Funksjoner (Del 1)

Oppgavene skal løses uten hjelpemidler.

Oppgave 1 (Vår 2023)

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 2x - 8. \]

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \(x\)-aksen?

Fasit

Grafen til \(f\) skjærer gjennom \(x\)-aksen i \(x = -2\) og \(x = 4\).

Vis løsningsforslag

Vi bruker \(abc\)-formelen til å bestemme når \(f(x) = 0\):

\[ x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 + 4\cdot 8}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} = 1\pm 3 \]

som betyr at

\[ x = 4 \or x = -2. \]

Dermed skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen i \(x = -2\) og \(x = 4\).

---

Oppgave 2 (Høst 2023)

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \]

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \(x\)-aksen?

Fasit

Grafen til \(f\) skjærer gjennom \(x\)-aksen i \(x = -1\), \(x = 2\) og \(x = -3\).

Vis løsningsforslag

Vi må bestemme hvilke \(x\) som medfører at \(f(x) = 0\). Først kan vi lete etter et heltallige nullpunkter \(x\) som deler konstantleddet i \(f(x)\). Kandidater for dette er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. \]

Vi tester ut verdiene systematisk til vi får \(f(x) = 0\):

\[\begin{align*} f(1) &= 1^3 + 2\cdot 1^2 - 5\cdot 1 - 6 = 1 + 2 - 5 - 6 = -8 \\ \\ f(-1) &= (-1)^3 + 2\cdot (-1)^2 - 5\cdot (-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \\ \end{align*}\]

dermed finner vi at \(f(-1) = 0\) som betyr at \((x + 1) | f(x)\), det vil si \((x + 1)\) er en faktor av \(f(x)\). Vi kan utføre polynomdivisjon for å faktorisere \(f(x)\):

Så må vi finne røttene til \((x^2 + x - 6)\) som vi gjør med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 + 4\cdot 6}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \]

som gir

\[ x = 2 \or x = -3. \]

Dermed skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen i \(x = -1\), \(x = 2\) og \(x = -3\).

---

Oppgave 3 (Høst 2023)

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4 \]

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).

Fasit

\[ y = -4x + 5. \]

Vis løsningsforslag

Strategi 1: Den deriverte

Tangenten går gjennom punktet \((1, f(1))\) som har \(y\)-koordinat:

\[ f(1) = 1^3 - 3\cdot 1^2 - 1 + 4 = 1 - 3 - 1 + 4 = 1. \]

Videre er stigningstallet til tangenten \(a = f'(1)\) som vi finner ved å derivere \(f(x)\):

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 1 \]

som gir

\[ a = f'(1) = 3\cdot 1^2 - 6\cdot 1 - 1 = 3 - 6 - 1 = -4. \]

Ved ettpunktsformelen finner vi likningen til tangenten:

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 1 &= -4(x - 1) \\ \\ y - 1 &= -4x + 4 \\ \\ y &= -4x + 5. \end{align*}\]

som er likningen for tangenten.

Strategi 2: Polynomdivisjon

Vi utfører polynomdivisjonen \(f(x) : (x - 1)^2\) og leser av resten i polynomdivisjonen som vil være uttrykket til tangenten:

Vi kan lese av at resten er \(-4x + 5\) som betyr at likningen til tangenten er

\[ y = -4x + 5. \]

---

Oppgave 4 (Høst 2023)

Funksjonen \(f\) og \(g\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2x - 8}{x + 2} \quad \quad \quad g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x - 3)(x + 3)} \]

Nedenfor vises seks grafer.

a

Hvilke av grafene nedenfor er grafen til \(f\)?

Fasit

Graf C.

Vis løsningsforslag

Vi kan skrive om \(f(x)\) til

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 4)}{x + 2} \]

som betyr at \(f\) har

• En horisontal asymptote \(y = 2\)

• En vertikal asymptote \(x = -2\)

• Et nullpunkt \(x = 4\)

Graf C er den eneste grafen som har en horisontal aysmptote \(y > 0\), en vertikal asymptote \(x < 0\) og et nullpunkt \(x > 0\). Dermed er graf C grafen til \(f\).

b

Hvilke av grafene nedenfor er grafen til \(g\)?

