Oppgaver: Generelle rasjonale funksjoner#
Oppgave 1#
Bestem nullpunktene til funksjonene.
Vi leter først etter nullpunktene til tellerpolynomet:
Til slutt vi må sjekke nullpunktene til nevnerpolynomet og ekskludere nullpunkter de har til felles:
Teller- og nevnerpolynomet har ingen felles nullpunkter som betyr at \(f\) har samme nullpunkter som tellerpolynomet. Dermed har vi at nullpunktene til \(f\) er
Tellerpolynomet og nevnerpolynomet er allerede nullpunktsfaktorisert, og vi kan se at de ikke har noen felles faktorer. Derfor holder det å bestemme nullpunktene til tellerpolynomet:
Dermed er nullpunktet til \(g\)
Tellerpolynomet er nullpunktsfaktorisert allerede, men vi må nullpunktsfaktorisere nevnerpolynomet for å sjekke om de to polynomeme har noen lineære faktorer til felles. Vi bruker konjugatsetningen på nevnerpolynomet:
Dermed kan vi skrive
Vi ser altså at \(x = 2\) er et bruddpunkt for \(h\) siden det er nullpunkt for både teller og nevner. Nå kan vi lete etter nullpunktene til \(h\) ved å undersøke når tellerpolynomet er null:
Dermed er nullpunktet til \(h\) gitt ved
Vi starter med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å sjekke om de har noen felles lineære faktorer. Vi bruker \(abc\)-formelen på tellerpolynomet:
Dermed kan vi nullpunktsfaktorisere tellerpolynomet som
Så nullpunktsfaktoriserer vi nevnerpolynomet med konjugatsetningen:
De har ingen lineær faktor til felles, så da holder det å bestemme nullpunktene til tellerpolynomet for å finne nullpunktene til \(p\). Disse fant vi med \(abc\)-formelen som ga oss
Oppgave 2#
Bestem likningene til de horisontale eller skrå asymptotene til funksjonene.
Vi utfører polynomdivisjon for å lese av kvotienten \(K(x)\) i divisjonen:
Vi kan se at kvotienten er \(K(x) = 2\) som betyr at likningen for den horisontale asymptoten er \(y = 2\).
Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten \(K(x)\) i divisjonen:
Fra divisjonen får vi at \(K(x) = 4\) som betyr at likningen for den horisontale asymptoten er \(y = 4\).
Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten \(K(x)\) i divisjonen:
Fra divisjonen får vi at \(K(x) = x - 4\) som betyr at likningen for den skrå asymptoten er \(y = x - 4\).
Tellergraden er lavere enn nevnergraden som betyr at telleren allerede er et restpolynom i divisjonen. Derfor vil kvotienten være \(K(x) = 0\) og vi får at likningen til den horisontale asymptoten er \(y = 0\).
Oppgave 3#
Bestem likningene til de vertikale asymptotene til hver av funksjonene (dersom de eksisterer).
Vi må starte med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å sjekke om de har noen felles faktorer. Med konjugatsetningen kan vi skrive:
og
Dermed har vi at
Vi kan se at telleren og nevner ikke har noen felles faktorer, som betyr at vi nå trygt kan finne de vertikale asymptotene ved å se på nullpunktene til nevneren:
som er likningene til de vertikale asymptotene til \(f\).
\(x = -3\) og \(x = 4\).
Vi starter med å nullpunktsfaktorisere tellerpolynomet for å se etter lineære faktorer som er felles:
Dermed får vi
Vi ser at tellerpolynomet og nevnerpolynomet ikke deler noen lineære faktorer, så vi kan bestemme de vertikale asymptotene ved å se på nullpunktene til nevnerpolynomet:
Dermed likningene til de vertikale asymptotene \(x = -3\) og \(x = 4\).
Vi starter med å se de lineære faktorene i teller- og nevnerpolynomet. Vi kan skrive om nevnerpolynomet med 1.kvadratsetning:
som betyr at \(f(x)\) kan skrives om til
Vi har eliminert alle felles lineære faktorer, og kan gå videre på se etter vertikale asymptoter ved å bestemme nullpunktene til nevnerpolynomet:
Dermed har \(f\) er en vertikal asymptote i \(x = -3\).
Ingen vertikale asymptoter.
