Oppgaver: Andregradslikninger

Innhold

Oppgaver: Andregradslikninger#

Oppgave 1#

a)

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren til høyre.

Bruk figuren til å løse likningen

\[ f(x) = 0 \]

\[ x = -3 \or x = 1 \]

b)

Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren til høyre.

Bruk figuren til å løse likningen:

\[ g(x) = 0 \]

\[ x = 1 \]

c)

Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren til høyre.

Bruk figuren til å løse likningen

\[ h(x) = 0 \]

\[ x = -2 \or x = 2 \]

d)

Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren til høyre.

Bruk figuren til å løse likningen:

\[ p(x) = 0 \]

\[ x = -4 \or x = 3 \]

Oppgave 2#

Nedenfor vises en gif som viser hvordan man løser likningen

\[ x^2 - 4x + 3 = -2x + 6 \]

Vi trykker på GeoGebra mode_intersect icon (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktet.

../../../_images/grafisk_l%C3%B8sning.gif

a)

Løs likningen nedenfor grafisk.

\[ 2x^2 + 2x - 12 = 0 \]

\[ x = -3 \or x = 2 \]

Vi skriver inn likningene for venstre og høyre side av likningen og bruker “skjæring mellom to objekt” GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor.

Vi ser at skjæringspunktene er $(-3, 0)$ og $(2, 0)$. Det er $x$-koordinatene som er løsningen av likningen, som betyr at løsningen er

\[ x = -3 \or x = 2 \]

b)

\[ 2x^2 - 4x = -2 \]

\[ x = 1 \]

Vi skriver inn likningene for venstre og høyre side av likningen og bruker “skjæring mellom to objekt” GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor.

Vi ser at det er ett skjæringspunkt mellom grafene gitt ved $(1, -2)$. Det er $x$-koordinaten som er løsningen av likningen, som betyr at løsningen er

\[ x = 1 \]

c)

Løs likningen nedenfor grafisk.

\[ x^2 + 2x - 2 = 4x + 6 \]

\[ x = -2 \or x = 4 \]

Vi skriver inn likningene for venstre og høyre side av likningen og bruker “skjæring mellom to objekt” GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor.

Vi ser at skjæringspunktene er $(-2, -2)$ og $(4, 22)$. Det er $x$-koordinatene som er løsningene av likningen, som betyr at løsningen er

\[ x = -2 \or x = 4 \]

d)

Løs likningen nedenfor grafisk.

\[ 4x^2 - 12x + 6 = -2x^2 + 5x - 1 \]

\[ x \approx 0.5 \or x \approx 2.33. \]

Vi skriver inn likningene for venstre og høyre side av likningen og bruker “skjæring mellom to objekt” GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor.

Vi ser at skjæringspunktene er $(0.5, 1)$ og $(2.33, -0.22)$. Det er $x$-koordinatene som er løsningene av likningen, som betyr at løsningen er

\[ x \approx 0.5 \or x \approx 2.33. \]

Her bruker vi $\approx$ fordi vi bare finner en tilnærmet verdi for $x$-koordinatene og ikke nødvendigvis den eksakte verdien.

Oppgave 3#

a)

Løs likningen

\[ x^2 - 4 = 0 \]

\[ x = \pm 2 \]

\[ x^2 - 4 = 0 \liff x^2 = 4 \liff x = \pm\sqrt{4} \]

som betyr at

\[ x = \pm 2 \]

b)

Løs likningen

\[ x^2 - 1 = 0 \]

\[ x = \pm 1 \]

\[ x^2 - 1 = 0 \liff x^2 = 1 \liff x = \pm \sqrt{1} \]

som betyr at

\[ x = \pm 1 \]

c)

Løs likningen

\[ x^2 - 16 = 0 \]

\[ x = \pm 4 \]

\[ x^2 - 16 = 0 \liff x^2 = 16 \liff x = \pm \sqrt{16} \]

som betyr at

\[ x = \pm 4 \]

d)

Løs likningen

\[ x^2 - 2 = 0 \]

\[ x = \pm \sqrt{2} \]

\[ x^2 - 2 = 0 \liff x^2 = 2 \liff x = \pm \sqrt{2} \]

Oppgave 4#

a)

Løs likningen

\[ x^2 - 5x = 0. \]

\[ x = 0 \or x = 5 \]

b)

Løs likningen

\[ x^2 + 2x = 0. \]

\[ x = 0 \or x = -2 \]

c)

Løs likningen

\[ x^2 - 10x = 0. \]

\[ x = 0 \or x = 10 \]

d)

Løs likningen

\[ -x^2 + x = 0. \]

\[ x = 0 \or x = 1 \]

Oppgave 5#

Løs likningene med $abc$-formelen.

a)

