Oppgaver: Polynomlikninger

Oppgave 1

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6 \]

a)

Skjul oppgaven

Skriv ned alle mulige heltallsrøtter til \(f(x)\).

Vis fasit

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. \]

Vis løsningsforslag

De mulige heltallsrøttene til \(f\) er tall som deler konstantleddet \(-6\). Alle hele tall som deler \(-6\) er gitt ved

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. \]

b)

Skjul oppgaven

Ta utgangspunkt i listen fra a og finn én rot til \(f(x)\).

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere \(f(x)\).

Vis fasit

Én mulighet er \(x = 1\), som gir

\[ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) \]

Vis løsningsforslag

Horner-skjema

Vi bruker Horner-skjema med de mulige heltallsrøttene til vi får en rest lik \(0\). Vi starter med \(x = 1\):

Resten er lik \(0\) som betyr at \(x = 1\) er en rot. Kvotienten er \((x^2 + 5x + 6)\) som betyr at

\[ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) \]

Vanlig polynomdivisjon

Vi tester ut \(f(x)\) for de mulige heltallsrøttene til vi finner at \(f(x) = 0\). Vi har da at

\[ f(1) = 1^3 + 4 \cdot 1^2 + 1 - 6 = 0 \]

Altså er \(x = 1\) en rot i polynomet. Vi utfører polynomdivisjonen med \(f(x) : (x - 1)\) for å faktorisere \(f(x)\):

Altså finner vi at

\[ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) \]

c)

Skjul oppgaven

Finn resten av nullpunktene til \(f\).

Hvis nullpunktene er heltallige, sjekk at de også er en del av listen fra a.

Vis fasit

\[ x = -3 \or x = -2 \or x = 1 \]

Vis løsningsforslag

Vi bruker \(abc\)-formelen med andregradspolynomet for å finne de resterende røttene til \(f\):

\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \]

som gir

\[ x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{-5 \pm 1}{2} \]

som gir

\[ x = -2 \or x = -3. \]

Samtidig fant vi tidligere at \(x = 1\) også var en rot, så dermed har vi

\[ x = -3 \or x = -2 \or x = 1 \]

---

Oppgave 2

a)

Skjul oppgaven

Løs likningen

\[ x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0 \]

Vis fasit

\[ x = -2 \or x = -1 \or x = 2. \]

Vis løsningsforslag

Konstantleddet er \(-4\). Heltallene som tilfredsstiller likningen må dele konstantleddet som betyr at vi har kandidatene:

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 4 \]

Vi bruker er Horner-skjema for å prøve oss fram til vi får \(0\) i rest:

Resten er lik \(-6\) som betyr at \(x = 1\) ikke er en løsning. Vi prøver videre med \(x = -1\):

Nå ble resten lik \(0\) som betyr at \(x = -1\) er en rot i polynomet. Kvotienten i polynomdivisjonen er \((x^2 - 4)\) som betyr at

\[ x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x + 1)(x^2 - 4). \]

Andregradspolynomet kan vi faktorisere med konjugatsetningen:

\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). \]

Altså har vi at

\[ x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0 \]

Løsningene av likningen er derfor

\[ x = -2 \or x = -1 \or x = 2. \]

b)

Skjul oppgaven

Løs likningen

\[ x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = 0 \]

Vis fasit

\[ x = -3 \or x = 2 \]

Vis løsningsforslag

Konstantleddet i tredjegradspolynomet er \(-18\). Heltallene som kan løse likningene må dele \(-18\) som gir oss kandidatene

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18 \]

Vi bruker et Horner-skjema for å prøve oss fram til vi får \(0\) i rest. Vi starter med \(x = 1\):

Resten ble ikke lik \(0\), så \(x = 1\) er ikke en løsning. Vi prøver oss fram med \(x = -1\):

Resten ble ikke lik \(0\), så \(x = -1\) er ikke en løsning. Vi prøver oss fram med \(x = 2\):

Nå ble resten lik \(0\) som betyr at \(x = 2\) er en løsning. Kvotienten i polynomdivisjonen er \((x^2 + 6x + 9)\) som betyr at

\[ x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = (x - 2)(x^2 + 6x + 9) \]

Vi kan faktorisere andregradspolynomet med 1.kvadratsetning:

\[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]

Altså har vi at

\[ x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = (x - 2)(x + 3)^2 = 0 \]

som betyr at løsningene til likningen er

\[ x = -3 \or x = 2 \]

c)

Skjul oppgaven

Løs likningen

\[ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 \]

Vis fasit

\[ x = -1 \]

Vis løsningsforslag

Konstantleddet til polynomet er \(+1\). Heltallene som kan tilfredsstille likningen må dele konstantleddet som betyr at de eneste to heltallene som er mulige er

\[ x = \pm 1 \]

Vi bruker et Horner-skjema og prøver oss fram til vi får \(0\) i rest. Vi starter med \(x = 1\):

Vi fikk ikke \(0\) i rest, så \(x = 1\) er ikke en løsning. Vi prøver oss fram med \(x = -1\):

Nå ble resten lik \(0\) som betyr at \(x = -1\) er en løsning. Kvotienten i polynomdivisjonen er \((x^2 + 2x + 1)\) som betyr at

\[ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)(x^2 + 2x + 1) \]

Vi kan bruke 1.kvadratsetning for å faktorisere andregradspolynomet:

\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]

Altså har vi at

\[ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3 = 0 \]

Det betyr at den eneste løsningen til likningen er

\[ x = -1 \]

d)

Skjul oppgaven

Løs likningen

\[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 \]

Vis fasit

\[ x = -3 \or x = -2 \or x = 2 \]

Vis løsningsforslag

Konstantleddet til polynomet er \(-12\). Heltallene som løser likningen må dele konstantleddet som gir oss disse kandidatene:

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \]

Vi bruker et Horner-skjema til å prøve oss fram til vi får \(0\) i rest. Vi starter med \(x = 1\):

Vi fikk ikke \(0\) i rest, så \(x = 1\) er ikke en løsning. Vi prøver oss fram med \(x = -1\):

Fortsatt ikke \(0\) i rest, så \(x = -1\) er ikke en løsning. Vi prøver oss fram med \(x = 2\):

Nå fikk vi \(0\) i rest som betyr at \(x = 2\) er en løsning. Kvotienten i divisjonen kan vi lese av til å være \((x^2 + 5x + 6)\) som betyr at

\[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 1) (x^2 + 5x + 6) \]

Vi bruker \(abc\)-formelen til å finne røttene til andregradspolynomet:

\[ x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{-5 \pm 1}{2} \]

som gir

\[ x = -2 \or x = -3 \]

Altså er løsningene av likningen

\[ x = -3 \or x = -2 \or x = 2 \]

---

Oppgave 3

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12. \]

a)

Skjul oppgaven

Finn nullpunktene til \(f\).

Vis fasit

\[ x = -2 \or x = 2 \or x = 3 \]

b)

Skjul oppgaven

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).

Vis fasit

c)

Skjul oppgaven

Lag en skisse av grafen til \(f\). Marker nullpunktene.

Vis fasit

d)

Skjul oppgaven

Løs ulikheten \(f(x) \geq 0\).

Vis fasit

\[ x \in [-2, 2] \cup [3, \to \rangle \]

---

Oppgave 3

En tredjegradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = -2x^3 + 14x^2 - 14x - 30. \]

a)

Skjul oppgaven

Bestem alle røttene til \(f(x)\).

Vis fasit

\[ x = -1 \or x = 3 \or x = 5. \]

Vis løsningsforslag

Konstantleddet til \(f(x)\) er \(-30\). De mulige heltallige røttene til \(f(x)\) må dele konstantleddet som gir mulighetene:

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30 \]

Vi bruker et Horner-skjema og prøver oss fram til vi får \(0\) i rest:

Vi får ikke \(0\) i rest, så vi får videre til neste mulighet; vi prøver \(x = -1\):

Nå fikk vi \(0\) i rest som betyr at \(x = -1\) er en rot i \(f(x)\). Kvotienten kan vi lese av til å være \((-2x^2 + 16x - 30)\) som betyr at

\[ f(x) = (x + 1)(-2x^2 + 16x - 30) = -2(x + 1)(x^2 - 8x + 15) \]

Vi bruker nå \(abc\)-formelen på andregradspolynomet for å finne de resterende røttene:

\[ x = \dfrac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \dfrac{8 \pm 2}{2} \]

som gir

\[ x = 3 \or x = 5 \]

Altså er røttene til \(f(x)\) gitt ved

\[ x = -1 \or x = 3 \or x = 5 \]

b)

Skjul oppgaven

Løs ulikheten \(f(x) \leq 0\).

Vis fasit

\[ x \in [-1, 3] \cup [5\to\rangle \]

Vis løsningsforslag

Fra oppgave a fant vi at vi kan nullpunktsfaktorisere \(f(x)\) som

\[ f(x) = -2(x + 1)(x - 3)(x - 5) \]

Vi tegner et fortegnsskjema for å løse ulikheten \(f(x) \leq 0\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi lese av at \(f(x) \leq 0\) når

\[ x \in [-1, 3] \cup [5\to\rangle \]

---

Oppgave 4

a)

Skjul oppgaven

Løs tredjegradslikningen

\[ x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0. \]

Vis fasit

\[ x = -\sqrt{2} \or x = 1 \or x = \sqrt{2} \]

Vis løsningsforslag

Konstantleddet til polynomet er \(+2\). De mulige heltallene som løser likningen må dele konstantleddet som gir oss kandidatene

\[ x = \pm 1, \pm 2 \]

Vi prøver oss fram med et Horner-skjema til vi får \(0\) i rest. Vi starter med \(x = 1\):

Vi får \(0\) i rest. Fra Horner-skjemaet kan vi lese av at kvotienten i divisjonen er \((x^2 - 2)\). Det betyr at vi kan skrive

\[ x^3 - x^2 - 2x + 2 = (x - 1)(x^2 - 2) \]

Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved å finne de resterende røttene:

\[ x^2 - 2 = 0 \liff x^2 = 2 \liff x = \pm \sqrt{2} \]

