Oppgaver: Den deriverte

Innhold

Oppgaver: Den deriverte#

Oppgave 1#

Deriver polynomfunksjonene.

a)

\[ f(x) = x^2 - 3x + 2 \]

\[ f'(x) = 2x - 3 \]

b)

\[ g(x) = -x^3 + 4x + 1 \]

\[ g'(x) = -3x^2 + 4 \]

c)

\[ h(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1 \]

\[ h'(x) = 8x^3 - 6x \]

d)

\[ p(x) = 3x^5 - 2x^3 + 4x \]

\[ p'(x) = 15x^4 - 6x^2 + 4 \]

Oppgave 2#

a)

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 3x + 1 \]

Bestem likningen til tangenten i \((2, f(2))\).

\[ y = -x + 5 \]

b)

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6 \]

Bestem likningen til tangenten i \((1, g(1))\).

\[ y = -5x + 5 \]

c)

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ h(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1 \]

Bestem likningen til tangenten i \((0, h(0))\).

\[ y = 1 \]

d)

En polynomfunksjon er gitt ved

\[ p(x) = 4x^5 - 3x^3 + 2x \]

Bestem likningen til tangenten i \((-1, p(-1))\).

\[ y = 13x + 10. \]

Oppgave 3#

a)

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) vises til høyre.

Tegn en fortegnslinje for \(f'(x)\).

Grafen til \(f\) har et toppunkt i \(x = 2\). Dette svarer til nullpunktet til \(f'\).

Grafen til \(f\) stiger før \(x = 2\) som betyr at \(f'(x) > 0\) for \(x \lt 2\). Grafen til \(f\) synker etter \(x = 2\) som betyr at \(f'(x) < 0\) for \(x > 2\). En fortegnslinje for \(f'(x)\) vil da være

b)

Grafen til en tredegradsfunksjon \(g\) er vist i figuren til høyre.

Tegn en fortegnslinje for \(g'(x)\).

Grafen til \(g\) har et toppunkt når \(x = -3\) og et bunnpunkt når \(x = 2\). Dette svarer til nullpunktene til \(g'\).

Grafen til \(g\) stiger før \(x = -3\) som betyr at \(g'(x) > 0\) for \(x \lt -3\).

Grafen til \(g\) synker mellom \(x = -3\) og \(x = 2\) som betyr at \(g'(x) < 0\) for \(-3 \lt x \lt 2\).

Grafen til \(g\) stiger etter \(x = 2\) som betyr at \(g'(x) > 0\) for \(x > 2\). En fortegnslinje for \(g'(x)\) vil da være

c)

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.

Tegn en fortegnslinje for \(h'(x)\).

Grafen til \(h\) har et bunnpunkt når \(x = -2\) og et toppunkt når \(x = 3\). Dette svarer til nullpunktene til \(h'\).

Grafen til \(h\) synker før \(x = -2\) som betyr at \(h'(x) < 0\) for \(x \lt -2\).

Grafen til \(h\) stiger mellom \(x = -2\) og \(x = 3\) som betyr at \(h'(x) > 0\) for \(-2 \lt x \lt 3\).

Grafen til \(h\) synker etter \(x = 3\) som betyr at \(h'(x) < 0\) for \(x > 3\). En fortegnslinje for \(h'(x)\) vil da være

Oppgave 4#

a)

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x \]

Finn koordinatene til toppunktet og bunnpunktet til grafen til \(f\).

Grafen har et toppunkt i \((-1, 5)\) og et bunnpunkt i \((3, -27)\).

For å finne ekstremalpunktene til grafen til \(f\), må vi løse \(f'(x) = 0\). Vi deriverer først:

\[ f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x)' = 3x^2 - 6x - 9 \]

Så løser vi likningen:

\[ f'(x) = 0 \liff 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]

som når vi deler med \(3\) på hver side gir

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Vi løser likningen med \(abc\)-formelen:

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

som gir

\[ x = -1 \or x = 3 \]

Så regner vi ut \(f(x)\) for disse to verdiene:

\[\begin{split} \begin{align*} f(-1) &= (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 \\ \\ f(3) &= 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27 \end{align*} \end{split}\]

Altså ser vi at grafen har et toppunkt i \((-1, 5)\) og et bunnpunkt i \((3, -27)\).

b)

En fjerdegradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + 12 \]

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(g\).

