Eksamen våren 2026

Innhold

Eksamen våren 2026#

Del 1 – 3 timer – Uten hjelpemidler#

Oppgave 1 (2 poeng)#

Løs ulikheten

\[ x^2 + 7x + 6 \leq 0. \]

\[ x \in [-6, -1]. \]

Vi starter med å nullpunktsfaktorisere uttrykket. Vi finner nullpunktene med $abc$-formelen:

\[\begin{split} x = \dfrac{- \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 6}}{2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} = \begin{cases} -1 \\ -6 \end{cases} \end{split}\]

Altså har vi at

\[ x^2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6). \]

Så tegner vi en fortegnslinje for uttrykket for å avgjøre hvor det er negativt:

Her kan vi se at $(x + 1)(x + 6) \leq 0$ når

\[ x \in [-6, -1]. \]

Oppgave 2 (4 poeng)#

Gitt likningssystemet

\[\begin{split} \begin{bmatrix} -x^2 + 4 = y \\ x - y = 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

a)

Løs likningsystemet ved regning.

\[ x = 2 \and y = 0 \or x = -3 \and y = -5. \]

Vi skriver om likningen 2 til

\[ x - y = 2 \liff y = x - 2 \]

Så setter vi inn dette for $y$ i likning 1 som gir

\[ -x^2 + 4 = \underbrace{x - 2}_{\displaystyle y} \]

som vi kan forenkle til

\[ 0 = x^2 + x - 6 \]

Vi løser likningen med $abc$-formelen:

\[\begin{split} x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} = \begin{cases} 2 \\ -3 \end{cases} \end{split}\]

Vi får $y$-koordinaten ved å sette inn $x$-verdien i likning $2$:

$x$	$y = x - 2$
$2$	$0$
$-3$	$-5$

Altså er løsningen av likningssystemet

\[ x = 2 \and y = 0 \or x = -3 \and y = -5. \]

b)

Løs likningssystemet grafisk.

\[ (x, y) = (2, 0) \or (x, y) = (-3, -5). \]

Vi kan tolke likning 1 som funksjonsuttrykket til

\[ f(x) = -x^2 + 4 \]

og likning 2 kan som

\[ g(x) = x - 2 \]

Løsningen av likningssystemet er da koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og grafen til $g$. Vi tegner grafene i et koordinatssystem og leser av skjæringspunktene:

Vi ser at grafene skjærer hverandre i punktene $(2, 0)$ og $(-3, 5)$. Det betyr at løsningene er

\[ (x, y) = (2, 0) \or (x, y) = (-3, -5). \]

Oppgave 3 (3 poeng)#

Løs likningen

\[ 2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = 0 \]

\[ x = 2 \or x = \frac{1}{2} \or x = -4. \]

Eventuelle heltallige nullpunkter vil være en faktor i konstantleddet. Det betyr at kandidatene våre er

\[ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\} \]

Vi tester ut $x = 2$:

Vi får $0$ i rest som betyr at $x = 2$ er et nullpunkt. Videre kan vi lese av fra Horner-skjemaet at

\[ 2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = (x - 2)(2x^2 + 7x - 4). \]

Vi bruker $abc$-formelen for å finne nullpunktene til $2x^2 + 7x - 4$:

\[\begin{split} x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} = \dfrac{-7 \pm 9}{4} = \begin{cases} \dfrac{1}{2} \\ \\ -4 \end{cases} \end{split}\]

Altså er løsningen av likningen gitt ved

\[ x = 2 \or x = \frac{1}{2} \or x = -4. \]

Oppgave 4 (2 poeng)#

Gitt likningen

\[ a(x + b)^2 = x^2 + 8x + c \]

Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen blir en identitet.

\[ a = 1 \and b = 4 \and c = 16 \]

Uttrykket på venstre side er skrevet på nullpunktsform og er et fullstendig kvadrat, mens uttrykket på høyre side er skrevet på standardform.

Den ledende koeffisienten må være lik i begge uttrykk som betyr at $a = 1$.

Symmetrilinja til grafen til uttrykket på høyre side er

\[ x_0 = -\dfrac{8}{2 \cdot 1} = -4 \]

Dette vil være $x$-koordinaten der uttrykket på venstre side skjærer $x$-aksen som forteller oss at

\[ b = -x_0 = 4. \]

Verdien til $c$ vil svare til hvor grafen skjærer $y$-aksen. Vi setter inn $x = 0$ på begge sider og regner ut:

\[ (0 + 4)^2 = 0^2 + 8\cdot 0 + c \]

som gir at

\[ c = 16. \]

Dermed er likningen en identitet dersom

\[ a = 1 \and b = 4 \and c = 16 \]

Oppgave 5 (2 poeng)#

Susanne arbeid med tallfølgen

\[ 1 \quad 3 \quad 7 \quad 13 \quad 21 \quad \ldots \]

Hun ser et mønster og skriver

\[\begin{split} \begin{align*} 0 \cdot 1 + 1 &= 1 \\ \\ 1 \cdot 2 + 1 &= 3 \\ \\ 2 \cdot 3 + 1 &= 7 \\ \\ 3 \cdot 4 + 1 &= 13 \end{align*} \end{split}\]

a)

Bestem tall nummer $8$ i tallfølgen.

\[ 57 \]

Vi bare bruker samme strategi som hun Susanne har regnet med. Vi fortsetter der hun slapp (fra tall nummer $5$):

\[\begin{split} \begin{align*} 4 \cdot 5 + 1 &= 21 \\ \\ 5 \cdot 6 + 1 &= 31 \\ \\ 6 \cdot 7 + 1 &= 43 \\ \\ 7 \cdot 8 + 1 &= 57 \end{align*} \end{split}\]

Altså er tall nummer $8$ i tallfølgen $57$.

b)

Sett opp en formel som Susanne kan bruke til å finne tall nummber $n$ i tallfølgen.

\[ a_n = (n - 1) \cdot n + 1 \]

Vi lar $a_n$ være tall nummer $n$ i tallfølgen. Vi kan generalisere utregningene som vist i tabellen nedenfor.

$n$	$a_n$
$1$	$0 \cdot 1 + 1$
$2$	$1 \cdot 2 + 1$
$3$	$2 \cdot 3 + 1$
$\vdots$	$\vdots$
$n$	$(n - 1) \cdot n + 1$

Altså finner vi at

\[ a_n = (n - 1) \cdot n + 1. \]

Oppgave 6 (1 poeng)#

Om en trekant $ABC$ får du vite at

vinkel $B$ er $90\degree$
tangens til vinkel $A$ er $1$

Lag en figur og forklar hvordan denne trekanten kan se ut.

Siden $\angle B = 90\degree$ så vet vi at trekant $ABC$ er rettvinklet. Siden $\tan A = 1$, må katetene være like lange og de andre vinklene er $45\degree$. Da kan vi sette katetene $AB$ og $BC$ lik $1$ for eksempel. Da vil $AC = \sqrt{2}$.

Oppgave 7 (5 poeng)#

a)

Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$ og at $\cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Trekanten er i utgangspunktet en likesidet trekant der alle sidelengder er $4$. Når den er delt i $2$, så får vi to rettvinklede trekanter som har hypotenus $4$ og en katet som er $2$. Den gjenstående kateten får vi fra Pytagoras’ setning:

\[ x^2 + 2^2 = 4^2 \]

\[ x^2 + 4 = 16 \]

\[ x^2 = 12 = 4 \cdot 3 \]

som gir

\[ x = 2 \sqrt{3} \]

Da får vi at

\[ \sin 30\degree = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \]

og

\[ \cos 30\degree = \dfrac{2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Gitt en ny trekant som vist i figuren nedenfor.

b)

Bestem arealet av den nye trekanten.

\[ 10 \sqrt{3} \]

Arealsetningen gir oss at arealet er

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10\sqrt{3} \cdot \sin 30\degree \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} \\ \\ &= 10\sqrt{3} \end{align*} \end{split}\]

c)

Bestem omkretsen av den nye trekanten.

\[ 18 + 10\sqrt{3} \]

Vi bruker cosinussetningen. Vi lar $x$ være den motstående siden til hjørnet med vinkel lik $30\degree$. Da får vi

\[ x^2 = 4^2 + (10\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 10\sqrt{3} \cdot \cos 30\degree \]

\[ x^2 = 16 + 100 \cdot 3 - 80 \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ x^2 = 16 + 300 - 40 \cdot 3 \]

\[ x^2 = 16 + 300 - 120 = 196 \]

Altså får vi at

\[ x = \sqrt{196} = 14 \]

Dermed er omkretsen av trekanten

\[ \mathcal{O} = 4 + 14 + 10\sqrt{3} = 18 + 10\sqrt{3}. \]

Oppgave 8 (4 poeng)#

En rasjonal funksjon $f$ har

ingen nullpunkt
to vertikale asymptoter

a)

Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$.

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

\[ f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \]

En rasjonal funksjon $f$ kan skrives som en brøk

\[ f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \]

der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomer. Dersom $f$ ikke har noen nullpunkt, vil $P(x)$ være et polynom som aldri er lik 0. Et mulig valgt for dette er

\[ P(x) = x^2 + 1 \]

Siden $f$ har to vertikale asymptoter, må $Q(x)$ ha to nullpunkter. En mulighet er

\[ Q(x) = (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 \]

Ergo er et mulig uttrykk for $f(x)$ gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \]

En rasjonal funksjon $g$ har horisontal asymptote $y = 2$. Grafen til $g$ skjærer ikke $y$-aksen.

b)

Bestem et mulig funksjonsuttrykk $g(x)$.

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

\[ g(x) = \dfrac{2x - 1}{x} \]

Vi har at $g(x)$ kan skrives på formen

\[ g(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \]

der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomer.

Siden grafen til $g$ ikke skjærer $y$-aksen, må den ha en vertikal asymptote i $x = 0$. Da kan vi velge $Q(x) = x$. Siden $g$ har en horisontal asymptote når $y = 2$, kan vi for eksempel velge at

\[ P(x) = 2x - 1 \]

Da får vi at

\[ g(x) = \dfrac{2x - 1}{x} \]

Når $|x|$ blir stor, så vil $g(x)$ nærme seg $2$ som gir en horisontal asymptote $y = 2$.

Oppgave 9 (3 poeng)#

Til høyre ser du grafen til en andregradsfunksjon $f$

Bunnpunktet har koordinater $(-1, -12.5)$
Den rette linjen er en tangent med stigningstall $5$

a)

Forklar at $f'(4) = 5$

$f'(4)$ gir stigningstallet til en tangent gjennom punktet $(4, f(4))$ på grafen til $f$. Her kan vi se at dette stigningstallet er

\[ a = \dfrac{5}{1} = 5 \]

Ergo må $f'(4) = 5$.

b)

Bestem $f'(x)$.

\[ f'(x) = x + 1 \]

Den deriverte kan skrives på formen

\[ f'(x) = a(x - x_0) \]

der $x = x_0$ er nullpunktet til $f'(x)$. Dette vil være $x_0 = -1$ siden grafen til $f$ har et bunnpunkt i dette punktet. Dermed vet vi at

\[ f'(x) = a(x + 1) \]

I tillegg vet vi at $f'(4) = 5$ som gir oss

\[ 5 = a(4 + 1) \liff a = 1 \]

Ergo er

\[ f'(x) = x + 1 \]

Del 2 - 2 timer - Med hjelpemidler#

Oppgave 1 (5 poeng)#

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på $x$ km/h, slipper bilen ut $U(x)$ gram $\mathrm{CO}_2$ per kilometer, der $U(x)$ er gitt ved

\[ U(x) = \dfrac{5400}{x} + 0.0074x^2 + 50, \quad 30 \lt x \lt 110. \]

a)

Hvor mange gram $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på $50$ km/h?

