22. Den deriverte#
Kunne derivere polynomfunksjoner algebraisk.
Kunne bestemme likningen til tangenter til polynomfunksjoner.
Kan beskrive sammenhengen mellom grafen til \(f\) og grafen til \(f'\).
Den deriverte til en polynomfunksjon#
Når vi fant den deriverte \(f'\) til en andregradsfunksjon \(f\), så fant vi at den deriverte var en lineær funksjon. Sagt på en annen måte: vi får et førstegradspolynom \(f'(x)\) når vi finner den deriverte av et andregradspolynom \(f(x)\). Dette var ikke bare et sammentreff – generelt sett vil \(f'(x)\) være et polynom som har én grad lavere for et hvert polynom \(f(x)\).
Den deriverte til en polynomfunksjon#
Gitt et polynom \(f(x)\) av grad \(n\), vil den deriverte av polynomet \(f'(x)\) være et polynom av grad \(n - 1\).
I praksis kan vi finne den deriverte algebraisk ved å følge noen bestemte regneregler som gjelder for alle polynomer.
Derivasjonsregler for polynomer#
| Regel | Formel |
|---|---|
| $1$ | $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ |
| $2$ | $(a x^n)' = a (x^n)'$ |
| $3$ | $(ax^n + bx^m)' = (ax^n)' + (bx^m)'$ |
| $4$ | $C' = 0$ |
| $5$ | $(ax)' = a$ |
Eksempel 1#
Bestem den deriverte til
Underveisoppgave 1#
Bestem den deriverte til
Likningen til en tangent#
Hvis vi ser på en tangent til grafen til \(f\) i et punkt \((a, f(a))\), så vet vi to ting:
Tangenten går gjennom punktet \((a, f(a))\).
Stigningstallet til tangenten er lik \(f'(a)\).
Vi vet også at vi alltid kan skrive likningen til en linje som har stigningstall \(m\) som går gjennom et punkt \((x_0, y_0)\) på ettpunktsform:
Siden vi vet at stigningstallet er \(f'(a)\) så vet vi at \(m = f'(a)\). Siden linjen går gjennom punktet \((a, f(a))\), så vet vi at \(x_0 = a\) og \(y_0 = f(a)\). Dermed kan vi skrive likningen til tangenten som
Likningen til en tangent#
Likningen til en tangent til grafen til \(f\) i et punkt \((a, f(a))\) er gitt ved
Eksempel 2#
Funksjonen \(f\) er gitt ved
Bestem likningen til tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1, f(1))\).
Likningen til tangenten er gitt ved
Vi har at
Videre har vi at
som gir
Setter vi dette inn i likningen for tangenten, så får vi
Underveisoppgave 2#
En funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem likningen til tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((2, f(2))\).
Likningen til tangenten er
Vi har at
Videre har vi at
som gir
Setter vi dette inn i likningen for tangenten, så får vi
Sammenheng mellom \(f(x)\) og \(f'(x)\)#
Vi har allerede nevnt at grafen til den deriverte \(f'\) vil være en polynomfunksjon av én grad lavere enn \(f\). Men vi kan peke ut flere sammenhenger som er viktig å forstå for å anvende teorien i praksis.
Ekstremalpunkter til \(f\) og nullpunkter til \(f'\)#
La oss forestille oss at vi har en tredjegradsfunksjon \(f\). Da vil \(f'\) være en andregradsfunksjon. La oss tegne tangenter til grafen til \(f\) i ekstremalpunktene til \(f\). Da får vi tangenter som er horisontale og dermed har stigningstall \(0\). Dette vil derfor være punkter hvor \(f'(x) = 0\). Altså punkter hvor grafen til \(f'\) skjærer \(x\)-aksen. Se figuren nedenfor.
Men det finnes også polynomfunksjoner som har punkter hvor tangenten blir horisontal, men punktet er verken et toppunkt eller et bunnpunkt. I figuren nedenfor viser vi en femtegradsfunksjon \(f\) og dens deriverte \(f'\) som er en fjerdegradsfunksjon. Vi ser at grafen til \(f\) har to ekstremalpunkter, men det er et punkt hvor grafen til \(f\) ikke snur, men hvor tangenten likevel er horisontal. Dette punktet kaller vi i stedet for et terrassepunkt.
Sammenheng mellom \(f(x)\) og \(f'(x)\)#
La \(f\) være en polynomfunksjon. Da vil følgende sammenhenger mellom grafene til \(f\) og \(f'\) gjelde:
Punkter hvor grafen til \(f'\) skjærer \(x\)-aksen svarer til punkter på grafen til \(f\) hvor tangenter har stigningstall \(0\).
Punkter hvor \(f'(x) = 0\), svarer til punkter på grafen til \(f\) hvor tangenter har stigningstall \(0\).
Grafen til \(f\) stiger når \(f'(x) > 0\).
Grafen til \(f\) synker når \(f'(x) < 0\).
Eksempel 3#
En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved
Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).
Ekstremalpunktene til \(f\) finnes der \(f'(x) = 0\). Vi finner den deriverte først:
Så løser vi likningen \(f'(x) = 0\):
Vi bruker \(abc\)-formelen for å løse likningen:
som gir
Det betyr at \(f'(x)\) kan nullpunktsfaktoriseres som
Vi tegner et fortegnsskjema for \(f'(x)\) med dens faktorer:
Fortegnslinja til \(f'(x)\) er positiv før \(x = -3\) og negativ etter, som betyr at grafen til \(f\) stiger før \(x = -3\) og synker etter. Dermed har vi et toppunkt i \((-3, f(-3))\). Vi finner \(f(-3)\):
Dermed har vi et toppunkt i \((-3, 87)\).
Fortegnslinja til \(f'(x)\) er negativ før \(x = 2\) og positiv etter, som betyr at grafen til \(f\) synker før \(x = 2\) og stiger etter. Dermed har vi et bunnpunkt i \((2, f(2))\). Vi finner \(f(2)\):
Dermed har vi et bunnpunkt i \((2, -38)\).