Bunnpunkter i \((-1, -7)\) og \((2, 20)\), og et toppunkt i \((1, 25)\).

Ekstremalpunktene til \(g\) vil være punkter der \(g'(x) = 0\). Vi deriverer først:

\[ g'(x) = (3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + 12)' = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24 \]

Så løser vi likningen \(g'(x) = 0\):

\[ 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24 = 0 \]

Vi deler med \(12\) på hver side av likningen:

\[ x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 \]

De mulige heltallige løsningene her vil være

\[ x = \pm 1, \pm 2 \]

siden det er disse verdiene som deler konstantleddet i tredjegradsuttrykket. Vi prøver oss frem med Horner-skjema. Vi starter med \(x = 1\):

Vi får \(0\) i rest som betyr at \(x = 1\) er en løsning. Fra Horner-skjema kan vi se at kvotienten er \((x^2 - x - 2)\) som betyr at vi kan faktorisere tredjegradspolynomet som

\[ x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x^2 - x - 2) \]

Nå gjenstår det bare å finne røttene til andregradspolynomet som vi gjør med \(abc\)-formelen:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

som gir

\[ x = -1 \or x = 2 \]

Dermed kan vi nullpunktsfaktorisere \(g'(x)\) som

\[ g'(x) = 12(x - 1)(x + 1)(x - 2) \]

Vi tegner et fortegnsskjema for å avgjøre hvilke punkter som er toppunkter og hvilke som er bunnpunkter:

Når \(g'(x)\) er negativ før og positiv etter et punkt, betyr det at grafen til \(g\) har et bunnpunkt der. Dette skjer i både \(x = -1\) og \(x = 2\).

Når \(g'(x)\) er positiv før og negativ etter et punkt, betyr det at grafen til \(g\) har et toppunkt der. Dette skjer i \(x = 1\).

Vi regner ut \(y\)-koordinatene til disse punktene:

\[\begin{split} \begin{align*} g(-1) &= 3(-1)^4 - 8(-1)^3 - 6(-1)^2 + 24(-1) + 12 = 3 + 8 - 6 - 24 + 12 = -7 \\ \\ g(1) &= 3(1)^4 - 8(1)^3 - 6(1)^2 + 24(1) + 12 = 3 - 8 - 6 + 24 + 12 = 25 \\ \\ g(2) &= 3(2)^4 - 8(2)^3 - 6(2)^2 + 24(2) + 12 = 48 - 64 - 24 + 48 + 12 = 20 \end{align*} \end{split}\]

Dermed har grafen til \(g\) bunnpunkter i \((-1, -7)\) og \((2, 20)\), og et toppunkt i \((1, 25)\).

Oppgave 5#

a)

Grafen til en polynomfunksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.

Tegn en skisse av grafen til \(f'\).

b)

Grafen til en polynomfunksjon \(g\) er vist til høyre.

Tegn en skisse av grafen til \(g'\).

c)

Grafen til en polynomfunksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.

Tegn en skisse av grafen til \(h'\).

Oppgave 6#

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 1. \]

Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(f\).

Graf C.

Oppgave 7#

For en funksjon \(f\), er den deriverte \(f'\) gitt ved

\[ f'(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2. \]

Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(f\).

Graf C.

Oppgave 8#

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6. \]

Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(f'\).

Graf D.

Oppgave 9#

Grafen til \(f'\) vises til høyre.

Grafen til \(f\) går gjennom punktet \((0, 2)\).

Finn \(f(x)\).

\[ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + 2 \]

Oppgave 10#

Om en tredjegradsfunksjon \(f\) får du vite at

Grafen til \(f\) har et toppunkt i \((1, 4)\).
Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \((3, 0)\).
Grafen til \(f\) har en tangent i \((2, f(2))\) som stigningstall \(-4\).

Bestem \(f(x)\).

\[ f(x) = 2x^3 - 11x^2 + 16x - 3 \]