Oppgaver: Formler

Innhold

Oppgaver: Formler#

Oppgave 1#

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

La $S_n$ være antall prikker i figur $n$.

a)

Bestem verdien til $S_1$, $S_2$ og $S_3$ fra figurene.

\[ S_1 = 4 \qog S_2 = 8 \qog S_3 = 12 \]

b)

Bestem $S_4$.

\[ S_4 = 16 \]

c)

Bestem $S_n$.

\[ S_n = 4n \qder n \in \mathbb{N} \]

d)

Hvilken figur har $120$ sirkler?

Figur $30$ har $120$ sirkler siden $S_{30} = 4 \cdot 30 = 120$.

Oppgave 2#

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

La $S_n$ være antall prikker i figur $n$.

a)

Bestem verdien til $S_1$, $S_2$, $S_3$ og $S_4$ fra figurene.

\[ S_1 = 6 \qog S_2 = 10 \qog S_3 = 14 \qog S_4 = 18 \]

b)

Bestem $S_n$.

\[ S_n = 4n + 2 \qder n \in \mathbb{N} \]

c)

Hvilken figur har $82$ sirkler?

Figur $20$ har $82$ sirkler siden $S_{20} = 4 \cdot 20 + 2 = 82$.

Oppgave 3#

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

La $R_n$ være antall prikker i figur $n$.

../../../_images/figur_rektangul%C3%A6re.svg

a)

Bestem verdien til $R_5$.

\[ R_5 = 30 \]

b)

Bestem et uttrykk for $R_n$.

\[ R_n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

c)

La $T_n$ være antall prikker i figur $n$ som er blå.

Bestem en formel for $T_n$.

\[ T_n = \dfrac{R_n}{2} = \dfrac{n(n + 1)}{2} \qder n \in \mathbb{N} \]

Oppgave 4#

Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre.

La $K_n$ være antall kvadrater i figur $n$.

a)

Bestem $K_1$, $K_2$ og $K_3$.

\[ K_1 = 2 \and K_2 = 6 \and K_3 = 12 \]

b)

Bestem $K_4$.

\[ K_4 = 20 \]

c)

Bestem $K_n$.

\[ K_n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

Vi kan se et mønster i figurene som at

\[ K_1 = 2 \cdot 1 \and K_2 = 3 \cdot 2 \and K_3 = 4 \cdot 3 \]

Vi kan se at det er $n$ rader og $(n + 1)$ kolonner i figur $n$ ut ifra mønsteret, som betyr at formelen for $K_n$ er

\[ K_n = (n + 1) \cdot n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

Oppgave 5#

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

La $F_n$ være antall fargelagte firkanter i figur $n$.

a)

Bestem $F_1$, $F_2$ og $F_3$ fra figurene.

\[ F_1 = 2 \and F_2 = 12 \and F_3 = 30 \]

\[ F_1 = 1 \cdot 2 = 2 \and F_2 = 3 \cdot 4 = 12 \and F_3 = 5 \cdot 6 = 30 \]

b)

Bestem $F_4$.

\[ F_4 = 56 \]

\[ F_4 = 7 \cdot 8 = 56 \]

c)

Lag en formel $F_n$ for antall fargelagte firkanter i figur $n$.

\[ F_n = 2n\cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

Vi kan systematisere mønsteret i antall rader og kolonner:

Figur $n$	Antall rader	Antall kolonner	$F_n$
$1$	$2$	$1$	$2 \cdot 1$
$2$	$4$	$3$	$4 \cdot 3$
$3$	$6$	$5$	$6 \cdot 5$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n$	$2n$	$2n-1$	$2n \cdot (2n-1)$

Vi kan se at antall rader passer med partall $2n$ og antall kolonner passer med oddetallne $2n - 1$.

Dermed får vi formelen for $F_n$:

\[ F_n = 2n\cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

Oppgave 6#

Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre.

La $K_n$ være antall kvadrater i figur $n$.

a)

Bestem verdiene til $K_1$, $K_2$ og $K_3$ fra figurene.

\[ K_1 = 12 \and K_2 = 32 \and K_3 = 60 \]

b)

Bestem $K_4$.

\[ K_4 = 96 \]

c)

Bestem en formel for $K_n$.

\[ K_n = 4(n + 1)^2 - 4 \]

Oppgave 7#

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster.

Vi lar $K_n$ være antall fargelagte kvadrater i figur $n$.

a)

Bestem verdien til $K_1$, $K_2$ og $K_3$ fra figurene.

\[ K_1 = 4 \and K_2 = 9 \and K_3 = 16 \]

b)

Bestem $K_4$.

\[ K_4 = 25 \]

c)

Bestem en formel for $K_n$.

\[ K_n = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 \qder n \in \mathbb{N} \]

Oppgave 8#

Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre.

La $F_n$ være antall firkanter i figur $n$.

a)

Bestem $F_1$, $F_2$ og $F_3$ fra figurene.

\[ F_1 = 7 \qog F_2 = 17 \qog F_3 = 37 \]

b)

Bestem $F_4$.

\[ F_4 = 61 \]

c)

Bestem $F_n$.

\[ F_n = 3n^2 + 3n + 1 \qfor n \in \mathbb{N} \]

Oppgave 9#

Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter i samme mønster.

La $S_n$ være antall sirkler i figur $n$.

a)

Bestem $S_1$, $S_2$ og $S_3$ fra figurene.

\[ S_1 = 4 \and S_2 = 13 \and S_3 = 28 \]

b)

Bestem $S_4$.

\[ S_4 = 49 \]

c)

Bestem $S_n$.

\[ S_n = 3n^2 + 1 \qfor n \in \mathbb{N} \]

Oppgave 10#

En tallfølge $a_n$ er gitt ved

\[ 4, 7, 10, 13, \ldots \]

a)

Bestem det neste leddet i tallfølgen.

\[ 16 \]

b)

Bestem en formel for $a_n$.

\[ a_n = 3n + 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

c)

Hvilket ledd i tallfølgen har verdien $100$?

Leddet $n = 33$ har verdien $100$ siden $a_{33} = 3 \cdot 33 + 1 = 100$.

Oppgave 11#

a)

En tallfølge $a_n$ er gitt ved

\[ -1, 1, 3, 5, \ldots \]

Bestem en formel for $a_n$.

\[ a_n = 2n - 3 \qder n \in \mathbb{N} \]

b)

En tallfølge $b_n$ er gitt ved

\[ 6, 11, 16, 21, \ldots \]

Bestem en formel for $b_n$.

\[ b_n = 5n + 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

c)

En tallfølge $c_n$ er gitt ved

\[ 0, 3, 8, 15, \ldots \]

Bestem en formel for $c_n$.

\[ c_n = n^2 - 1 \qder n \in \mathbb{N} \]

Oppgave 12#

a)

En tallfølge $a_n$ er gitt ved

\[ 2, -4, 6, -8, 10, -12, \ldots \]

Bestem en formel for $a_n$.

\[ a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2n \qder n \in \mathbb{N} \]

b)

En tallfølge $b_n$ er gitt ved

\[ -1, 4, -9, 16, -25, \ldots \]

Bestem en formel for $b_n$.

\[ b_n = (-1)^n \cdot n^2 \qder n \in \mathbb{N} \]

c)

En tallfølge $c_n$ er gitt ved

\[ 1, -3, 5, -7, 9, -11, \ldots \]

Bestem en formel for $c_n$.

\[ c_n = (-1)^{n+1} \cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} \]

d)

En tallfølge $d_n$ er gitt ved

\[ 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots \]

Bestem en formel for $d_n$.

\[ d_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} \qder n \in \mathbb{N} \]