$176.5$ gram $\mathrm{CO}_2$ per kilometer.

Vi regner ut $U(50)$ med CAS:

Altså slipper bilen ut $176.5$ gram $\mathrm{CO}_2$ per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på $50$ km/h.

b)

Hvilken fart gir minst utslipp av $\mathrm{CO}_2$ per kilometer?

Hvor mange grafem $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?

Bilen slipper ut minst $\mathrm{CO}_2$ per kilometer når den kjører med en fart på omtrent $71$ km/h. Da slipper bilen ut omtrent $163.4$ gram $\mathrm{CO}_2$ per kilometer.

Grafen til $U$ er vist i figuren til høyre.

Vi løser $U'(x) = 0$ for å finne koordinatene koordinatene til bunnpunktet

Altså har grafen et bunnpunkt når $x \approx 71~\mathrm{km/h}$. Da slipper bilen ut omtrent $163.4$ gram $\mathrm{CO}_2$ per kilometer ved denne farten.

Fru hansen kjører med en fart på $90$ km/h i 20 minutter.

c)

Hvor mange gram $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut i løpet av disse 20 minuttene?

Ca. $5098$ gram $\mathrm{CO}_2$

Bilen slipper da ut $U(90)$ gram $\mathrm{CO}_2$ per kilometer. Bilen vil ha kjørt en strekning på $90 \cdot \dfrac{20}{60}$ kilometer i løpet av disse 20 minuttene. Vi regner ut med CAS:

Altså slipper bilen ut ca. $5098$ gram $\mathrm{CO}_2$ i løpet av disse 20 minuttene.

Oppgave 2 (5 poeng)#

Gitt figuren ovenfor.

a)

Bruk trigonometri til å bestemme lengden av sidekanten $AB$.

\[ AB = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \]

Vi bruker cosinussetningen med

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2\cdot AC \cdot BC \cdot \cos 105\degree \]

Vi regner ut med CAS:

Altså er sidekanten $AB$ gitt ved

\[ AB = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \]

b)

Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten $ABD$

\[ T_{ABD} = \dfrac{5 \sqrt{3} + 9}{12} \]

Vi har at

\[ \angle ACD + 45\degree + 60\degree = 180\degree \liff \angle ACD = 75\degree. \]

Arealet av trekant $ACD$ er gitt ved

\[ T_{ACD} = \dfrac{1}{2} AC \cdot CD \cdot \sin 75\degree \]

Vi bruker sinussetningen for å finne $CD$:

Arealet av trekant $ABC$ kan vi finne ved å bruke arealsetningen med utgangspunkt i vinkel $BCA$:

\[ T_{ABC} = \dfrac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin 105\degree \]

Arealet av hele trekanten er da

\[ T_{ABD} = T_{ACD} + T_{ABC} \]

Vi regner ut med CAS:

Altså er arealet av trekant $ABD$ gitt ved

\[ T_{ABD} = \dfrac{5 \sqrt{3} + 9}{12} \]

Oppgave 3 (6 poeng)#

Vipe er en kritisk truet fugleart i Norge.

I 2013 ble bestanden anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.

År	$2013$	$2022$
Vipebestand (par)	$9000$	$2500$

Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover.

Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.

La $x$ være antall år etter $2013$.

a)

Lag en modell $f$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser.

Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

\[ f(x) = -\dfrac{6500}{9}x + 9000. \]

Antall vipepar synker med 722 par hvert år ifølge modellen.