Vi starter med å se om teller- og nevnerpolynomet har felles lineære faktorer og kvitter oss med dem. Vi skriver om tellerpolynomet med fullstendig kvadraters metode:
Dermed kan vi skrive \(p(x)\) som
Vi ser at selv om \(x = -1\) er et bruddpunkt for \(p\) siden det er nullpunktet til nevnerpolynomet, så vil det ikke være en vertikal asymptote fordi tellerpolynomet hadde én av den samme lineære faktoren. Dermed har \(p\) ingen vertikale asymptoter.
Oppgave 4#
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Nedenfor vises 4 figurer der én av dem viser grafen til \(f\).
Bestem hvilken graf som hører til \(f\).
Graf C.
Oppgave 5#
To rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) er gitt ved
Nedenfor viser 4 figurer der én av dem viser grafen til \(f\) og én av dem viser grafen til \(g\).
Bestem hvilken graf som tilhører \(f\).
Graf B.
Bestem hvilken graf som tilhører \(g\).
Graf C.
Oppgave 6#
To rasjonale funksjoner \(f\) og \(g\) er gitt ved
Nedenfor vises 4 figurer. Én av dem viser grafen til \(f\) og én av dem viser grafen til \(g\).
Bestem hvilken graf som tilhører \(f\).
Graf A.
Bestem hvilken graf som tilhører \(g\).
Graf C.
Oppgave 7#
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem nullpunktene til \(f\).
Vi starter med å se etter nullpunktene til tellerpolynomet:
Ingen av disse er også nullpunkter for nevnerpolynomet, så som betyr at nullpunktene til \(f\) er
Bestem likningen til den horisontale asymptoten til \(f\).
Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten \(K(x)\):
Dermed er \(K(x) = 1\) som betyr at likningen til den horisontale asymptoten er
Bestem likningene til \(f\) sine vertikale asymptoter, dersom de eksisterer.
Vi starter med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å eliminere felles faktorer. Fra a har vi at nullpunktene til tellerpolynomet er \(x = \pm 4\). Det betyr at vi kan skrive \(f(x)\) som
siden den ledende koeffisientene til tellerpolynomet var \(1\). Vi kan ikke eliminere noen lineære faktorer som betyr at vi kan gå rett på å bestemme nullpunktene til nevnerpolynomet for å bestemme likningene til \(f\) sine vertikale asymptoter:
som er likningene til de vertikale asymptotene til \(f\).
Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).
Lag en skisse av grafen til \(f\). Skissen skal inneholde:
Nullpunktene til \(f\).
Horisontale asymptoter.
Vertikale asymptoter.
Løs ulikheten \(f(x) \geq 0\).
Vi bruker fortegnslinja til \(f(x)\) som vi tegnet i d til å bestemme hvor \(f(x) \geq 0\):
Fra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi se at \(f(x) \geq 0\) når
Oppgave 8#
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem nullpunktene til \(f\).
Nullpunktene til \(f\) er gitt ved nullpunktene til tellerpolynomet så lenge nevnerpolynomet ikke også har samme nullpunkter. Nullpunktene til tellerpolynomet kan vi bestemme med \(abc\)-formelen som gir
Dermed er nullpunktene til tellerpolynomet
Nullpunktene til nevnerpolynomet er
Dermed er \(x = 2\) et felles nullpunkt for både teller- og nevnerpolynomet og dette kan derfor ikke være et nullpunkt for \(f\). Dermed har \(f\) kun ett nullpunkt i
Bestem likningene til asymptotene til \(f\) dersom de eksisterer.
Horisontal asymptote: \(y = 1\)
Vertikal asymptote: \(x = -3\)
For å bestemme eventuelle horisontale eller skrå asymptoter, utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten \(K(x)\):
Fra polynomdivisjonen finner vi at \(K(x) = 1\) som betyr at likningen til den horisontale asymptoten til \(f\) er
For å bestemme likningene til eventuelle vertikale asymptoter, faktoriserer vi teller- og nevnerpolynomet og eliminerer alle lineære faktorer som er felles. Vi har at
der vi forutsetter at \(x \neq 2\). For å bestemme de vertikale asymptotene til \(f\) ser vi på nullpunktene til nevnerpolynomet som gjenstår som gir:
Likningen til den vertikale asymptoten til \(f\) er derfor
Lag en skisse av grafen til \(f\). Skissen skal inneholde:
Nullpunkter
Horisontale/skrå asymptoter
Vertikale asymptoter
“Hull” i grafen til \(f\) (bruddpunkter).
