Oppgaver: Polynomfunksjoner

Innhold

Oppgaver: Polynomfunksjoner#

Oppgave 1#

a)

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.

Finn \(f(x)\).

\[ f(x) = \dfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3) \]

b)

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\) er vist til høyre.

Bestem \(g(x)\).

\[ g(x) = -\dfrac{1}{4}(x - 3)^2(x + 2) \]

c)

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\) er vist til høyre.

Finn \(h(x)\).

\[ h(x) = -\dfrac{1}{2}(x + 2)(x + 3)(x - 1) \]

Oppgave 2#

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]

er vist i figuren til høyre.

a)

Sett opp en likningssystem for koeffisientene uttrykt ved \(f(x)\).

Du trenger fire likninger siden det er fire ukjente koeffisienter \(a\), \(b\), \(c\) og \(d\).
Én av likningene kan være \(f(-3) = -2\) siden grafen går gjennom punktet \((-3, -2)\).

\[ f(-3) = -2 \and f(-2) = 3 \and f(-1) = 2 \and f(0) = 1. \]

b)

Bruk CAS til å finne \(f(x)\).

\[ f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 1. \]

Vi skriver inn et generelt funksjonsuttrykk og likningene i CAS, og løser deretter likningssystemet:

som betyr at

\[ a = 1 \and b = 3 \and c = 1 \and d = 1. \]

Dermed er

\[ f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 1. \]

Oppgave 3#

a)

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(f(x)\).

\[ f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 2 \]

Vi finner fire punkter på grafen til \(f\) og setter opp et likningssystem for koeffisientene som vi løser med CAS:

Altså er

\[ a = 1 \and b = -5 \and c = 7 \and d = -2. \]

som gir at

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = x^3 - 5x^2 + 7x - 2. \]

b)

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.

Finn \(g(x)\).

\[ g(x) = -x^3 - x^2 + 5x + 6 \]

Vi finner fire punkter på grafen til \(g\) og setter opp et likningssystem for koeffisientene som vi løser med CAS:

c)

Grafen til en tredjegradsfunksjon \(h\) er vist i figuren til høyre.

Bestem \(h(x)\).

\[ h(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 2 \]

Vi finner fire punkter på grafen til \(h\) og setter opp et likningssystem for koeffisientene som vi løser med CAS:

Oppgave 4#

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = -(x + 1)(x - 1)(x - 2). \]

a)

Bestem nullpunktene til \(f\).

\[ f(x) = 0 \liff x = -1 \or x = 1 \or x = 2. \]

b)

Tegn en fortegnslinje for \(f(x)\) inkludert faktorene til \(f\).

c)

Lag en skisse av grafen til \(f\).

d)

Løs ulikheten

\[ f(x) > 0. \]

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 1, 2 \rangle. \]

Oppgave 5#

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x - 1)^2 (x + 3) \]

a)

Bestem nullpunktene til \(f\).

\[ f(x) = 0 \liff x = 1 \or x = -3. \]

b)

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\).

c)

Tegn en skisse av grafen til \(f\).

d)

Løs ulikheten

\[ f(x) > 0. \]

\[ x \in \langle -3, \to \rangle \setminus \{1\} \]

Oppgave 6#

En fjerdegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = (x + 1)^2(x - 2)(x - 3). \]

a)

Bestem nullpunktene til \(f\).

\[ f(x) = 0 \liff x = -1 \or x = 2 \or x = 3. \]

b)

Tegn et fortegnsskjema for \(f(x)\), inkludert faktorene i \(f(x)\).

c)

Tegn en skisse av grafen til \(f\).

d)

Løs ulikheten

\[ f(x) \leq 0. \]

\[ x \in [2, 3] \cup \{-1\} \]