24. Lineære-over-lineære#
Kunne representere lineære-over-lineære rasjonale funksjoner algebraisk, grafisk og med fortegnslinjer.
Kunne bestemme \(f(x)\) for rasjonale funksjoner der tellergrad og nevnergrad er 1.
Kunne bestemme asymptotene til rasjonale funksjoner.
Kunne bestemme nullpunkter og løse ulikheter med rasjonale funksjoner.
En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.
Definisjon: Rasjonale funksjoner#
En rasjonal funksjon \(f\) er en funksjon som kan skrives som
der \(P(x)\) og \(Q(x)\) er polynomer.
Graden til \(P\) kaller vi for tellergraden til \(f\) og graden til \(Q\) kaller vi for nevnergraden til \(f\).
Algebraisk og grafisk representasjon#
Vi skal først konsentrere oss om rasjonale funksjoner der tellergraden og nevnergraden er \(1\). Det vil si der både teller og nevner er lineære polynomer. Vi skal kalle dette for lineære-over-lineære rasjonale funksjoner.
Lineære-over-lineære rasjonale funksjoner#
En rasjonal funksjon \(f\) der teller \(P(x)\) og nevner \(Q(x)\) er lineære polynomer kan alltid skrives som
Grafen til \(f\) er en hyperbel med
En horisontal asymptote med likningen \(y = a\).
En vertikal asymptote med likningen \(x = c\).
Et nullpunkt i \(x = b\).
Underveisoppgave 1#
I den interaktive figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon
Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at grafen til \(f\) har
En horisontal asymptote med likningen \(y = 2\).
En vertikal asymptote med likningen \(x = -1\).
Et nullpunkt i \(x = 3\).
Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at grafen til \(f\) har
En horisontal asymptote med likningen \(y = -1\).
En vertikal asymptote med likningen \(x = 2\).
Skjærer \(x\)-aksen i \(x = 1\).
Fra graf til \(f(x)\)#
Vi går løs på et eksempel.
Eksempel 1#
I figuren til høyre vises grafen til en lineær-over-lineær rasjonal funksjon \(f\).
Bestem \(f(x)\).
En rasjonal funksjon der teller og nevner er lineære polynomer, kan alltid skrives som
der \(y = a\) er den horisontale asympoten, \(x = b\) er nullpunktet og \(x = c\) er den vertikale asymptoten.
Horisontal asymptote er \(y = 2\), så \(a = 2\).
Nullpunktet er \(x = 3\), så \(b = 3\).
Vertikal asymptote er \(x = -1\), så \(c = -1\).
Dermed er \(f(x)\) gitt ved
Quiz 1#
Underveisoppgave 2#
I figuren til høyre vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\).
Bestem \(f(x)\).
Funksjonen \(f\) kan skrives som
Den horisontale asymptoten er \(y = -2\), så da er \(a = -2\).
Nullpunktet er \(x = 1\), så da er \(b = 1\).
Den vertikale asympoten er \(x = -1\), så da er \(c = -1\).
Derfor har vi
Bestemme egenskaper fra \(f(x)\)#
Egenskapene til en rasjonal funksjon#
Gitt en rasjonal funksjon
så er egenskapene bestemt som følger:
| Egenskap | Bestemmes av |
|---|---|
| Nullpunkter | Nullpunktene til telleren. Løs $P(x) = 0$. |
| Vertikale asymptoter | Nullpunktene til nevneren. Løs $Q(x) = 0$. |
| Horisontale asymptoter | Ledende koeffisient i P(x) delt på ledende koeffisient i Q(x) dersom tellergrad og nevnergrad er like. |
Eksempel 2#
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem nullpunktet og asymptotene til \(f\).
Nullpunktet finner vi ved å løse telleren lik null:
Den vertikale asymptoten finner vi ved å løse nevneren lik null:
Den horisontale asymptoten finner vi ved å se på ledende koeffisienter i teller og nevner. Siden tellergrad og nevnergrad er like, er den horisontale asymptoten gitt ved
Underveisoppgave 3#
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Finn nullpunktet og asymptotene til \(f\).
Nullpunktet er \(x = -2\)
Vertikal asymptote er \(x = 1\)
Horisontal asymptote er \(y = 3\)
Vi løser telleren lik null for å finne nullpunktet:
Den vertikale asymptoten finner vi ved å løse nevneren lik null:
Den horisontale asymptoten finner vi ved å se på ledende koeffisienter i teller og nevner. Siden tellergrad og nevnergrad er like, er den horisontale asymptoten gitt ved
Fra \(f(x)\) til graf#
Vi går løs på et eksempel der vi lager en skisse av grafen til en lineær rasjonal funksjon.
Eksempel 3#
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(f\).
Vi starter med å bestemme egenskapene til \(f\) ved å skrive om \(f(x)\) så vi kan lese av nullpunktet og asymptotene:
som betyr at
\(y = -2\) er en horisontal asymptote.
\(x = 2\) er et nullpunkt.
\(x = -3\) er en vertikal asymptote.
Vi tegner en fortegnslinje der vi passer på å få med at \(x = -3\) et bruddpunkt. Dette markerer vi med \(\times\) i fortegnslinja. Vi får da følgende fortegnslinje for \(f(x)\):
Ut ifra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi se at \(f(x) < 0\) når \(x < -3\) og \(x > 2\) og at \(f(x) > 0\) når \(-2 < x < 3\). Samler vi dette med opplysningene om nullpunktet og asymptotene til \(f\), kan vi lage en skisse av grafen til \(f\) som følger: