grafen til $f$, kan vi avgjøre verdiene programmet skriver ut ved å løse $f'(x) = 0$.

Vi starter med å finne $f'(x)$:

\[ f'(x) = (2 x^3 - 3x^2 - 12x - 4)' = 6x^2 - 6x - 12. \]

Deretter løser vi $f'(x) = 0$:

\[ f'(x) = 0 \liff 6x^2 - 6x - 12 = 0 \liff x^2 - x - 2 = 0. \]

Vi bruker $abc$-formelen for å løse denne likningen:

\[ x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm 3}{2} \]

som gir

\[ x = -1 \or x = 2. \]

Den første av de to vil gi oss toppunktet (hvis ikke ville programmet aldri kjørt i utgangspunktet). Vi finner $y$-koordinaten til punktet ved:

\[ f(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 12 \cdot (-1) - 4 = -2 - 3 + 12 - 4 = 3. \]

Ergo skriver programmet ut $(-1, 3)$.

Oppgave 6#

Synne satte inn penger på en sparekonto med $3~\%$ rente per år for fem år siden. I dag har Synne $100~000$ kr på kontoen.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mye Synne satte inn på kontoen for fem år siden?

A

\[ 100~000 \cdot 0.97^5 \]

B

\[ \dfrac{100~000}{1.03^5} \]

C

\[ 100~000 \cdot 1.03^5 \]

D

\[ 100~000 \cdot 0.97^{-5} \]

E

\[ \dfrac{100~000}{0.97^5} \]

F

\[ 100~000 \cdot 1.03^{-5} \]

Alternativ B og F.

Siden sparekontoen har en rente på $3~\%$ per år, betyr at vekstfaktoren $V$ til den prosentvise veksten er

\[ V = 100~\% + 3~\% = 103~\% = 1.03. \]

Den opprinnelige verdien $x$ vil da være gitt ved

\[ 100~000 = x \cdot V^5 = x \cdot 1.03^5 \liff x = \dfrac{100~000}{1.03^5} = 100~000 \cdot 1.03^{-5}. \]

der vi har brukt at $\dfrac{1}{1.03^5} = 1.03^{-5}$ per definisjon.

Ergo er alternativ B og alternativ F riktige uttrykk for regnestykket.

Oppgave 7#

Grafen til den deriverte $f'$ til en funksjon $f$ er vist i figuren til høyre.

Hvilken figur nedenfor viser grafen til $f$?

Husk å begrunne svaret ditt.

Alternativ C.

Grafen til $f'$ skjærer $x$-aksen i

\[ x = -2 \qog x = 1 \qog x = 3. \]

Dette vil være $x$-koordinatene til ekstremalpunktene til grafen til $f$ som betyr at alternativ B kan utelukkes.

Fra grafen til $f'(x)$ kan vi se at $f'(x) < 0$ når $x < -2$ som betyr at grafen til $f$ synker når $x < -2$. Dette stemmer bare overens med graf C.

Ergo er det riktige svaret alternativ C.

Oppgave 8#

Grafen til en rasjonal funksjon $f$ er vist i figuren nedenfor.

Bestem et mulig uttrykk for $f(x)$.

Husk å forklare hvordan du har tenkt.

\[ f(x) = \dfrac{2(x + 2)(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)} \]

Vi kan skrive $f(x)$ som

\[ f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \]

der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomer.

Grafen til $f$ har en horisontal asymptote $y = 2$ som betyr at både $P(x)$ og $Q(x)$ må ha samme grad.

Nullpunktene til $f$ er gitt ved $x = -2$ og $x = 2$ som betyr at $P(x) = a(x + 2)(x - 2)$.
De vertikale asymptotene til $f$ er gitt ved $x = -1$ og $x = 1$ som betyr at $Q(x) = (x + 1)(x - 1)$.

For å sikre at grafen til $f$ får riktig horisontal asymptote, må vi velge at $a = 2$. Dermed har vi at

\[ f(x) = \dfrac{2(x + 2)(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)} \]

Del 2 - 2 timer - Med hjelpemidler#

Oppgave 1#

En mynt blir sluppet fra ulike høyder. Farten mynten hadde rett før den traff bakken for ulike høyder er vist i tabellen nedenfor.

Høyde (meter)	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$3.0$	$4.0$
Fart (meter per sekund)	$3.1$	$4.4$	$5.4$	$6.2$	$7.7$	$8.9$

Sammenhengen mellom farten og høyden kan beskrives av en modell $F$ på formen

\[ F(x) = a \cdot x^b \]

der mynten blir sluppet $x$ meter over bakken og har farten $F(x)$ målt i meter per sekund rett før den treffer bakken.

a)

Bruk opplysningene i tabellen ovenfor til å bestemme $a$ og $b$.

\[ a = 4.3974 \and b = 0.507 \]

Vi legger inn opplysningene i et regneark som følger:

Deretter bruker vi GeoGebra mode_regression icon og velger potensfunksjon for å bestemme verdiene til $a$ og $b$. Da finner vi som følger:

../../../../_images/regresjonsmodell2.png

Ergo er

\[ a = 4.3974 \and b = 0.507 \]

b)

Den største farten en mynt kan oppnå på grunn av luftmotstand er $20$ meter per sekund.

Gjør beregninger og anslå gyldighetsområdet til modellen.

\[ x \in [0, 19.84] \]

Vi bruker verdiene for $a$ og $b$ vi fant i forrige deloppgave og lager oss en potensfunksjon

\[ F(x) = a \cdot x^b = 4.3974 \cdot x^{0.507}. \]

Deretter løser vi $F(x) < 20$ med CAS for å finne gyldighetsområdet til modellen:

../../../../_images/gyldighetsomr%C3%A5de.png

Vi ser at farten til mynten holder seg nedenfor $F(x) = 20$ omtrentlig når

\[ x \in [0, 19.84] \]

som er et anslag på gyldighetsområdet til modellen ut ifra opplysningen om den største mulige farten på grunn av luftmotstand.

