Oppgavesamling: Rasjonale funksjoner

Innhold

26. Oppgavesamling: Rasjonale funksjoner#

Oppgave 1#

Grafen til en rasjonal funksjon $f$ er vist i figuren til høyre.

a)

Bestem et mulig uttrykk for $f(x)$.

\[ f(x) = \dfrac{-2x + 6}{x + 1} \]

b)

Løs ulikheten $f(x) < 0$.

\[ x \in \mathbb{R} \setminus [-1, 3] \]

c)

Løs ulikheten $f(x) \geq 2$.

\[ x \in \langle \gets, -1 \rangle \]

Oppgave 2#

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{-x + 2}{x - 1} \]

a)

Løs likningen $f(x) = 0$.

\[ x = 2. \]

b)

Bestem eventuelle vertikale asymptoter til grafen til $f$.

\[ x = 1. \]

c)

Bestem eventuelle horisontale eller skrå asymptoter til grafen til $f$.

-- $$ y = -1. $$

d)

Lag en skisse av grafen til $f$.

Oppgave 4#

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2x - 1}{3x + 4} \]

a)

Avgjør om $f$ har nullpunkter og bestem nullpunktene hvis de finnes.

\[ x = \dfrac{1}{2} \]

b)

Avgjør om $f$ har vertikale asymptoter og bestem likningene til asymptotene hvis de finnes.

\[ x = -\dfrac{4}{3} \]

c)

Avgjør om $f$ har horisontale asymptoter og bestem likningene til asymptotene hvis de finnes.

\[ y = \dfrac{2}{3} \]

d)

Lag en skisse av grafen til $f$.

Oppgave 5#

To rasjonale funksjoner $f$ og $g$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x + 2}{(x - 3)^2} \quad \text{og} \quad g(x) = \dfrac{(x + 2)^2}{x - 3} \]

Nedenfor vises fire grafer der én av dem er grafen til $f$ og én av dem er grafen til $g$.

a)

Avgjør hvilken figur som viser grafen til $f$.

Graf A.

b)

Avgjør hvilken figur som viser grafen til $g$.

Graf C.

Oppgave 6#

Tre rasjonale funksjoner $f$, $g$ og $h$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 + 4x - 5}{x^2 - 9} \quad\quad g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 9} \quad\quad h(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 1} \]

Avgjør hvilke av figurene nedenfor som viser grafene til $f$, $g$ og $h$.

Graf F viser $f$.
Graf A viser $g$.
Graf C viser $h$.

Oppgave 7#

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x + 2)(x - 4)} \]

a)

Bestem nullpunktene til $f$, dersom de finnes.

\[ x = 2. \]

b)

Bestem likningene til de vertikale asymptotene til $f$, dersom de finnes.

\[ x = 4. \]

c)

Bestem likningen til $f$ sin skrå eller horisontale asymptote, dersom den finnes.

\[ y = 1. \]

d)

Løs ulikheten $f(x) > 0$

\[ x \in \langle \gets, 2 \rangle \cup \langle 4, \to \rangle \setminus \{-2\} \]

e)

Lag en skisse av grafen til $f$.

Oppgave 8#

En rasjonal funksjon $g$ er gitt ved

\[ g(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x - 2} \]

a)

Bestem nullpunktene til $g$, dersom de finnes.

\[ x = -3. \]

b)

Bestem likningene til $g$ sine vertikale asymptoter, dersom de finnes.

\[ x = 2. \]

c)

Bestem likningen til en eventuell skrå eller horisontal asymptote til $g$.

\[ y = x + 8. \]

d)

Løs ulikheten $g(x) < 0$.

\[ x \in \langle \gets, 2 \rangle \setminus \{-3\} \]

e)

Lag en skisse av grafen til $g$.

Oppgave 9#

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^3 - 4x}{(x + 2)(x - 1)} \]

a)

Bestem nullpunktene til $f$, dersom de finnes.

\[ x = 0 \or x = 2. \]

b)

Bestem likningene til $f$ sine vertikale asymptoter, dersom de finnes.

\[ x = 1. \]

c)

Bestem likningen til en eventuell skrå eller horisontal asymptote til $f$.

\[ y = x - 1. \]

d)

Løs ulikheten $f(x) \geq 0$.

\[ x \in [0, 1 \rangle \cup [2, \to \rangle \]

e)

Lag en skisse av grafen til $f$.