Oppgaver: Lineære-over-lineære rasjonale funksjoner

Oppgave 1

I den interaktive figuren nedenfor vises grafen til en rasjonal funksjon \(f\) gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} \]

a)

Skjul oppgaven

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at grafen til \(f\) har

1. En horisontal asymptote med likningen \(y = 3\)

2. En vertikal asymptote med likningen \(x = -1\)

3. Et nullpunkt i \(x = 2\).

Vis fasit

\[ a = 3 \and b = 2 \and c = -1 \]

b)

Skjul oppgaven

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at

1. Grafen til \(f\) har en horisontal asymptote med likningen \(y = -2\).

2. Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = -3\).

3. Grafen til \(f\) har en vertikal asymptote med likningen \(x = 4\).

Vis fasit

\[ a = -2 \and b = -3 \and c = 4 \]

---

Oppgave 2

Ta quizen!

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist nedenfor.

Hvilket alternativ viser \(f(x)\)?

\[ f(x) = \dfrac{x - 1}{x - 2} \]

\[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2} \]

\[ f(x) = \dfrac{-x + 1}{x - 2} \]

\[ f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2} \]

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist nedenfor.

Hvilket alterantiv viser \(f(x)\)?

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 3)}{x + 1} \]

\[ f(x) = \dfrac{3(x - 2)}{x + 1} \]

\[ f(x) = \dfrac{x - 3}{x - 2} \]

\[ f(x) = \dfrac{2(x + 1)}{x - 3} \]

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist nedenfor.

Hvilket alternativ viser \(f(x)\)?

\[ f(x) = \dfrac{-3(x + 1)}{x} \]

\[ f(x) = \dfrac{3(x + 1)}{x} \]

\[ f(x) = \dfrac{-3(x - 1)}{x} \]

\[ f(x) = \dfrac{-3(x + 1)}{x - 1} \]

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist nedenfor.

Hvilket alternativ viser \(f(x)\)?

\[ f(x) = \dfrac{2x}{x + 3} \]

\[ f(x) = \dfrac{2(x + 3)}{x} \]

\[ f(x) = \dfrac{2x}{x - 3} \]

\[ f(x) = \dfrac{(x + 3)}{2x} \]

---

Oppgave 3

a)

Skjul oppgaven

Grafen til \(f\) vises til høyre.

Bestem \(f(x)\).

Vis fasit

\[ f(x) = \dfrac{-(x - 1)}{x - 2} \]

b)

Skjul oppgaven

Grafen til \(g\) vises til høyre.

Bestem \(g(x)\).

Vis fasit

\[ g(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x - 3} \]

c)

Skjul oppgaven

Grafen til \(h\) vises til høyre.

Bestem \(h(x)\).

Vis fasit

\[ h(x) = \dfrac{-2(x + 1)}{x - 1} \]

d)

Skjul oppgaven

Grafen til \(p\) vises til høyre.

Bestem \(p(x)\).

Vis fasit

\[ p(x) = \dfrac{x - 3}{x + 2} \]

---

Oppgave 4

Ta quizen!

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser fortegnslinja til \(f(x)\)?

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) vises i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser fortegnslinja til \(f(x)\)?

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser fortegnslinja til \(f(x)\)?

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

Hvilket alternativ viser fortegnslinja til \(f(x)\)?

---

Oppgave 5

Grafen til en rasjonal funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.

Bruk grafen til å løse oppgavene nedenfor.

a)

Skjul oppgaven

Løs likningen \(f(x) = 0\).

Vis fasit

\[ x = 2 \]

b)

Skjul oppgaven

Løs ulikheten \(f(x) \gt 0\).

Vis fasit

\[ x\in \langle \gets, 1\rangle \cup \langle 2, \to \rangle \]

c)

Skjul oppgaven

Løs ulikheten \(f(x) \leq 2\).

Vis fasit

\[ x \in \langle \gets, 0] \cup \langle 1, \to \rangle \]

---

Oppgave 6

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \]

a)

Skjul oppgaven

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og \(x\)-aksen.

b)

Skjul oppgaven

Finn likningene til asymptotene til grafen til \(f\).

c)

Skjul oppgaven

Løs ulikheten

\[ f(x) \geq 0 \]

d)

Skjul oppgaven

Løs ulikheten

\[ f(x) \geq 2 \]

Oppgave 7

Finn nullpunktet og asymptotene til funksjonene. Tegn en skisse av grafen til hver funksjon.

a)

Skjul oppgaven

\[ f(x) = \dfrac{3x - 2}{x + 1} \]

b)

Skjul oppgaven

\[ g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 4} \]

c)

Skjul oppgaven

\[ h(x) = \dfrac{-4x + 3}{2x + 8} \]

d)

Skjul oppgaven

\[ p(x) = \dfrac{4x - 1}{x - 3} \]

Oppgave 8

a)

Skjul oppgaven

Om en rasjonal funksjon \(f\) får du vite at

• Grafen til \(f\) har asymptotene \(y = 2\) og \(x = -4\)

• Grafen til \(f\) har et nullpunkt i \(x = 1\)

Bestem et mulig uttrykk for \(f(x)\).

Vis fasit

\[ f(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x + 4} \]

b)

Skjul oppgaven

Om en rasjonal funksjon \(g\) får du vite at

• Grafen til \(g\) har en vertikal asymptote \(x = -2\)

• Grafen til \(g\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = 2\)

• Grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen i \(y = 6\)

Bestem et mulig uttrykk for \(g(x)\).

Vis fasit

\[ g(x) = \dfrac{-6(x - 2)}{x + 2} \]

c)

Skjul oppgaven

Om en rasjonal funksjon \(h\) får du vite at

• Grafen til \(f\) har en horisontal asymptote \(y = 4\)

• Grafen til \(h\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = -3\)

• Grafen til \(h\) har et bruddpunkt i \(x = 2\)

Bestem et mulig uttrykk for \(h(x)\).

Vis fasit

\[ h(x) = \dfrac{4x + 12}{x - 2} \]