Oppgaver: Standardform

Oppgave 1

Finn koeffisientene til funksjonsuttrykkene.

a)

Skjul oppgaven

\[ f(x) = -x^2 - 2x + 12. \]

Vis fasit

\[ a = -1 \and b = -2 \and c = 12 \]

b)

Skjul oppgaven

\[ g(x) = -x^2 + x + 2 \]

Vis fasit

\[ a = -1 \and b = 1 \and c = 2 \]

c)

Skjul oppgaven

\[ h(x) = x^2 + 5 \]

Vis fasit

\[ a = 1 \and b = 0 \and c = 5 \]

d)

Skjul oppgaven

\[ p(x) = 3x^2 + 4x \]

Vis fasit

\[ a = 3 \and b = 4 \and c = 0 \]

---

Oppgave 2

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^2 + 4x - 4. \]

a)

Skjul oppgaven

Regn ut \(f(-1)\)

Vis fasit

\[ f(-1) = -6 \]

Vis løsningsforslag

\[\begin{split} \begin{align*} f(\textcolor{red}{-1}) &= 2 \cdot (\textcolor{red}{-1})^2 + 4 \cdot (\textcolor{red}{-1}) - 4 \\ \\ &= 2 - 4 - 4 \\ \\ &= -6. \end{align*} \end{split}\]

b)

Skjul oppgaven

Regn ut \(f(0)\).

Hva forteller svaret om grafen til \(f\)?

c)

Skjul oppgaven

Regn ut \(f(1)\).

d)

Skjul oppgaven

Hvilken graf nedenfor viser grafen til \(f\)?

---

Oppgave 3

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren ovenfor.

a)

Skjul oppgaven

Bruk grafen til å finne \(f(0)\).

b)

Skjul oppgaven

Bruk grafen til å bestemme \(f(3)\).

c)

Skjul oppgaven

Bruk grafen til å finne \(f(1)\).

---

Oppgave 4

Grafen til en andregradsfunksjon \(f(x) = ax^2 + bx + c\) er vist i figuren ovenfor.

a)

Skjul oppgaven

Finn symmetrilinja til \(f\).

b)

Skjul oppgaven

Bestem \(a\).

c)

Skjul oppgaven

Finn \(c\).

d)

Skjul oppgaven

Bestem \(b\).

e)

Skjul oppgaven

Finn \(f(x)\).

---

Oppgave 5

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^2 + 4x - 5. \]

a)

Skjul oppgaven

I hvilket punkt skjærer grafen til \(f\) gjennom \(y\)-aksen?

b)

Skjul oppgaven

Finn symmetrilinja til grafen til \(f\).

c)

Skjul oppgaven

Bestem koordinatene til ekstremalpunktet til \(f\).

Avgjør om det er et toppunkt eller et bunnpunkt.

---

Oppgave 6

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -x^2 + 8x + 6 \]

a)

Skjul oppgaven

I hvilket punkt skjærer grafen til \(g\) gjennom \(y\)-aksen?

Vis fasit

\[ (0, 6) \]

b)

Skjul oppgaven

Bestem likningen til symmetrilinja til \(g\).

Vis fasit

\[ x = 4 \]

c)

Skjul oppgaven

Bestem koordinatene til ekstremalpunktet til \(g\).

Avgjør om det er et toppunkt eller et bunnpunkt.

Vis fasit

Toppunkt i \((4, 22)\).

---

Oppgave 7

a)

Skjul oppgaven

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.

Finn \(f(x)\).

Vis fasit

\[ f(x) = x^2 + 2x - 1. \]

Vis løsningsforslag

Ekstremalpunktet til grafen er i \((-1, -2)\). Går vi én enhet langs \(x\)-aksen, vil grafen være i \((0, -1)\) som betyr at \(y\)-verdien øker med \(1\). Derfor er \(a = 1\).

Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \(y = -1\) som betyr at \(c = -1\).

Symmetrilinja til grafen er \(x = -1\). Med formelen for symmetrilinja får vi:

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff -1 = -\dfrac{b}{2 \cdot 1} \]

Altså har vi

\[ -\dfrac{b}{2} = -1 \liff b = 2. \]

Dermed er

\[ f(x) = x^2 + 2x - 1. \]

b)

Skjul oppgaven

Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(g(x)\).

c)

Skjul oppgaven

Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.

Finn \(h(x)\).

d)

Skjul oppgaven

Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(p(x)\).