Hint: Det kan være lurt å tegne et fortegnsskjema for \(f(x)\) først.
Vi har allerede sett at vi kan skrive \(f(x)\) som
så lenge \(x \neq 2\). I \(x = 2\) vil grafen til \(f\) ha et hull, men vil ellers oppføre som en lineær-over-lineær rasjonal funksjon slik som vi har uttrykt over. Vi kan tegne et fortegnsskjema for det forenklede uttrykket for \(f(x)\) og så må vi huske på at \(x = 2\) representerer et bruddpunkt.
Denne informasjonen om fortegnet til \(f(x)\) sammen med asymptotene \(y = 1\) og \(x = -3\) kan vi skissere grafen til \(f\) som følger:
Løs ulikheten \(f(x) \leq 0\).
For å løse ulikheten \(f(x) \leq 0\) bruker vi fortegnslinja til \(f(x)\) som vi tegnet i c:
Fra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi lese av at for det forenklede uttrykket er \(f(x) \leq 0\) når
Men så var \(x = 2\) et bruddpunkt for \(f\) og siden \(2 \in \langle -3, 6]\) så må vi ekskludere \(2\) fra løsningsmengden. Dermed er løsningen til ulikheten
Oppgave 9#
Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist til høyre.
Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\).
Grafen til en rasjonal funksjon \(g\) er vist til høyre.
Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(g(x)\).
Grafen til en rasjonal funksjon \(h\) er vist til høyre.
Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(h(x)\).
Oppgave 10#
I figuren til høyre vises grafen til funksjonen \(f\) gitt ved
Bestem nullpunktet og likningene til asymptotene til \(f\).
Nullpunkt: \(x = 2\).
Vertikal asymptote: \(x = -1\).
Horisontal asymptote: \(y = 1\).
Bruk grafen til \(f\) til å bestemme den horisontale asymptoten til \(f'\).
Tegn en fortegnslinje for \(f'(x)\).
Lag en skisse av grafen til \(f'\). Skissen skal inneholde (hvis de eksisterer):
Nullpunktene til \(f'\).
Vertikale asymptoter til \(f'\).
Horisontale asymptoter til \(f'\).
Ingen nullpunkter
Vertikal asymptote: \(x = -1\).
Horisontal asymptote: \(y = 0\) (\(x\)-aksen).
Oppgave 11#
I figuren til høyre vises grafen til funksjonen \(f\) gitt ved
Bestem nullpunktene og likningene til asymptotene til \(f\).
Nullpunkter: \(x = \pm 1\).
Vertikale asymptoter: \(x = \pm 2\).
Horisontal asymptote: \(y = -1\).
Bruk grafen til å bestemme nullpunktene til \(f'\).
Bruk grafen til \(f\) til å bestemme likningen til den horisontale asymptoten til \(f'\).
Tegn en fortegnslinje for \(f'(x)\).
Lag en skisse av grafen til \(f'\). Skissen skal inneholde:
Nullpunktene til \(f'\).
Vertikale asymptoter til \(f'\).
Horisontale asymptoter til \(f'\).
Nullpunkt: \(x = 0\).
Vertikale asymptoter: \(x = -2\) og \(x = 2\).
Horisontal asymptote: \(y = 0\).
Oppgave 12#
En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved
Nedenfor følger noen påstander.
Avgjør om påstanden er sann eller usann.
Hvis påstanden er usann, rett opp i påstanden så den blir sann.
Påstand:
Grafen til \(f\) har én vertikal asymptote så lengde \(m\) er et oddetall.
Påstanden er usann når \(m = 3\). Påstanden er sann for alle andre oddetall.
Påstand:
Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i to punkter for alle \(m \in \mathbb{N}\).
Påstanden er usann for \(m = 3\). Påstanden er sann for alle \(m \in \mathbb{N} \setminus \{3\}\).
Påstand:
Grafen til \(f\) har en skrå asymptote kun når \(m = 1\).
Påstanden er sann fordi det er kun når \(m = 1\) at tellerpolynomet er én grad høyere enn nevnerpolynomet.