Oppgaver: Nullpunktsform

Innhold

Oppgaver: Nullpunktsform#

Oppgave 1#

a)

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 3(x + 1)(x - 2) \]

Bestem nullpunktene til \(f\).

\[ x = -1 \or x = 2 \]

b)

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x - 1)(x - 1) = -2(x - 1)^2 \]

Bestem nullpunktene til \(g\).

\[ x = 1 \]

c)

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x + 4) \]

Bestem nullpunktene til \(h\).

\[ x = \dfrac{1}{2} \or x = -4 \]

d)

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -3(x + 2)^2 \]

Bestem nullpunktene til \(p\).

\[ x = -2 \]

Oppgave 2#

a)

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 2)^2 - 4 \]

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

\[ f(x) = x(x - 4) \]

Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om \(f(x)\) til nullpunktsform:

\[\begin{align*} f(x) &= (x - 2)^2 - 2^2 \\ \\ &= (x - 2 + 2)(x - 2 - 2) \\ \\ &= (x - 0)(x - 4) \\ \\ &= x(x - 4) \end{align*}\]

b)

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -(x + 3)^2 + 9 \]

Bestem \(g(x)\) på nullpunktsform.

\[ g(x) = -x(x + 6) \]

Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om \(g(x)\) til nullpunktsform:

\[\begin{align*} g(x) &= -(x + 3)^2 + 3^2 \\ \\ &= -\left((x + 3)^2 - 3^2 \right) \\ \\ &= -\left((x + 3 + 3)(x + 3 - 3)\right) \\ \\ &= -\left((x + 6)(x - 0)\right) \\ \\ &= -x(x + 6) \end{align*}\]

c)

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x - 6)^2 - 1 \]

Bestem \(h(x)\) på nullpunktsform.

\[ h(x) = (x - 5)(x - 7) \]

Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om \(h(x)\) til nullpunktsform:

\[\begin{align*} h(x) &= (x - 6)^2 - 1^2 \\ \\ &= (x - 6 + 1)(x - 6 - 1) \\ \\ &= (x - 5)(x - 7) \end{align*}\]

d)

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -(x - 3)^2 + 16 \]

Bestem \(p(x)\) på nullpunktsform.

\[ p(x) = -(x - 7)(x + 1) \]

Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om \(p(x)\) til nullpunktsform:

\[\begin{align*} p(x) &= -(x - 3)^2 + 4^2 \\ \\ &= -\left((x - 3)^2 - 4^2 \right) \\ \\ &= -\left((x - 3 + 4)(x - 3 - 4)\right) \\ \\ &= -\left((x + 1)(x - 7)\right) \\ \\ &= -(x + 1)(x - 7) \end{align*}\]

Oppgave 3#

a)

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2(x - 1)(x + 3) \]

Bestem \(f(x)\) på ekstremalpunktsform.

\[ f(x) = 2(x + 1)^2 - 8. \]

Fra \(f(x)\) kan vi se at nullpunktene er \(x_1 = 1\) og \(x_2 = -3\). Symmetrilinja er da gitt ved

\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1. \]

For å bestemme \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn \(x_0\) i \(f(x)\):

\[ y_0 = f(-1) = 2(-1 - 1)(-1 + 3) = 2(-2)(2) = -8. \]

Vi kan også lese av at \(a = 2\) fra \(f(x)\). Dermed er \(f(x)\) på ekstremalpunktsform gitt ved

\[ f(x) = 2(x + 1)^2 - 8. \]

b)

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -3(x + 2)(x - 4) \]

Bestem \(g(x)\) på ekstremalpunktsform.

\[ g(x) = -3(x - 1)^2 + 27. \]

Fra \(g(x)\) kan vi se at nullpunktene er \(x_1 = -2\) og \(x_2 = 4\). Symmetrilinja er da gitt ved

\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1. \]

For å bestemme \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn \(x_0\) i \(g(x)\):

\[ y_0 = g(1) = -3(1 + 2)(1 - 4) = -3(3)(-3) = 27. \]

