Polynomlikninger

21. Polynomlikninger#

  • Kunne bestemme nullpunktene til et tredjegradspolynom.

  • Kunne løse tredjegradslikninger.

Vanligvis snakker vi om nullpunkter, men et annet begrep som er mye brukt når det kommer til polynomer er røtter.

Definisjon: Røtter#

Et nullpunkt til en polynomfunksjon kalles for en rot til polynomet. Samlingen av alle nullpunktene til et polynom kalles for røttene til polynomet.

Nullpunktene til et tredjegradspolynom#

For å bestemme nullpunktene, eller røttene, til et tredjegradspolynom, får vi bruk for følgende fremgangmåte:

  1. Liste opp alle mulige heltallsrøtter, og bestemme én rot \(r\).

  2. Utføre polynomdivisjon med \((x - r)\) for å få et andregradspolynom.

  3. Bestemme røttene til andregradspolynomet med \(abc\)-formelen eller faktorisering.

Tredjegradslikninger#

Setningen nedenfor forteller oss hvor vi skal starte når vi skal lete etter røttene til et tredjegradspolynom.

Setning: Heltallsrøtter for polynomer#

Et tredjegradspolynom

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]

der koeffisientene er hele tall, vil alle heltallsrøttene til \(f(x)\) være en faktor i konstantleddet \(d\).

Setningen over lar oss systematisk finne alle mulige heltallsrøtter for et tredjegradspolynom. Polynomet må ikke ha heltallsrøtter, men hvis det har det, kan vi garantere at det må være i listen over alle tall som kan være en faktor i konstantleddet \(d\).

Eksempel 1#

Et tredjegradspolynom \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8. \]

Bestem nullpunktene til \(f\).

Vi starter med å observere at \(d = -8\), så hvis \(f(x)\) har heltallsrøtter, så vil de være en faktor i \((-8)\). Dette gir mulighetene:

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \]

fordi \((-8)\) er delelig med alle disse tallene.

Vi prøver oss fram med et Horner-skjema. Vi starter med \(x = 1\):

Resten ble lik \(-9\), så \(x = 1\) er ikke en rot. Vi prøver oss fram med \(x = -1\):

Resten ble lik \(-3\), så heller ikke \(x = -1\) er en rot. Vi prøver oss fram med \(x = 2\):

Her ble resten lik \(0\) som betyr at \(x = 2\) er en rot i polynomet. Fra Horner-skjemaet kan vi lese av at kvotienten i polynomdivisjonen er \((x^2 + 4x + 4)\). Da følger det at

\[ x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = (x - 2)(x^2 + 4x + 4). \]

Vi kan faktorisere andregradspolynomet videre med 1.kvadratsetning:

\[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2. \]

Altså er

\[ f(x) = (x - 2)(x + 2)^2. \]

Altså er nullpunktene til \(f\) gitt ved

\[ x = -2 \or x = 2 \]

Vi kan også merke oss at begge disse nullpunktene er i lista over mulige heltallsrøtter som vi laget i starten, akkurat som vi forventet.

Underveisoppgave 1#

Et tredjegradspolynom \(f(x)\) er gitt ved

\[ f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10. \]
a)

Skriv ned alle mulige heltallsrøtter for \(f(x)\).

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \]

Konstantleddet til polynomet er \(-10\). Alle mulige heltallsrøtter vil være de heltallene som deler \(-10\). Dette er

\[ x = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \]
b)

Finn én av røttene til \(f(x)\).

\[ x = 1 \]

Vi bruker Horner-skjema og starter med \(x = 1\):

Resten ble lik \(0\) som betyr at \(x = 1\) er en rot i polynomet.

c)

Bestem alle røttene til \(f\).

\[ x = -5 \or x = -2 \or x = 1 \]

Vi regner ut dette Horner-skjema i oppgave b:

Kvotienten i divisjonen er \((x^2 + 7x + 10)\) som betyr at

\[ f(x) = (x - 1)(x^2 + 7x + 10). \]

Vi bruker \(abc\)-formelen for å finne røttene til andregradspolynomet:

\[ x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{-7 \pm 3}{2} \]

som gir

\[ x = -2 \or x = -5 \]

Altså er røttene til \(f(x)\) gitt ved

\[ x = -5 \or x = -2 \or x = 1 \]

Vi kan utvide setningen vår til å fungere mer generelt for alle rasjonale røtter:

Setning: Rasjonale røtter for polynomer#

For et tredjegradspolynom på formen

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]

så vil alle rasjonale røtter være på formen

\[ x = \dfrac{p}{q} \]

der \(p\) er en faktor i konstantleddet \(d\) og \(q\) er en faktor i den ledende koeffisienten \(a\).

La oss se på et eksempel der vi bruker setningen ovenfor til å lage en liste over alle mulige rasjonale røtter før vi leter etter røttene.

Eksempel 2#

En tredjegradsfunksjon er gitt ved

\[ f(x) = 6x^3 - 7x^2 - 8x + 5. \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Først lister vi opp alle mulige faktorer \(p\) i konstantleddet \(d = 5\). Dette vil være

\[ p \in \{\pm 1, \pm 5\} \]

Deretter lister vi opp alle mulige faktorer \(q\) i den ledende koeffisienten \(a = 6\). Dette vil være

\[ q \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\} \]

Alle mulige rasjonale løsninger \(x\) vil da være på formen \(x = \dfrac{p}{q}\), som gir oss mulighetene

\[ x \in \left\{\pm 1, \pm 5, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{5}{6}\right\} \]

Vi bruker et Horner-skjema for å finne én rot:

Det betyr at

\[ 6x^3 - 7x^2 - 8x + 5 = (x + 1)(6x^2 - 13x + 5). \]

Vi bruker så \(abc\)-formelen til å finne de resterende løsningene:

\[ x = \dfrac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5}}{2 \cdot 6} = \dfrac{13 \pm \sqrt{49}}{12} = \dfrac{13 \pm 7}{12} \]

som gir

\[ x = \dfrac{5}{3} \quad \lor \quad x = \dfrac{1}{2} \]

Dermed skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen når

\[ x = -1 \quad \lor \quad x = \dfrac{1}{2} \quad \lor \quad x = \dfrac{5}{3} \]

Vi kan spesielt merke oss at alle røttene var i lista over mulige kandidater for rasjonale røtter!