Tor vil lage en modell på formen

\[ f(x) = ax + b \]

Vi bestemmer $a$ og $b$ med CAS med å kreve at $f(0) = 9000$ og $f(9) = 2500$:

Altså blir modellen til Tor gitt ved

\[ f(x) = -\dfrac{6500}{9}x + 9000. \]

Modellen forteller oss at bestanden synker med omtrent 722 par hvert år.

b)

Lag en modell $g$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser.

Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

\[ g(x) = 9000 \cdot 0.87^x \]

Vipebestanden avtar med ca. $13~\%$ ifølge modellen.

Egil vil lage en modell på formen

\[ g(x) = a\cdot b^x \]

Her også krever vi at $g(0) = 9000$ og at $g(9) = 2500$. Vi bestemmer $a$ og $b$ med CAS:

Altså er modellen til Egil gitt ved

\[ g(x) = 9000 \cdot 0.87^x \]

Vekstfaktoren til den eksponentielle modellen er ca. $0.87$. Det forteller oss at bestanden av viper synker med omtrent $13~\%$ hvert år ifølge modellen.

Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til viper. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.

Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen $p$. Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen $q$.

Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

c)

Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen $q$.

Bestem $p(x)$ og $q(x)$.

\[ p(x) = 7000 \cdot 0.75^x \qog q(x) = 7000 \cdot 0.75^x + 2000 \]

Egil antar at modellen $q$ kan skrives som

\[ q(x) = a \cdot b^x + c \]

der $q(x)$ vil ha en horisontal asymptote $y = c$ når $x$ blir stor fordi vipebestanden skal stabilisere seg i fremtiden.

Sammenhengen mellom $p(x)$ og $q(x)$ vil være

\[ q(x) = p(x) + c \]

siden $p$ bare er en alminnelig eksponentiell modell som går gjennom punktene $(0, 7000)$ og $(9, 500)$. Den horisontale asymptoten til $q$ forteller oss at Egil antar at vipebestanden stabiliserer seg på $2000$ par. Derfor er $c = 2000$. Vi lager modellen $p$ ved å bestemme $a$ og $b$ med CAS:

Altså er modellen $p$ gitt ved

\[ p(x) = 7000 \cdot 0.75^x \]

Modellen $q$ er da gitt ved

\[ q(x) = 7000 \cdot 0.75^x + 2000 \]

Oppgave 4 (3 poeng)#

Kristian er kunstner. Han arbeider med et prosjekt der han skal lage en seriem med figurer ved å lime kuler på pinner.

Ovenfor ser du de fire første figurene i serien. For å lage figur 4 har Kristian brukt 7 pinner og 12 kuler.

Tenk deg at Kristian skal lage de 50 første figurene i denne serien.

Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler han vil trenge, og hvor mange pinner han vil trenge.

$41~650$ kuler og $2~500$ pinner

La $P_n$ være antall pinner i figur $n$ og la $K_n$ være antall kuler i figur $n$. Fra figurene kan vi lage oss en tabell for å oppdage et mønster:

$n$	$P_n$	$K_n$
$1$	$1$	$1 \cdot 0$
$2$	$3$	$2 \cdot 1$
$3$	$5$	$3 \cdot 2$
$4$	$7$	$4 \cdot 3$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n$	$2n - 1$	$n \cdot (n - 1)$

Altså er

\[ P_n = 2n - 1 \qog K_n = n \cdot (n - 1). \]

Vi lager nå et program som regner ut summen av $P_n$ og $K_n$ for de $50$ første figurene:

sum_pinner = 0
sum_kuler = 0

for n in range(1, 51):
    P = 2 * n - 1
    sum_pinner = sum_pinner + P
    
    K = n * (n - 1)
    sum_kuler = sum_kuler + K
    

print(f"{sum_pinner = }")
print(f"{sum_kuler = }")

som gir utskriften

sum_pinner = 2500
sum_kuler = 41650

Altså trenger Kristian $41~650$ kuler og $2~500$ pinner for å lage de 50 første figurene i serien.