Vi kan også lese av at \(a = -3\) fra \(g(x)\). Dermed er \(g(x)\) på ekstremalpunktsform gitt ved

\[ g(x) = -3(x - 1)^2 + 27. \]

c)

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = \frac{1}{2}(x + 5)(x - 1) \]

Bestem \(h(x)\) på ekstremalpunktsform.

\[ h(x) = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - \frac{9}{2}. \]

Fra \(h(x)\) kan vi se at nullpunktene er \(x_1 = -5\) og \(x_2 = 1\). Symmetrilinja er da gitt ved

\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2. \]

For å bestemme \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn \(x_0\) i \(h(x)\):

\[ y_0 = h(-2) = \frac{1}{2}(-2 + 5)(-2 - 1) = \frac{1}{2}(3)(-3) = -\frac{9}{2}. \]

Vi kan også lese av at \(a = \frac{1}{2}\) fra \(h(x)\). Dermed er \(h(x)\) på ekstremalpunktsform gitt ved

\[ h(x) = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - \frac{9}{2}. \]

d)

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -\frac{1}{3}(x - 2)(x + 4) \]

Bestem \(p(x)\) på ekstremalpunktsform.

\[ p(x) = -\frac{1}{3}(x + 1)^2 + 3. \]

Fra \(p(x)\) kan vi se at nullpunktene er \(x_1 = 2\) og \(x_2 = -4\). Symmetrilinja er da gitt ved

\[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1. \]

For å bestemme \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn \(x_0\) i \(p(x)\):

\[ y_0 = p(-1) = -\frac{1}{3}(-1 - 2)(-1 + 4) = -\frac{1}{3}(-3)(3) = 3. \]

Vi kan også lese av at \(a = -\frac{1}{3}\) fra \(p(x)\). Dermed er \(p(x)\) på ekstremalpunktsform gitt ved

\[ p(x) = -\frac{1}{3}(x + 1)^2 + 3. \]

Oppgave 4#

a)

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 1)(x + 3) \]

Bestem \(f(x)\) på standardform.

\[ f(x) = x^2 + 2x - 3. \]

Vi ganger ut parentesene og samler leddene:

\[\begin{align*} f(x) &= (x - 1)(x + 3) \\ \\ &= x^2 + 3x - x - 3 \\ \\ &= x^2 + 2x - 3. \end{align*}\]

b)

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x + 2)(x - 4) \]

Bestem \(g(x)\) på standardform.

\[ g(x) = -2x^2 + 4x + 16. \]

Vi ganger ut parentesene og samler leddene:

\[\begin{align*} g(x) &= -2(x + 2)(x - 4) \\ \\ &= -2(x^2 - 4x + 2x - 8) \\ \\ &= -2(x^2 - 2x - 8) \\ \\ &= -2x^2 + 4x + 16. \end{align*}\]

c)

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = -3(x + 4)^2 \]

Bestem \(h(x)\) på standardform.

\[ h(x) = -3x^2 - 24x - 48. \]

Vi ganger ut parentesene og samler leddene:

\[\begin{align*} h(x) &= -3(x + 4)^2 \\ \\ &= -3(x^2 + 8x + 16) \\ \\ &= -3x^2 - 24x - 48. \end{align*}\]

d)

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = 2(x + 2)(x + 3) \]

Bestem \(p(x)\) på standardform.

\[ p(x) = 2x^2 + 10x + 12. \]

Vi ganger ut parentesene og samler leddene:

\[\begin{align*} p(x) &= 2(x + 2)(x + 3) \\ \\ &= 2(x^2 + 3x + 2x + 6) \\ \\ &= 2(x^2 + 5x + 6) \\ \\ &= 2x^2 + 10x + 12. \end{align*}\]

Oppgave 5#

a)

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 + 6x + 8 \]

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

\[ f(x) = (x + 2)(x + 4). \]

Vi ser at koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 6 \and c = 8. \]

Så bestemmer vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. \]

Dermed kan vi skrive \(f(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ f(x) = (x + 3)^2 - 1. \]

Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(f(x)\) til nullpunktsform:

\[ f(x) = (x + 3)^2 - 1 = (x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4). \]

b)

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -x^2 + 4x + 5 \]

Bestem \(g(x)\) på nullpunktsform.

\[ g(x) = -(x + 1)(x - 5). \]

Vi ser at koeffisientene til \(g(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 4 \and c = 5. \]

Så bestemmer vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = g(2) = -2^2 + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. \]

Dermed kan vi skrive \(g(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ g(x) = -(x - 2)^2 + 9. \]

Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(g(x)\) til nullpunktsform:

\[ g(x) = -(x - 2)^2 + 3^2 = -(x - 2 + 3)(x - 2 - 3) = -(x + 1)(x - 5). \]

c)

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 - x - 6 \]

Bestem \(h(x)\) på nullpunktsform.

\[ h(x) = (x - 3)(x + 2). \]

Vi ser at koeffisientene til \(h(x)\) er

\[ a = 1 \and b = -1 \and c = -6. \]

Så bestemmer vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = h\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4}. \]

Dermed kan vi skrive \(h(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 -\frac{25}{4}. \]

Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(h(x)\) til nullpunktsform:

\[ h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\right) = (x - 3)(x + 2). \]

d)

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = 2x^2 + 8x - 10 \]

Bestem \(p(x)\) på nullpunktsform.

\[ p(x) = 2(x - 1)(x + 5). \]

Vi ser at koeffisientene til \(p(x)\) er

\[ a = 2 \and b = 8 \and c = -10. \]

Da kan vi bestemme symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = p(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) - 10 = 8 - 16 - 10 = -18. \]

Dermed kan vi skrive \(p(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ p(x) = 2(x + 2)^2 - 18. \]

Først faktoriserer vi ut den ledende koeffisienten \(2\):

\[ p(x) = 2(x + 2)^2 - 18 = 2\left((x + 2)^2 - 9\right) \]

Deretter bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(p(x)\) til nullpunktsform:

\[ p(x) = 2\left((x + 2)^2 - 3^2\right) = 2\left((x + 2 - 3)(x + 2 + 3)\right) = 2(x - 1)(x + 5). \]

Oppgave 6#

a)

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(f(x)\) på nullpunktsform.

\[ f(x) = (x + 2)(x - 1). \]

Vi ser at grafen til \(f\) har nullpunkter \((-2, 0)\) og \((1, 0)\). Det betyr at

\[ f(x) = a(x + 2)(x - 1) \]

Vi ser også at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, -2)\) som betyr at

\[ f(0) = -2 \liff a(0 + 2)(0 - 1) = -2. \]

Dette forenkler vi til

\[ -2a = -2 \liff a = 1. \]

Dermed har vi at

\[ f(x) = 1\cdot(x + 2)(x - 1) = (x + 2)(x - 1). \]

b)

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(g(x)\) på nullpunktsform.

\[ g(x) = 3(x + 1)^2 \]

Grafen til \(g\) har bare ett nullpunkt i \((-1, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(g(x)\) på nullpunktsform som

\[ g(x) = a(x + 1)(x + 1) = a(x + 1)^2 \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 3)\) som betyr at

\[ g(0) = 3 \liff a(0 + 1)^2 = 3. \]

Dette forenkler vi til

\[ a = 3 \]

Dermed har vi at

\[ g(x) = 3(x + 1)^2 \]

c)

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(h(x)\) på nullpunktsform.

\[ h(x) = -\frac{1}{2}(x + 2)(x - 3). \]

Grafen til \(h\) har nullpunkter i \((-2, 0)\) og \((3, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(h(x)\) på nullpunktsform som

\[ h(x) = a(x + 2)(x - 3). \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 3)\) som betyr at

\[ h(0) = 3 \liff a(0 + 2)(0 - 3) = 3. \]

Dette forenkler vi til

\[ -6a = 3 \liff a = -\frac{1}{2}. \]

Dermed har vi at

\[ h(x) = -\frac{1}{2}(x + 2)(x - 3). \]

d)

