36. Cosinussetningen

Læringsmål

• Kunne bruke cosinussetningen til å regne ut ukjente sider, eller ukjente cosinusverdier

• Kunne kombinere cosinussetningen, sinussetningen og arealsetningen til å bestemme omkrets og areal av sammensatte figurer.

Cosinussetningen er en generalisert versjon av Pytagoras’ setning som gjelder også når ingen av vinklene i en trekant er \(90\degree\).

Cosinussetningen

For en trekant \(\triangle ABC\) der

• \(a\) er den motstående siden til vinkel \(A\)

• \(b\) er den motstående siden til vinkel \(B\)

• \(c\) er den motstående siden til vinkel \(C\)

så gjelder

\[\begin{split} \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos A \\ \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2\cdot a \cdot c \cdot \cos B \\ \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2\cdot a \cdot b \cdot \cos C \end{align*} \end{split}\]

Vis forklaring

Vi tenker oss en trekant \(\triangle ABC\) med sider \(a\), \(b\) og \(c\) og en vinkel \(v\). I tillegg tegner vi oss en rettvinklet trekant \(\triangle ACD\) på utsiden av trekanten som har en vinkel \(u\). Vi kan tenke oss at de to trekantene til sammen lager en større rettvinklet trekant \(\triangle DBC\).

Bruker vi Pytagoras’ setning på \(\triangle DBC\) får vi at

\[ (x + c)^2 + y^2 = a^2 \]

Bruker vi Pytagoras’ setning på \(\triangle DAC\) får vi

\[ x^2 + y^2 = b^2 \liff y^2 = b^2 - x^2 \]

Setter vi inn uttrykket for \(y^2\) i det første uttrykket får vi at

\[ (x + c)^2 + (b^2 - x^2) = a^2 \]

Vi ganger ut parentesen og forenkler:

\[ x^2 + 2cx + c^2 + b^2 - x^2 = a^2 \]

\[ b^2 + c^2 + 2cx = a^2 \]

Vi må ha et uttrykk for \(x\) som er relatert til størrelsene til den faktiske trekanten. Vi kan merke oss at

\[ \cos u = \dfrac{x}{b} \liff x = b \cos u \]

Da kan vi skrive om likningen til

\[ b^2 + c^2 + 2\cdot b \cdot c \cdot \cos u = a^2 \]

Men vinkelen \(u\) er ikke en del av trekanten \(\triangle ABC\). Vi vet likevel at \(u = 180\degree - v\). Da kan vi bruke at

\[ \cos u = \cos (180 \degree - v) = -\cos v \]

Det betyr at vi kan skrive likningen om til

\[ b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos v = a^2 \]

Dette er cosinussetningen ut ifra vinkel \(v = A\). Samme resonnement må nødvendigvis gjelde for de andre vinklene også.

---

Eksempel 1

Trekanten \(\triangle ABC\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(BC\).

Skjul løsningsforslag

Vi lar \(x = BC\). Cosinussetningen gir oss da at

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \]

Vi setter inn de konkrete verdiene vi har som gir

\[ x^2 = 5^2 + 4^2 - 2\cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60\degree \]

Vi vet at \(\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\), så da får vi at

\[ x^2 = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 25 + 16 - 20 = 21 \]

Dermed blir

\[ x = \sqrt{21} \]

Vi kan ikke forenkle kvadratroten noe mer enn dette, så da er \(BC = \sqrt{21}\).

---

Eksempel 2

Gitt firkanten \(\square ABCD\) til høyre.

Bestem \(AD\).

Skjul løsningsforslag

Vi tegner en hjelpelinje for linjestykket \(BD\).

For å bestemme \(AD\) kan vi følge disse stegene:

1. Bestemme \(BD\) med cosinussetningen

2. Bestemme \(AD\) med cosinussetningen

Vi lar \(x = BD\). Fra cosinussetningen har vi da at

\[ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C \]

vi setter inn de konkrette konkrete verdiene vi har som gir:

\[ x^2 = \left(8 \sqrt{3}\right)^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \sqrt{3} \cdot 12 \cdot \cos 30\degree \]

Vi vet også at

\[ \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Vi setter inn og forenkler likningen så mye som mulig:

\[ x^2 = 8^2 \cdot 3 + 144 - 16 \sqrt{3} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ x^2 = 64 \cdot 3 + 144 - 16 \cdot 12 \cdot \dfrac{3}{2} \]

\[ x^2 = 192 + 144 - 16 \cdot 12 \cdot \dfrac{3}{2} \]

\[ x^2 = 192 + 144 - 16 \cdot 6 \cdot 3 \]

\[ x^2 = 192 + 144 - 288 = 48 \]

\[ x = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3} \]

Altså er \(BD = 4 \sqrt{3}\).

Nå kan vi gå videre til å bestemme \(AD\). Vi lar nå \(x = AD\). Vi bruker cosinussetningen igjen som gir

\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 60\degree \]

Vi setter inn de konkrete verdiene vi har og forenkler så mye som mulig:

\[ (4 \sqrt{3})^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2} \]

\[ 48 = 64 + x^2 - 8x \]

\[ x^2 - 8x + 16 = 0 \liff (x - 4)^2 = 0 \]

Altså må \(x = 4\) som betyr at

\[ AD = 4. \]