Oppgaver: Sinus, cosinus og tangens

Innhold

Oppgaver: Sinus, cosinus og tangens#

Oppgave 1#

I figuren til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

a)

Bestem \(\sin B\) og \(\cos B\).

\[ \sin B = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \quad \quad \quad \cos B = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \]

b)

Bestem \(\tan B\).

\[ \tan B = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \]

c)

Bestem \(\sin C\) og \(\cos C\).

\[ \sin C = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \quad \quad \quad \cos C = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \]

d)

Bestem \(\tan C\).

\[ \tan C = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \]

Oppgave 2#

I figuren til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

a)

Bestem \(BC\).

\[ BC = \sqrt{3}. \]

b)

Bestem \(\sin A\) og \(\cos A\).

\[ \sin A = \dfrac{1}{2} \quad \quad \quad \cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

c)

Bestem \(\tan A\).

\[ \tan A = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \]

d)

Bestem \(\sin C\) og \(\cos C\).

\[ \sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos C = \dfrac{1}{2} \]

e)

Bestem \(\tan C\).

\[ \tan C = \sqrt{3} \]

Oppgave 3#

I gif-en nedenfor viser vi hvordan man bruker CAS til å bestemme \(\sin v\), \(\cos v\) og \(\tan v\) for en vinkel \(v = 30\degree\) i en rettvinklet trekant. For å få gradertegn \(\degree\) må du:

Trykke på “option + o” på tastaturet på macOS.

Trykke på “Alt + o” på tasteturet på Windows.

En trekant \(\triangle ABC\) er vist til høyre.

a)

Regn ut \(\sin A\) og \(\cos A\) med CAS.

\[ \sin A = \dfrac{1}{4}\sqrt{2\left(5 - \sqrt{5}\right)} \and \cos B = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{5} + 1\right) \]

b)

Bruk trigonometri til å bestemme \(AC\).

\[ AC = 8 \]

c)

Bruk trigonometri til å bestemme \(BC\).

\[ BC = 2\sqrt{2(-\sqrt{5} + 5)} \]

Oppgave 4#

a)

Bruk CAS til å regne ut \(\sin 45^\circ\), \(\cos 45^\circ\) og \(\tan 45^\circ\).

Altså er

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \tan 45^\circ = 1 \]

b)

Bruk CAS til å regne ut \(\sin 60^\circ\), \(\cos 60^\circ\) og \(\tan 60^\circ\).

Altså er

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \quad \quad \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3} \]

Oppgave 5#

I denne oppgaven skal du bruke trigonometri og CAS til å bestemme ukjente sidelenger i rettvinklede trekanter.

a)

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bruk CAS til å bestemme \(AB\) og \(BC\).

Vi lar \(x = BC\). Da kan vi bruke sinus til å finne \(x\):

Dermed er \(BC = 10\).

b)

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bruk CAS til å bestemme \(AB\) og \(BC\).

Dermed er \(x = 2\).

c)

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bestem \(AB\) og \(BC\).

\[\begin{split} \begin{align*} AB &= 4\sqrt{2} \\ \\ BC &= 8 \end{align*} \end{split}\]

d)

I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant.

Bestem \(AB\) og \(BC\).

\[\begin{split} \begin{align*} AB &= 8 \\ \\ BC &\approx 9.44 \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 6#

I denne oppgaven skal du lære å utlede eksakte verdier for sinus og cosinus når vinklene er \(30^\circ\) og \(60^\circ\). Disse verdiene er viktige å huske utenat, men det er enklere å huske dem dersom du vet hvor de kommer fra.

En likesidet trekant \(\triangle ABC\) er vist i figuren til høyre.

a)

Bestem høyden \(h\) i trekanten.

\[ h = \sqrt{3}. \]

b)

Bruk trekanten til å bestemme en eksakt verdi for \(\sin 60^\circ\) og \(\cos 60^\circ\).

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \]

c)

Bruk trekanten til å bestemme en eksakt verdi for \(\sin 30^\circ\) og \(\cos 30^\circ\).

\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \quad \quad \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

d)

Vis at

\[ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 \]

for \(v = 30^\circ\) og \(v = 60^\circ\).

Oppgave 7#

I denne oppgaven skal du lære hvordan man kommer fram til sinus og cosinus når vinkelen er \(45^\circ\). Det er også viktig å kunne disse verdiene utenat. Igjen – det er enklest å huske dersom man vet hvordan man kommer fram til dem.

a)

Bestem sidelengdene \(AB\) og \(BC\).

\[ AB = BC = 1 \]

b)

Bruk trigonometri til å bestemme de eksakte verdiene for \(\sin 45\degree\) og \(\cos 45\degree\).

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]