Fasit

Graf F.

Vis løsningsforslag

Vi kan bruke konjugatsetningen til å skrive om \(g(x)\) til

\[ g(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)} \]

Vi kan merke oss at \(g(x)\) har ingen felles faktorer i teller og nevner som betyr at

\[ g(x) = 0 \liff (x + 2)(x - 2) = 0 \liff x = -2 \or x = 2 \]

som betyr at \(g\) har to nullpunkter \(x = -2\) og \(x = 2\).

Siden teller og nevnerpolynomet til \(g\) har samme grad, og ledende koeffisient for begge polynomer er \(1\), må den horisontale asymptoten til \(g\) være \(y = 1\).

Til slutt har nevnerpolynomet i \(g(x)\) nullpunktene \(x = \pm 3\) som blir \(g\) sine vertikale asymptoter.

Det er bare graf F som passer med egenskapene til \(g\) fordi

1. Avstanden fra \(y\)-aksen til hvert nullpunkt er like stor. Dette er ikke tilfelle i graf D (som ikke har nullpunkter).

2. Avstanden fra \(y\)-aksen til hver vertikal asymptote er like stor. Dette er ikke tilfelle i graf E der avstanden til den éne asymptoten er større enn avstanden til den andre (fra \(y\)-aksen).

3. Den horisontale asymptoten er en konstant linje \(y = k\) der \(k > 0\). Dette stemmer ikke for graf D.

Graf A, B og C har alle sammen bare én vertikal asymptote og er automatisk eliminert fra lista over kandidater.

---

Oppgave 5 (Vår 2023)

Gitt likningen

\[ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + a)(x - b). \]

Bestem \(a\) og \(b\) slik at likningen blir en identitet.

Fasit

\[ (a = -6 \and b = -2) \or (a = 2 \and b = 6). \]

Vis løsningsforslag

Vi utfører polynomdivisjon for å få et andregradspolynom vi kan faktorisere:

Altså kan vi faktorisere tredjegradspolynomet som

\[ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x + 12) \]

Vi må bestemme røttene til andregradspolynomet for å bestemme \(a\) og \(b\).

\[ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 4\cdot 12}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} = 2 \pm 4 \]

som gir

\[ x = 6 \or x = -2. \]

Dette betyr at

\[ x^2 - 4x + 12 = (x + a)(x - b) = (x - 6)(x + 2) = (x + 2)(x - 6) \]

som betyr at likningen er en identitet hvis

\[ (a = -6 \and b = -2) \or (a = 2 \and b = 6). \]

---

Oppgave 6 (Vår 2023)

Nedenfor ser du grafen til en rasjonal funksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

\[ f(x) = \dfrac{3(x - 2)}{x - 1} = \dfrac{3x - 6}{x - 1} \]

Vis løsningsforslag

Grafen til \(f\) passer med en rasjonal funksjon der teller- og nevnerpolynomet er lineære polynomer. Da kan vi skrive \(f(x)\) på formen

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

der

• \(y = a\) er den horisontale asymptoten

• \(x = b\) er nullpunktet til \(f\)

• \(x = c\) er den vertikale asymptoten til \(f\)

Fra grafen til \(f\) kan vi lese av at

• den horisontale asymptoten er \(y = 3\).

• nullpunktet er \(x = 2\).

• den vertikale asymptoten er \(x = 1\).

Dermed er

\[ f(x) = \dfrac{3(x - 2)}{x - 1} = \dfrac{3x - 6}{x - 1} \]

---

Oppgave 7 (Vår 2024)

I figuren nedenfor vises grafen til en funksjon \(f\).

a

Bestem \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -2(x + 3)(x - 4) \]

Vis løsningsforslag

Vi skriver \(f(x)\) på nullpunktsform siden vi kan lese av begge nullpunktene til \(f\) som gir:

\[ f(x) = a(x + 3)(x - 4) \]

Siden grafen til \(f\) går gjennom \((0, 24)\), betyr det at

\[\begin{align*} f(0) &= 24 \\ \\ a(0 + 3)(0 - 4) &= 24 \\ \\ a\cdot 3 \cdot (-4) &= 24 \\ \\ -12a &= 24 \\ \\ a &= -2 \end{align*}\]

Dermed er \(f(x)\) gitt ved

\[ f(x) = -2(x + 3)(x - 4) \]

b

Løs ulikheten \(f(x) > 12\).