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

\[ x = 2 \or x = 3 \]

b)

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

\[ x = -1 \or x = 4 \]

c)

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

\[ x = -2 \or x = 3 \]

d)

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

\[ x = -1 \or x = 5 \]

Oppgave 6#

Løs likningene ved hjelp av $abc$-formelen.

a)

\[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \]

\[ x = \dfrac{1}{2} \or x = 2 \]

b)

\[ 3x^2 - 7x + 2 = 0 \]

\[ x \in \left\{\dfrac{1}{3}, 2\right\} \]

c)

\[ -x^2 + 9x + 12 = 0 \]

\[ x = \dfrac{-\sqrt{129} + 9}{2} \or x = \dfrac{\sqrt{129} + 9}{2} \]

d)

\[ \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 0 \]

\[ x = -\dfrac{1}{2} \or x = 2 \]

Oppgave 7#

Noen ganger jobber vi med andregradslikninger som vi må skrive om til formen $ax^2 + bx + c = 0$ før vi kan bruke $abc$-formelen.

Løs likningene med $abc$-formelen.

a)

\[ x^2 + x + 1 = x + 5 \]

\[ x = -2 \or x = 2 \]

b)

\[ x^2 + x - 3 = -2x + 1 \]

\[ x = -4 \or x = 1 \]

c)

\[ -x^2 + x + 3 = 3x - 1 \]

\[ x = -1 - \sqrt{5} \or x = -1 + \sqrt{5} \]

d)

\[ 2x^2 + 5x - 1 = -2x + 3 \]

\[ x = \dfrac{1}{2} \or x = -4. \]

Oppgave 8#

Løs likningene med CAS.

a)

\[ x^2 + 2x + 1 = 0. \]

b)

\[ x^2 - 3x + 2 = -x + 6 \]

c)

\[ -x^2 + 3x + 1 = 2x - 7 \]

c)

\[ -3x^2 + 4x + 6 = -3x + 10 \]

Oppgave 9#

a)

Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning.

Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor.

b)

Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning.

Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor.

c)

Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning.

Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor.

d)

Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning.

Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor.

Oppgave 10#

a)

Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen

\[ x^2 + 2x - 8 = 0. \]

for x in range(-10, 11):
    if x**2 + 2*x - 8 == 0:
        print(x)

b)

Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen

\[ x^2 + 2x - 3 = 0. \]

for x in range(-10, 11):
    if x**2 + 2*x - 3 == 0:
        print(x)

c)

Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen

\[ x^2 - x - 3 = -3x + 12 \]

for x in range(-10, 11):
    if x**2 - x - 3 == -3*x + 12:
        print(x)

d)

Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen

\[ -x^2 + 6x + 7 = x^2 - 4x - 5 \]

for x in range(-10, 11):
    if -x**2 + 6*x + 7 == x**2 - 4*x - 5:
        print(x)

Oppgave 11#

a)

Bestem $a$ og $b$ slik at likningen er en identitet.

\[ x^2 + 6x - 7 = (x - a)(x - b) \]

b)

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet.

\[ -x^2 - 7x - 12 = a(x - b)(x - c) \]

c)

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet.

\[ 2x^2 - 18 = a(x - b)(x - c) \]

d)

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet.

\[ -3x^2 + 12x = a(x - b)(x - c) \]

Oppgave 12#

a)

Bestem diskriminanten $D$ for likningen

\[ x^2 + 10x + 25 = 0 \]

og avgjør hvor mange løsninger likningen har.

b)

Bestem diskriminanten $D$ for likningen

\[ -x^2 + 3x + 8 = 0 \]

og avgjør hvor mange løsninger likningen har.

c)

Bestem diskriminanten $D$ for likningen

\[ 2x^2 - 3x + 5 = x + 7 \]

og avgjør hvor mange løsninger likningen har.

Oppgave 13#

a)

En andregradslikning er gitt ved

\[ x^2 + kx + 6 = 0. \]

Bestem $k$ slik at likningen har én løsning.

b)

En andregradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = kx^2 + kx - 2 \qder k \neq 0. \]

Bestem $k$ slik at grafen til $f$ skjærer $x$-aksen én gang.

c)

En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 2kx + k, \qder k \in \real \]

Bestem $k$ slik at $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.

Oppgave 14#

Vi går ut ifra en helt generell andregradslikning

\[ ax^2 + bx + c = 0. \]

a)

Vis ved regning at vi kan skrive om likningen til

\[ a(x - x_0)^2 + y_0 = 0 \]

og bestem $x_0$ og $y_0$ uttrykt ved $a$, $b$ og $c$.

b)

Forklar at løsningene av likningen er

\[ x = x_0 \pm \sqrt{-\frac{y_0}{a}}. \]

Bruk dette til å utlede $abc$-formelen.