---

Oppgave 8

a)

Skjul oppgaven

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -x^2 + 4x + 3. \]

Lag en skisse av grafen til \(f\) og marker følgende egenskaper:

• Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

• Symmetrilinja

• Topp- eller bunnpunkt med koordinater

Vis fasit

Vis løsningsforslag

Koeffisientene til \(f(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 4 \and c = 3. \]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Konstantleddet er \(c = 3\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\).

Symmetrilinja

Symmetrilinja er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2. \]

Topp- eller bunnpunkt

Grafen til \(f\) er konkav siden \(a < 0\). Dermed har grafen et toppunkt. Toppunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 2\). Vi setter \(x = 2\) inn i \(f(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til toppunktet:

\[ f(2) = -1 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 3 = 7. \]

Dermed er toppunktet til \(f\) gitt ved \((2, 7)\).

b)

Skjul oppgaven

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = 2x^2 + 4x - 1 \]

Lag en skisse av grafen til \(g\) og marker følgende egenskaper:

• Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

• Symmetrilinja

• Topp- eller bunnpunkt med koordinater

Vis fasit

Vis løsningsforslag

Koeffisientene til \(g(x)\) er

\[ a = 2 \and b = 4 \and c = -1. \]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Konstantleddet er \(c = -1\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -1)\).

Symmetrilinja

Symmetrilinja er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 2} = -1. \]

Topp- eller bunnpunkt

Grafen til \(g\) er konveks siden \(a > 0\) . Dermed har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = -1\). Vi setter \(x = -1\) inn i \(g(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til bunnpunktet:

\[ g(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 1 = -3. \]

Dermed er bunnpunktet til \(g\) gitt ved \((-1, -3)\).

c)

Skjul oppgaven

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = x^2 - 4 \]

Lag en skisse av grafen til \(h\) og marker følgende egenskaper:

• Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

• Symmetrilinja

• Topp- eller bunnpunkt med koordinater

Vis fasit

Grafen har bunnpunkt i samme punkt som skjæringspunktet med \(y\)-aksen. Derfor markerer vi kun dette punktet i grafen. I tillegg er symmetrilinja \(x = 0\) som samsvarer med \(y\)-aksen.

Vis løsningsforslag

Koeffisientene til \(h(x)\) er

\[ a = 1 \and b = 0 \and c = -4. \]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Konstantleddet er \(c = -4\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -4)\).

Symmetrilinja

Symmetrilinja er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2 \cdot 1} = 0. \]

Topp- eller bunnpunkt

Grafen til \(h\) er konveks siden \(a > 0\). Dermed har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 0\). Vi setter \(x = 0\) inn i \(h(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til bunnpunktet:

\[ h(0) = 0^2 - 4 = -4. \]

Dermed er bunnpunktet til \(h\) gitt ved \((0, -4)\).

d)

Skjul oppgaven

En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved

\[ p(x) = -x^2 + 2x \]

Lag en skisse av grafen til \(p\) og marker følgende egenskaper:

• Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

• Symmetrilinja

• Topp- eller bunnpunkt med koordinater

Vis fasit

Vis løsningsforslag

Koeffisientene til \(p(x)\) er

\[ a = -1 \and b = 2 \and c = 0. \]

Skjæringspunktet med \(y\)-aksen

Konstantleddet er \(c = 0\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 0)\).

Symmetrilinja

Symmetrilinja er gitt ved

\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot (-1)} = 1. \]

Topp- eller bunnpunkt

Grafen til \(p\) er konkav siden \(a < 0\). Dermed har grafen et toppunkt. Toppunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 1\). Vi setter \(x = 1\) inn i \(p(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til toppunktet:

\[ p(1) = -1 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1. \]

Dermed er toppunktet til \(p\) gitt ved \((1, 1)\).

---

Oppgave 9

a)

Skjul oppgaven

I figuren til høyre vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).

Bestem \(f(x)\).

Vis fasit

\[ f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1. \]

Vis løsningsforslag

På standardform kan vi skrive funksjonsuttrykket som

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\) som betyr at \(c = 1\).

Symmetrilinja til grafen er gitt ved \(x = 2\). Da får vi at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2a} \liff b = -4a. \]

Det betyr at vi nå kan skrive \(f(x)\) som:

\[ f(x) = ax^2 - 4ax + 1. \]

Grafen til \(f\) går gjennom \((2, 3)\) som betyr at

\[ f(2) = 3 \]

\[ a \cdot 2^2 - 4a \cdot 2 + 1 = 3 \]

\[ 4a - 8a + 1 = 3 \]

\[ -4a = 2 \liff a = -\dfrac{1}{2}. \]

Altså er

\[ f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1. \]

b)

Skjul oppgaven

I figuren til høyre vises grafen til en andregradsfunksjon \(g\).

