Arealsetningen

Innhold

34. Arealsetningen#

Kunne bruke arealsetningen til arealberegninger for trekanter.
Kunne begrunne arealsetningen.

Fra geometri har du tidligere lært en måte å regne ut arealet av en trekant. Arealet \(T\) av en trekant med grunnlinje \(g\) og høyde \(h\) er

Arealet av en trekant#

Arealet av en trekant med grunnlinje \(g\) og høyde \(h\) er gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h. \]

Høyden \(h\) vil være den korteste avstanden fra linja som går gjennom linjestykke til grunnlinja \(g\) og hjørnet som ikke ligger på grunnlinja.

Underveisoppgave 1#

En trekant \(\triangle ABC\) er vist i figuren nedenfor. \(AB = 4\).

Bestem arealet av trekanten.

\[ T = 2. \]

Fra figuren, kan vi se at grunnlinja er \(g = AB = 4\) og høyden er \(h = 1\). Dermed blir arealet av trekanten

\[ T = \dfrac{g \cdot h}{2} = \dfrac{4 \cdot 1}{2} = 2. \]

Arealsetningen#

Arealsetningen lar oss regne ut arealet så lenge vi kjenner til to sidelenger og vinkelen som disse sidene spenner ut.

Arealsetningen#

Gitt en trekant \(\triangle ABC\), så er arealet \(T\) av trekanten gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \]

Vi lager oss en hjelpefigur som vist til høyre for en trekant \(\triangle ABC\). Med de stiplede linjene får vi rettvinklet trekant \(\triangle ADC\)

Grunnlinja i trekanten er \(AB\), og høyden er \(h\). Arealet av trekanten er derfor

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h. \]

Fra definisjonen av \(\sin A\), har vi at

\[ \sin A = \dfrac{h}{AC} \liff h = AC \cdot \sin A. \]

Setter vi dette inn i formelen for arealet, får vi

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. \]

Eksempel 2#

Figuren til høyre viser en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem arealet av trekanten.

Arealet til trekanten er gitt ved

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. \]

Vi har at \(\sin A = \sin 30\degree = \dfrac{1}{2}\). Siden \(AB = 3\) og \(AC = 4\), så får vi at arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 3. \]

Underveisoppgave 2#

En trekant \(\triangle ABC\) er vist i figuren til høyre.

Bestem arealet av trekanten.

\[ T = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}. \]

Arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A. \]

Vi har at \(\sin A = \sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Siden \(AB = 5\) og \(AC = 2\), så får vi at arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}. \]

Hittil har vi fokusert på arealsetningen ut ifra hjørne \(A\) i en trekant, men den fungerer like godt ut ifra hjørnene \(B\) og \(C\).

Arealsetningen: Generelt#

Gitt en trekant \(\triangle ABC\), så er arealet \(T\) av trekanten gitt ved

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A && (\mathrm{hjørne \, A})\\ \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B && (\mathrm{hjørne \, B})\\ \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C && (\mathrm{hjørne \, C}) \end{align*} \end{split}\]

Det er enklest å huske formelen for arealsetningen ved å tenke seg følgende oppskrift:

Velg et hjørne i trekanten.
Ta produktet av de to sidene som spenner ut vinkelen i hjørnet.
Gang med sinus til vinkelen i hjørnet.
Del med 2.

Eksempel 3#

Figuren til høyre viser en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem arealet til trekanten.

Vi tar produktet av de to sidene som spenner ut vinkelen i hjørnet \(B\). Siden \(AB = 4\) og \(BC = 2\), så får vi at arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin 60\degree = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

der vi har brukt at \(\sin 60\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Underveisoppgave 3#

I figuren til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

Bestem arealet av trekanten.

\[ T = \dfrac{15}{4} \]

Arealet av trekanten er

\[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 30\degree = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{4}. \]