Altså er løsningene til likningen

\[ x = -\sqrt{2} \or x = 1 \or x = \sqrt{2} \]

b)

Skjul oppgaven

Løs ulikheten

\[ x^3 - x^2 - 2x + 2 > 0. \]

Vis fasit

\[ x \in \left\langle -\sqrt{2}, 1 \right\rangle \cup \left\langle \sqrt{2}, \to \right\rangle \]

Vis løsningsforslag

Gitt det faktoriserte uttrykket fra oppgave a, er ulikheten vår ekvivalent med

\[ \left(x+\sqrt{2}\right)(x - 1)\left(x - \sqrt{2}\right) > 0 \]

Vi tegner et fortegnsskjema for uttrykket og kaller det for \(f(x)\):

Fra fortegnslinja til \(f(x)\) kan vi lese av at \(f(x) > 0\) når

\[ x \in \left\langle -\sqrt{2}, 1 \right\rangle \cup \left\langle \sqrt{2}, \to \right\rangle \]

---

Oppgave 5

En likning er gitt ved

\[ x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(ax^2 + bx + c). \]

a)

Skjul oppgaven

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen er en identitet.

Vis fasit

\[ a = 1 \and b = -1 \and c = -2. \]

Vis løsningsforslag

Vi utfører polynomdivisjon med \((x + 1)\) med et Horner-skjema. Da bruker vi at \(x = -1\):

Fra Horner-skjemaet kan vi umiddelbart hente ut at

\[ a = 1 \and b = -1 \and c = -2 \]

b)

Skjul oppgaven

Løs ulikheten

\[ x^3 - 3x - 2 < 0. \]

Vis fasit

\[ x \in \langle \gets, 2\rangle \setminus \{-1\}. \]

Vis løsningsforslag

Vi vet allerede at

\[ x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2) \]

Vi bruker \(abc\)-formelen for å faktorisere andregradspolynomet i lineære faktorer:

\[ x = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2} \]

som gir

\[ x = -1 \or x = 2 \]

Altså er

\[ x^3 - 3x - 2 = (x + 1) (x + 1) (x - 2) = (x + 1)^2 (x - 2) \]

Så tegner vi et fortegnsskjema for uttrykket og kaller uttrykket for \(f(x)\):

Vi kan se at \(f(x) \lt 0\) når

\[ x \in \langle \gets, 2\rangle \setminus \{-1\} \]

der vi har ekskludert \(x = -1\) siden \(f(-1) = 0\).

---

Oppgave 6

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \]

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \(x\)-aksen?

Vis fasit

\[ x = -3 \or x = -1 \or x = 2. \]

Vis løsningsforslag

De mulige heltallige røttene til \(f(x)\) er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. \]

Vi prøver oss fram til vi finner en rot:

Det funket ikke med \(x = 1\), så vi går videre:

Her fikk vi \(0\) i rest, så \(x = -1\) er en rot. Vi kan dermed faktorisere \(f(x)\) som

\[ f(x) = (x + 1)(x^2 + x - 6). \]

Vi bestemmer røttene til andregradspolynomet med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} \]

som gir

\[ x = 2 \or x = -3. \]

Altså skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen i punktene

\[ x = -3 \or x = -1 \or x = 2. \]

---

Oppgave 7

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = 2x^3 + x^2 - 18x - 9 \]

a)

Skjul oppgaven

Vis at divisjonen \(f(x) : (x - 3)\) går opp.

Vis løsningsforslag

b)

Skjul oppgaven

Gjør beregninger og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til \(f\).

Vis fasit

Graf B.

---

Oppgave 8

Gitt likningen

\[ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + a)(x - b) \]

Bestem \(a\) og \(b\) slik at likningen blir en identitet.

Vis fasit

\[ a = 2 \and b = 6 \or a = -6 \and b = -2 \]

Vis løsningsforslag

Vi utfører polynomdivisjonen

\[ (x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (x - 1) \]

for å bestemme andregradspolynomet i faktoriseringen:

Altså er

\[ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12). \]

Vi bestemmer røttene til andregradspolynomet med \(abc\)-formelen:

\[ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} \]

som gir løsningene

\[ x = 6 \or x = -2. \]

Altså vil vi kunne skrive

\[ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + 2)(x - 6). \]

Dermed må vi ha at

\[ a = 2 \and b = 6 \or a = -6 \and b = -2 \]

for at likningen skal bli en identitet.

---

Oppgave 9

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 18 \]

Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(f\).

Vis fasit

Graf B.

---

Oppgave 10

Bestem én mulighet for \(a\), \(b\), \(c\) og \(d\) slik at likningen nedenfor blir en identitet.

\[ x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30 = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) \]

Vis hint

Her må du bruke polynomdivisjon to ganger. Først for å omgjøre fjerdegradspolynomet til et produkt av en lineær faktor og et tredjegradspolynom. Deretter gjentar du med tredjegradspolynomet som vanlig.

Vis fasit

\[ x = -5 \or x = -2 \or x = 1 \or x = 3 \]