Fasit

\[ x \in \langle -2, 3 \rangle \]

Vis løsningsforslag

Ulikheten \(f(x) > 12\) er gitt ved

\[ -2(x + 3)(x - 4) > 12 \]

For å løse ulikheten, ganger vi ut venstresiden og samler alle ledd på én side så vi får

\[\begin{align*} -2(x + 3)(x - 4) &> 12 \\ \\ -2(x^2 - x - 12) &> 12 \\ \\ -2x^2 + 2x + 24 &> 12 \\ \\ -2x^2 + 2x + 12 &> 0 \\ \\ 2x^2 - 2x - 12 &< 0 \\ \\ x^2 - x - 6 &< 0 \\ \\ (x - 3)(x + 2) &< 0 \end{align*}\]

der vi har brukt at \((x - 3)(x + 2) = x^2 - x - 6\). Vi tegner et fortegnsskjema for \(g(x) = (x - 3)(x + 2)\) og leser av når \(g(x) < 0\). Løsningen vil være ekvivalent med løsningen av \(f(x) > 12\).

Fra fortegnslinja til \(g(x)\) har vi at

\[ g(x) < 0 \liff x \in \langle -2, 3 \rangle \liff f(x) > 12. \]

---

Oppgave 8 (Vår 2024)

Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det grønne fargelagte området.

Fasit

\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

Vis løsningsforslag

Vi kan skrive arealet av det grønne fargelagte området som

\[ \mathrm{areal} = a^2 - b^2 \]

ved å ta arealet av det store kvadratet med sidelenger \(a\) og trekke fra det lille hvite kvadratet med sidelengde \(b\).

Men vi kan også skrive arealet av det grønne fargelagte området direkte:

\[ \mathrm{areal} = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) = (a + b)(a - b) \]

Dermed er

\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]

---

Oppgave 9 (Vår 2024)

Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.

\[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)\cdot (x - 2) \]

Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført?

Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.

Vis løsningsforslag

Guri kan ha utført polynomdivisjonen:

eller hun kan ha utført polynomdivisjonen:

Fra begge divisjonene følger det at

\[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)\cdot (x - 2) \]

---

Oppgave 10 (Høst 2024)

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 1)(x + 3). \]

Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til \(f\).

Fasit

Bunnpunktet er \((-1, -4)\).

Vis løsningsforslag

Symmetrilinja til \(f\) kan vi bestemme ved gjennomsnittet av nullpunktene som gir

\[ x_0 = \dfrac{(-3) + 1}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1. \]

\(y\)-koordinaten til punktet finner vi derfor med \(f(-1)\) som gir

\[ f(-1) = (-1 - 1)\cdot (-1 + 3) = (-2)\cdot (2) = -4. \]

Altså er bunnpunktet \((-1, -4)\).

---

Oppgave 11 (Høst 2024)

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12 \]

Løs ulikheten \(f(x) < 0\) og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

Fasit

\[ x \in \langle \gets , -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle \]

Vis løsningsforslag

Vi må nullpunktsfaktorisere \(f(x)\) for å løse ulikheten. Først leter vi etter et heltallig nullpunkt ved å prøve ut verdier av \(x\) som deler konstantleddet i \(f(x)\). Kandidatene for dette er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 12\}. \]

Vi prøver oss fram systematisk frem til vi får \(f(x) = 0\):

\[ f(1) = 1^3 + 7\cdot 1^2 + 4\cdot 1 - 12 = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \]

Altså er \(x = 1\) et nullpunkt til \(f\) som betyr at \((x - 1) | f(x)\). Vi utfører polynomdivisjonen \(f(x) : (x - 1)\) for å faktorisere \(f(x)\) fullstendig:

Vi anvender \(abc\)-formelen på \(x^2 + 8x + 12\) for å finne de andre nullpunktene:

\[ x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4\cdot 12}}{2} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{-8 \pm 4}{2} = -4 \pm 2 \]

som gir

\[ x = -2 \or x = -6. \]

Altså kan vi skrive \(f(x)\) som

\[ f(x) = (x + 6)(x + 2)(x - 1). \]

For å løse en ulikheten \(f(x) < 0\) tegner vi et fortegnsskjema for \(f(x)\):

Vi kan lese av fra fortegnsslinja til \(f(x)\) at

\[ f(x) < 0 \liff x \in \langle \gets , -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle \]

Vi kan illustrere løsningen grafisk ved å lage en skisse av grafen til \(f\) og markere områdene der \(f(x) < 0\) med rødt.

---

Oppgave 12 (Høst 2022)

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist nedenfor.

Om andregradsfunksjonen \(f\) får du vite at

• Tangenten i punktet \((-2, 0)\) har likningen \(y = 9x + 18\)

• Tangenten i punktet \((8, -10)\) har likningen \(y = -11x + 78\)

Bestem \(f'(x)\).

Fasit

\[ f'(x) = -2x + 5. \]

Vis løsningsforslag

Siden \(f\) er en andregradsfunksjon, betyr det at \(f'\) er en lineær funksjon

\[ f'(x) = ax + b. \]

Vi vet også at stigningstallet til tangenter til grafen til \(f\) i \((x, f(x))\), har samme verdi som den momentane vekstfarten \(f'(x)\) i punktet. Likningen til tangenten i punktet \((-2, 0)\) er gitt ved \(y = 9x + 18\) som betyr at stigningstallet til tangenten er \(9\).

\[\begin{align*} f'(-2) &= 9 \\ \\ a\cdot (-2) + b &= 9 \\ \\ -2a + b &= 9 \end{align*}\]

Likningen til tangenten i punktet \((8, -10)\) er gitt ved \(y = -11x + 78\) som betyr at stigningstallet til tangenten er \(-11\). Da følger det at

\[\begin{align*} f'(8) &= -11 \\ \\ a\cdot 8 + b &= -11 \\ \\ 8a + b &= -11 \end{align*}\]

Siden den deriverte er en lineær funksjon, kan vi bestemme stigningstallet til \(f'(x)\) ved å bruke topunktsformelen fremfor å gå løs på likningssystemet. Da får vi:

\[ a = \dfrac{f'(8) - f'(-2)}{8 - (-2)} = \dfrac{-11 - 9}{10} = \dfrac{-20}{10} = -2. \]

Så setter vi inn verdien for \(a\) i én av likningene vi har funnet:

\[ 8 \cdot (-2) + b = -11 \liff -16 + b = -11 \liff b = 5. \]

Dermed er

\[ f'(x) = -2x + 5. \]

---

Oppgave 13 (Høst 2022)

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 4)(x - 2)(x + 4) \]

a

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(f\)?

Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Graf A

Vis løsningsforslag

Vi kan sjekke skjæringen med \(y\)-aksen for å se om vi kan eliminere graf \(C\):

\[ f(0) = (0 - 4)\cdot(0 - 2)\cdot(0 + 4) = (-4)\cdot(-2)\cdot(4) = 32. \]

Graf C skjærer \(y\)-aksen når \(y < 0\) som betyr at det ikke kan være grafen til \(f\).

Fra \(f(x)\) kan vi hente ut at

\[ f(x) = 0 \liff x = \pm 4 \or x = 2. \]

Det betyr at to av nullpunktene er symmetrisk fordelt om \(y\)-aksen, og at ett nullpunkt må ligge mellom to de som er symmetrisk fordelt. Vi kan se at graf B ikke oppfyller kravet siden det er et nullpunkt som ligger på oversiden av de to som ligger symmetrisk fordelt om \(y\)-aksen. Graf A derimot oppfyller kravet og er derfor grafen til \(f\).

b

Løs

\[ (x - 4)(x - 2)(x + 4) > 0 \]