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(p(x)\) på nullpunktsform.

\[ p(x) = -2(x - 3)^2 \]

Grafen til \(p\) har bare ett nullpunkt i \((3, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(p(x)\) på nullpunktsform som

\[ p(x) = a(x - 3)(x - 3) = a(x - 3)^2 \]

Vi ser at grafen går gjennom punktet \((2, -2)\) som betyr at

\[ p(2) = -2 \liff a(2 - 3)^2 = -2 \liff a = -2. \]

Dermed er uttrykket for \(p(x)\) gitt ved

\[ p(x) = -2(x - 3)^2 \]

Oppgave 7#

a)

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 4x + 5 \]

Bestem nullpunktene til \(f\).

\[ x = -1 \or x = 5. \]

Vi ser at koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 4 \and c = 5. \]

Først finner vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = f(2) = -2^2 + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. \]

Ekstremalpunktsformen til \(f(x)\) er da

\[ f(x) = -(x - 2)^2 + 9. \]

Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(f(x)\) til nullpunktsform:

\[ f(x) = -\left((x - 2)^2 - 3^2\right) = -\left((x - 2 + 3)(x - 2 - 3)\right) = -(x + 1)(x - 5). \]

Dermed er nullpunktene til \(f\) gitt ved

\[ x = -1 \or x = 5. \]

b)

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = x^2 - 5x - 6 \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(g\) skjærer \(x\)-aksen.

\[ x = 6 \qog x = -1. \]

Vi ser at koeffisientene til \(g(x)\) er

\[ a = 1 \and b = -5 \and c = -6. \]

Først finner vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = g\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\cdot\frac{5}{2} - 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{49}{4}. \]

Nå kan vi skrive \(g(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ g(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{49}{4}. \]

Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(g(x)\) til nullpunktsform:

\[ g(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = (x - \frac{5}{2} - \frac{7}{2})(x - \frac{5}{2} + \frac{7}{2}) = (x - 6)(x + 1). \]

Dermed skjærer grafen \(x\)-aksen i punktene

\[ x = 6 \qog x = -1. \]

c)

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 + 5x - 14 \]

Bestem nullpunktene til \(h\).

\[ x = 2 \or x = -7. \]

Vi ser at koeffisientene til \(h(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 5 \and c = -14. \]

Først finner vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2}. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = h\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) - 14 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 14 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{56}{4} = -\frac{81}{4}. \]

Ekstremalpunktsformen til \(h(x)\) er da

\[ h(x) = \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{81}{4}. \]

Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(h(x)\) til nullpunktsform:

\[ h(x) = \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{5}{2} - \frac{9}{2}\right)\left(x + \frac{5}{2} + \frac{9}{2}\right) = (x - 2)(x + 7). \]

Dermed er nullpunktene til \(h\) gitt ved

\[ x = 2 \or x = -7. \]

d)

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = x^2 + 6x + 8 \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(p\) skjærer \(x\)-aksen.

\[ x = -2 \qog x = -4. \]

Vi ser at koeffisientene til \(p(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 6 \and c = 8. \]

Først finner vi symmetrilinja:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = p(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. \]

Ekstremalpunktsformen til \(p(x)\) er da

\[ p(x) = (x + 3)^2 - 1. \]

Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om \(p(x)\) til nullpunktsform:

\[ p(x) = (x + 3)^2 - 1 = (x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4). \]

Dermed skjærer grafen \(x\)-aksen i punktene

\[ x = -2 \qog x = -4. \]

Oppgave 8#

a)

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(f(x)\).

\[ f(x) = (x + 1)(x - 3). \]

Grafen til \(f\) har nullpunkter i \((-1, 0)\) og \((3, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(f(x)\) på nullpunktsform som

\[ f(x) = a(x + 1)(x - 3). \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, -3)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ f(0) = -3 \liff a(0 + 1)(0 - 3) = -3. \]

Dette forenkler vi til

\[ -3a = -3 \liff a = 1. \]

Dermed er

\[ f(x) = 1\cdot(x + 1)(x - 3) = (x + 1)(x - 3). \]

b)