Bestem \(g(x)\).

Vis fasit

\[ g(x) = 2x^2 + 4x + 4 \]

Vis løsningsforslag

Funksjonsuttrykket til \(g\) kan skrives som

\[ g(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi har at grafen til \(g\) har symmetrilinje i \(x = -1\) som betyr at

\[ x = -\dfrac{b}{2a} \liff -1 = -\dfrac{b}{2a} \liff b = 2a \]

Siden punktet \((-2, 4)\) ligger på grafen til \(g\) vil også punktet \((0, 4)\) ligge på grafen til \(g\) siden begge punkter ligger symmetrisk om symmetrilinja (altså samme avstand fra symmetrilinja). Ergo er \(c = 4\).

Flytter vi oss én enhet langs \(x\)-aksen fra ekstremalpunktet \((-1, 2)\), havner grafen i \((0, 4)\) som betyr at \(g(x)\) øker med \(2\). Da er \(a = 2\). Siden \(b = 2a\) får vi da at

\[ b = 2 \cdot 2 = 4 \]

Altså er

\[ a = 2 \and b = 4 \and c = 4 \]

så da følger det at

\[ g(x) = 2x^2 + 4x + 4 \]

c)

Skjul oppgaven

I figuren til høyre vises grafen til en andregradsfunksjon \(h\).

Bestem \(h(x)\).

Vis fasit

\[ h(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]

Vis løsningsforslag

Funksjonsuttrykket kan skrives på formen

\[ h(x) = ax^2 + bx + c. \]

Siden punktene \((1, 4)\) og \((5, 4)\) har samme \(y\)-koordinat, vil symmetrilinja ligge midt mellom de punktene. Det kan vi regne ut ved å ta gjennomsnittet av \(x\)-koordinatene:

\[ x_0 = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \]

Da får vi at

\[ x_0 = -\dfrac{b}{2a} \liff 3 = -\dfrac{b}{2a} \]

Altså må

\[ b = -6a \]

Så langt kan vi skrive \(h(x)\) som

\[ h(x) = ax^2 - 6ax + c \]

Bunnpunktet til grafen ligger på \(x\)-aksen, med koordinatene \((3, 0)\) som betyr at

\[ h(3) = 0 \]

\[ a\cdot 3^2 - 6a \cdot 3 + c = 0 \]

\[ 9a - 18a + c = 0 \]

\[ c = 9a \]

Altså er funksjonsuttrykket

\[ h(x) = ax^2 - 6ax + 9a = a(x^2 - 6x + 9) = a(x - 3)^2 \]

Til slutt bruker vi ett av de andre punktene til å finne \(a\). Vi velger \((1, 4)\):

\[ h(1) = 4 \]

\[ a(1 - 3)^2 = 4 \]

\[ 4a = 4 \]

\[ a = 1 \]

Dermed er funksjonsuttrykket

\[ h(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]

d)

Skjul oppgaven

I figuren til høyre vises en andregradsfunksjon \(p\).

Bestem \(p(x)\).

Vis fasit

\[ p(x) = -2x^2 + 2x + 12 \]

Vis løsningsforslag

Funksjonsuttrykket kan skrives som

\[ p(x) = ax^2 + bx + c \]

Siden grafen til \(p\) går skjærer gjennom \(y\)-aksen i \((0, 12)\) er \(c = 12\).

Vi kan merke oss at grafen til \(p\) skjærer \(x\)-aksen i \((-2, 0)\) og \((3, 0)\). Symmetrilinja vil ligge midt mellom disse to punktene som vi kan finne ved å ta gjennomsnittet av \(x\)-koordinatene:

\[ x_0 = \dfrac{-2 + 3}{2} = \dfrac{1}{2} \]

Altså har vi at

\[ x_0 = -\dfrac{b}{2a} \liff \dfrac{1}{2} = -\dfrac{b}{2a} \]

som gir

\[ b = -a \]

Funksjonsuttrykket kan derfor skrives som

\[ p(x) = ax^2 - ax + 12 \]

Vi bruker ett av de nullpunktene til å finne \(a\). Vi velger \((3, 0)\):

\[ p(3) = 0 \]

\[ a \cdot 3^2 - a \cdot 3 + 12 = 0 \]

\[ 9a - 3a + 12 = 0 \]

\[ 6a = -12 \]

\[ a = -2 \]

Dermed er funksjonsuttrykket

\[ p(x) = -2x^2 + 2x + 12 \]