Fasit

\[ x \in \langle -4, 2 \rangle \cup \langle 4, \to \rangle. \]

Vis løsningsforslag

Løsningen av ulikheten

\[ (x - 4)(x - 2)(x + 4) > 0 \liff f(x) > 0 \]

Dermed kan vi lese av fra graf A hvor \(f(x) > 0\). Dette kan vi observere er når

\[ x \in \langle -4, 2 \rangle \cup \langle 4, \to \rangle. \]

---

Oppgave 14 (Vår 2022)

Bestem \(r\) og \(s\) slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet

\[ 9x^2 - 30x + r = (3x - s)^2 \]

Fasit

\[ s = 5 \and r = 25. \]

Vis løsningsforslag

Vi ganger ut høyresiden:

\[ (3x - s)^2 = 9x^2 - 6sx + s^2 \]

Så setter vi de lik hverandre som gir:

\[\begin{align*} 9x^2 - 30x + r &= 9x^2 - 6sx + s^2 \\ \\ -30x + r &= -6sx + s^2 \end{align*}\]

Sammenligner vi koeffisientene til \(x\) og konstantleddene, får vi to likninger som må være oppfylt uavhengig av verdien til \(x\):

\[\begin{align*} -30 &= -6s \\ \\ r &= s^2 \end{align*}\]

Fra den første likningen får vi at \(s = 5\). Setter vi inn verdien til \(s\) i den andre likningen, får vi at

\[ r = 5^2 = 25. \]

Dermed er sammenhengen en identitet hvis

\[ s = 5 \and r = 25. \]

---

Oppgave 15 (Vår 2022)

a

Løs likningen

\[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

Vis fasit

\[ x = 2 \or x = -1. \]

Vis løsningsforslag

Vi bruker produktregelen som gir oss at

\[ (x - 2)\cdot (x + 1) = 0 \liff x - 2 = 0 \or x + 1 = 0 \]

som betyr at

\[ x = 2 \or x = -1. \]

b

Sett opp en ulikhet som har løsning \(x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle\).

Husk å begrunne svaret.

Vis fasit

\[ (x - 2)(x + 1) > 0. \]

Vis løsningsforslag

Vi kan tegne et fortegnsskjema for \(f(x) = (x - 2)(x + 1)\). Da får vi:

Fra fortegnslinja, kan vi lese av at vi kan få løsningen \(x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle\) med ulikheten \(f(x) > 0\). Dermed vil en ulikhet som har den oppgitt løsningen være

\[ (x - 2)(x + 1) > 0. \]

---

Oppgave 16

En fjerdegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^4 - x^2 - 2 \]

a

Bestem \(a\) og \(b\) slik at likningen nedenfor blir en identitet

\[ x^4 - x^2 - 2 = (x^2 - a)(x^2 - b) \]

Vis fasit

\[ (a = 2 \and b = -1) \or (a = -1 \and b = 2). \]

Vis løsningsforslag

Vi kan starte med å observere at hvis vi setter \(u = x^2\) så kan høyresiden skrives om til et andregradspolynom:

\[ x^4 - x^2 - 2 = u^2 - u - 2 \]

Dette polynomet kan vi bruke \(abc\)-formelen på for å finne røttene \(u\) til polynomet:

\[ u = \dfrac{1 \pm \sqrt{1^2 + 4\cdot 2}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2} \]

som gir

\[ u = 2 \or u = -1. \]

Dermed kan vi skrive om polynomet til

\[ u^2 - u - 2 = (u - 2)(u + 1) = (x^2 - 2)(x^2 + 1). \]

Altså er

\[ x^4 - x^2 - 2 = (x^2 - 2)(x^2 + 1) \]

som betyr at likningen er en identitet hvis

\[ a = 2 \and b = -1 \or a = -1 \and b = 2. \]

b

Bestem i hvilke punkter grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Vis fasit

\[ x = -\sqrt{2} \or x = \sqrt{2}. \]

c

Løs ulikheten \(f(x) > 0\).

Vis fasit

\[ x \in \left\langle -\sqrt{2}, \sqrt{2} \right\rangle. \]