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(g(x)\).

\[ g(x) = 2(x - 1)^2 + 2. \]

Grafen til \(g\) har et bunnpunkt i \((1, 2)\) som betyr at vi kan skrive \(g(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ g(x) = a(x - 1)^2 + 2. \]

Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 4)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ g(0) = 4 \liff a(0 - 1)^2 + 2 = 4. \]

Dette forenkler vi til

\[ a + 2 = 4 \liff a = 2. \]

Dermed er

\[ g(x) = 2(x - 1)^2 + 2. \]

c)

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(h(x)\).

\[ h(x) = -2x^2 + 18. \]

Grafen til \(h\) har et toppunkt i \((0, 18)\) som betyr at vi kan skrive \(h(x)\) på ekstremalpunktsform som

\[ h(x) = a(x - 0)^2 + 18 = ax^2 + 18. \]

Vi ser at grafen skjærer \(x\)-aksen i \((3, 0)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ h(3) = 0 \liff a(3)^2 + 18 = 0. \]

Dette forenkler vi til

\[ 9a + 18 = 0 \liff 9a = -18 \liff a = -2. \]

Dermed er

\[ h(x) = -2x^2 + 18. \]

d)

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(p(x)\).

\[ p(x) = -(x + 2)(x - 4). \]

Grafen til \(p\) har nullpunkter i \((-2, 0)\) og \((4, 0)\). Det betyr at vi kan skrive \(p(x)\) på nullpunktsform som

\[ p(x) = a(x + 2)(x - 4). \]

Grafen til \(p\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 8)\) som vi kan bruke til å finne verdien til \(a\):

\[ p(0) = 8 \liff a(0 + 2)(0 - 4) = 8. \]

Dette forenkler vi til

\[ -8a = 8 \liff a = -1. \]

Dermed er

\[ p(x) = -1(x + 2)(x - 4) = -(x + 2)(x - 4). \]

Oppgave 9#

a)

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 4)^2 - 9 \]

Avgjør om \(f\) har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene.

Nullpunktene er \(x = 1\) og \(x = 7\).

Leddene har motsatt fortegn som betyr at vi kan bruke konjugatsetningen:

\[ f(x) = (x - 4)^2 - 3^2 = (x - 4 - 3)(x - 4 + 3) = (x - 7)(x - 1). \]

Nullpunktene er dermed \(x = 1\) og \(x = 7\).

b)

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x + 1)^2 + 4 \]

Avgjør om \(g\) har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene.

\[ x = -3 \qog x = 1. \]

Leddene har motsatt fortegn som betyr at vi kan bruke konjugatsetningen:

\[ g(x) = -2(x + 1)^2 + 4 = -2((x + 1) - 2)((x + 1) + 2) = -2(x - 1)(x + 3). \]

Nullpunktene til \(g\) er dermed

\[ x = -3 \qog x = 1. \]

c)

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x + 3)^2 + 1 \]

Avgjør om \(h\) har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene.

Ingen nullpunkter.

Leddene har samme fortegn som betyr at vi ikke kan bruke konjugatsetningen til å faktorisere \(h(x)\) til nullpunktsform. Dermed har ikke \(h\) noen nullpunkter.

d)

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 \]

Avgjør om \(p\) har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene.

\[ x = 4 \]

Vi har at \(p(x)\) er skrevet på nullpunktsform (og ekstremalpunktsform, med \(y_0 = 0\)). Dermed har \(p\) bare ett nullpunkts i \(x = 4\).

Oppgave 10#

a)

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x + 1)(x - 2) \]

Bestem hvilken graf nedenfor som viser grafen til \(f\).

Graf B.

Vi ser fra \(f(x)\) at nullpunktene er gitt ved

\[ x = -1 \qog x = 2. \]

Det betyr at det negative nullpunktet må ligge nærmere \(y\)-aksen enn det positive, noe som bare passer med graf B og C.