Oppgave 2#

Funksjonen $f$ er gitt ved

\[ f(x) = -x^3 + 6x^2, \quad x \in [0, 6]. \]

Punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $A$ ligger i origo, punktet $B(k, 0)$ ligger på $x$-aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$ og punktet $D$ ligger på $y$-aksen.

Se figuren nedenfor.

a)

Bestem arealet dersom $k = 2$.

\[ 32 \]

Arealet av rektangelet er gitt ved

\[ A = 2 \cdot f(2) = 2 \cdot (-2^3 + 6 \cdot 2^2) = 32. \]

b)

Bestem den verdien for $k$ som gir størst mulig areal av rektangelet.

\[ k = \dfrac{9}{2}. \]

Vi setter opp en funksjon for arealet av rektangelet:

\[ A(k) = k \cdot f(k). \]

For å avgjøre hvilken verdi av $k$ som gir størst mulig arealet, løser vi $A'(k) = 0$ siden dette gir kandidater for ekstremalpunktene til $A(k)$. Vi gjør dette med CAS:

Vi får at enten så er $k = 0$ eller så er $k = 9/2$. Siden $k = 0$ vil gi oss et areal på null vil den verdien av $k$ som gir størst mulig areal være

\[ k = \dfrac{9}{2}. \]

Oppgave 3#

Nedenfor vises de fire første figurene i en figurfølge. Arealet av den første figuren er $1$.

La $T_n$ være antall blå trekanter i figur $n$ og $A_n$ være arealet av én blå trekant i figuren.

Vi lar $F_n$ være arealet av alle de fargelagte trekantene i figur $n$.

a)

Lag en oversikt som vist nedenfor. Skriv av tabellen og fyll ut.

$n$	$T_n$	$A_n$	$F_n$
$1$	$1$	$1$	$1 \cdot 1$
$2$
$3$
$4$

$n$	$T_n$	$A_n$	$F_n$
$1$	$1$	$1$	$1 \cdot 1$
$2$	$3$	$\dfrac{1}{4}$	$3 \cdot \dfrac{1}{4}$
$3$	$3^2$	$\dfrac{1}{4^2}$	$3^2 \cdot \dfrac{1}{4^2}$
$4$	$3^3$	$\dfrac{1}{4^3}$	$3^3 \cdot \dfrac{1}{4^3}$

b)

Bestem et uttrykk for $F_n$.

\[ T_n = 3^{n - 1} \cdot \dfrac{1}{4^{n - 1}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n - 1} \qfor n = 1, 2, 3, \dots \]

Fra tabellen kan vi generalisere til at

\[ A_n = \dfrac{1}{4^{n - 1}} \and T_n = 3^{n - 1} \qfor n = 1, 2, 3, \dots \]

Siden $F_n = T_n \cdot A_n$ for alle $n$, så har vi at

\[ T_n = 3^{n - 1} \cdot \dfrac{1}{4^{n - 1}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n - 1} \qfor n = 1, 2, 3, \dots \]

c)

Figurfølgen består av $100$ slike figurer som følger mønsteret ovenfor.

Lag et program som beregner det samlede arealet til alle de blå fargelagte trekantene.

samlet_areal = 0
F = 1
for n in range(100):
    samlet_areal = samlet_areal + F
    F = F * 3/4

print(samlet_areal)

som gir utskriften

3.999999999998716

Oppgave 4#

En skoleklasse skal på tur og overnatter på hotell.

Hotellet tilbyr rom med 2 senger eller 4 senger. Klassen får plass på 18 rom. Det er til sammen 48 senger.

Hvor mange rom var det med $2$ senger og hvor mange rom var det med $4$ senger?

$12$ rom med $2$ senger og $6$ rom med $4$ senger.

La $x$ være antall rom med $2$ senger og la $y$ være antall rom med $4$ senger. Da har vi at

\[\begin{align*} x + y &= 18 && \mathrm{Antall \, rom}\\ 2x + 4y &= 48 && \mathrm{Antall \, senger} \end{align*}\]

Vi løser likningsystemet med CAS:

Altså er løsningen av likningsystemet

\[ x = 12 \and y = 6. \]

Det betyr at det var $12$ rom med $2$ senger og $6$ rom med $4$ senger.

Oppgave 5#

Omkretsen av figuren ovenfor er $100$.

Bestem det største mulige arealet figuren kan ha.

\[ A_\mathrm{størst} = 125 \]

Omkretsen til figuren tilfredsstiller likningen

\[ 4x + 8x + 8y = 100 \liff 12x + 8y = 100. \]

Arealet $A$ av figuren er gitt ved

\[ A = x^2 + 4xy. \]

Vi løser den første likningen for $y$ slik at vi kan lage oss en funksjon $A(x)$ for arealet:

\[ 12x + 8y = 100 \liff 8y = 100 - 12x \liff y(x) = \dfrac{100 - 12x}{8} \]

Dermed har vi at

\[ A(x) = x^2 + 4x\cdot y(x) = x^2 + 4x \cdot \dfrac{100 - 12x}{8} \]

For å bestemme det største mulige arealet av figuren, gjør vi som følger:

Løser $A'(x) = 0$ for å finne kandidater for ekstremalpunktene til $A(x)$.
Regner ut $A(x)$ for kandidatene for å finne det største arealet.

Dette gjør vi med CAS:

Fra utregningene i CAS ser vi at det største mulige arealet av figuren er

\[ A_\mathrm{størst} = 125 \]