Vi ser også at \(a = 1 > 0\) som betyr at grafen til \(f\) er konveks smile polynomial icon . Da passer bare graf B. Dermed er graf B grafen til \(f\).

b)

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -2(x - 1)(x - 2) \]

Graf A.

Vi ser fra \(g(x)\) at nullpunktene er gitt ved

\[ x = 1 \qog x = 2. \]

Det betyr at begge nullpunktene har positiv \(x\)-verdi som passer med graf A og B.

Vi ser at \(a < 0\) som betyr at grafen til \(g\) er konkav frown polynomial icon . Dermed passer bare graf A. Dermed er graf A grafen til \(g\).

c)

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = (x + 2)^2 \]

Bestem hvilken graf nedenfor som viser grafen til \(h\).

Graf C.

Vi ser fra \(h(x)\) at nullpunktet er gitt ved

\[ x = -2. \]

Det betyr at grafen må treffe \(x\)-aksen ved en negativ \(x\)-verdi som passer med graf C og D.

Vi ser at \(a = 1 > 0\) som betyr at grafen er konveks smile polynomial icon . Dermed passer bare graf C. Dermed er graf C grafen til \(h\).

Oppgave 11#

a)

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ (x + 2)(x - 8) = (x - s)^2 + r \]

\[ s = 3 \and r = -25 \]

Vi kan kjenne \(s\) som symmetrilinja til en andregradsfunksjon. Venstresiden er på nullpunktsform som gjør at vi kan finne symmetrilinja ved å bruke formelen

\[ s = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-2 + 8}{2} = \dfrac{6}{2} = 3. \]

Deretter bestemmer vi \(r\) ved å sette inn verdien for \(s\) i uttrykket på venstresiden:

\[ r = (3 + 2)(3 - 8) = 5 \cdot (-5) = -25. \]

Dermed er likningen en identitet hvis

\[ s = 3 \and r = -25 \]

b)

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ (x - 1)(x + 3) = (x - s)^2 + r \]

\[ s = -1 \and r = -4 \]

Vi kan kjenne \(s\) som symmetrilinja til en andregradsfunksjon. Venstresiden er på nullpunktsform som gjør at vi kan finne symmetrilinja ved å bruke formelen

\[ s = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{1 + (-3)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \]

Deretter bestemmer vi \(r\) ved å sette inn verdien for \(s\) i uttrykket på venstresiden:

\[ r = (-1 - 1)(-1 + 3) = -2 \cdot 2 = -4. \]

Dermed er likningen en identitet hvis

\[ s = -1 \and r = -4 \]

c)

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ (x - s)(x - r) = (x - 2)^2 - 1 \]

\[ r = 3 \and s = 1 \or r = 1 \and s = 3. \]

Vi gjenkjenner venstresiden som nullpunktsformen til en andregradsfunksjon der \(s\) og \(r\) er nullpunktene. På høyresiden er uttrykket gitt på ekstremalpunktsform som vi kan skrive om til nullpunktsform ved å bruke konjugatsetningen:

\[ (x - 2)^2 - 1 = (x - 2 - 1)(x - 2 + 1) = (x - 3)(x - 1) \]

Altså vil likningen bli en identitet hvis

\[ r = 3 \and s = 1 \or r = 1 \and s = 3. \]

d)

Bestem \(s\) og \(r\) slik at likningen nedenfor er en identitet

\[ x^2 - x - 2 = (x - s)(x - r) \]

\[ s = 2 \and r = -1 \or s = -1 \and r = 2. \]

Venstresiden er skrevet på standardform og høyresiden er skrevet på nullpunktsform. Vi kan skrive om venstresiden til nullpunktsform for å bestemme verdiene til \(s\) og \(r\).

Vi starter med å finne symmetrilinja. Vi har at \(a = 1\) og \(b = -1\), så

\[ x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-1}{2 \cdot 1} = \dfrac{1}{2}. \]

Deretter finner vi \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet:

\[ y_0 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} - \dfrac{8}{4} = -\dfrac{9}{4}. \]

Det betyr at vi kan skrive om uttrykket til ekstremalpunktsform som:

\[ x^2 - x - 2 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}. \]

Deretter kan vi bruke konjugatsetningen for å skrive om til nullpunktsform:

\[ x^2 - x - 2 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} = \left(x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}\right)\left(x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\right) = (x - 2)(x + 1). \]

Altså vil likningen være en identitet hvis

\[ s = 2 \and r = -1 \or s = -1 \and r = 2. \]

e)

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen nedenfor er en identitet:

\[ 2(x - 3)^2 + c = a(x - b)(x + 1) \]

\[ a = 2 \and b = 7 \and c = -32 \]

Siden den ledende koeffisienten må være lik i alle representasjonsformene, så er \(a = 2\).

Vi har at symmetrilinja er \(x = 3\) som vi kan se fra venstre side av likningen. Avstanden mellom symmetrilinja og hvert nullpunkt er alltid lik. Fra høyre side kan vi se at \(x = -1\) er et nullpunkt. Avstanden mellom symmetrilinja og nullpunkter er da \(+4\). Det andre nullpunktet vil samsvare med verdien til \(b\). Dette nullpunktet må ha samme avstand til symmetrilinja, men ligge på den andre siden av denne linja. Dermed er

\[ b = 3 + 4 = 7 \]

Nå har vi et fullstendig uttrykk for andregradspolynomet på høyre side som er vi kan la være en funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = a(x - b)(x + 1) = 2(x - 7)(x + 1) \]

Verdien til \(c\) er lik \(f(3)\) siden dette gir oss \(y\)-koordinaten til ekstremalpunktet til \(f\):

\[ c = f(3) = 2(3 - 7)(3 + 1) = 2(-4)(4) = -32. \]

Ergo er

\[ a = 2 \and b = 7 \and c = -32 \]

Oppgave 12#

En andregradsfunksjon \(f\) har ett nullpunkt. Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 9)\).

Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\) for andregradsfunksjonen.

\[ f(x) = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]

Oppgave 13#

a)

Undersøk om det finnes tilfeller hvor nullpunktsformen og ekstremalpunktsformen til en andregradsfunksjon er like.

Gi et eksempel hvis du finner et.

Vi skriver opp \(f(x)\) på begge former:

\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - x_0)^2 + y_0 \]

Hvis \(f\) har ett nullpunkt slik at \(x_1 = x_2\) så vil også symmetrilinja ha samme \(x\)-verdi som betyr at

\[ x_0 = x_1 = x_2 \]

Da må også \(y_0 = 0\), så vi får at ekstremalpunktsformen og nullpunktsformen er lik:

\[ f(x) = a(x - x_0)^2 \]

Et eksempel på en slik funksjon er

\[ f(x) = (x - 2)^2 \]

Her er nullpunktet og symmetrilinja gitt ved \(x = 2\).

b)

Undersøk om det finnes tilfeller hvor standardformen og nullpunktsformen til en andregradsfunksjon er like.

Gi et eksempel hvis du finner et.

For at standardformen og nullpunktsformen skal være like, må både \(b = 0\) og \(c = 0\), slik at

\[ f(x) = ax^2 \]

Da er nullpunktet til \(f\) gitt ved \(x = 0\). Et eksempel vil da være \(f(x) = -2x^2\).

c)

Undersøk om det finnes tilfeller hvor standardformen og ekstremalpunktsformen til en andregradsfunksjon er like.

Gi et eksempel hvis du finner et.

Standardformen og ekstremalpunktsformen er like dersom vi setter \(b = c = 0\) i standardformen. Da får vi

\[ f(x) = ax^2 \]

som betyr at ekstremalpunktet er \((0, 0)\). Et eksempel på en slik funksjon er \(f(x) = 3x^2\).

d)

Undersøk om det finnes tilfeller hvor alle tre representasjonsformer er like.

Gi et eksempel om du finner et.

De er alle like dersom \(b = c = 0\) i standardformen. Da har vi

\[ f(x) = ax^2 \]

som gir nullpunkt og ekstremalpunkt i \((0, 0)\). Et eksempel på en slik funksjon er \(f(x) = x^2\).