Oppgaver: Arealsetningen

Innhold

Oppgaver: Arealsetningen#

Oppgave 1#

a)

Bestem arealet av trekanten.

\[ T = \dfrac{3}{2} \]

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin(30\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} \\ \\ &= \dfrac{3}{2} \end{align*} \end{split}\]

b)

Bestem arealet av trekanten.

\[ T = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \]

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin(45\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &= \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \end{align*} \end{split}\]

c)

Bestem arealet av trekanten.

\[ T = \dfrac{15\sqrt{3}}{4} \]

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin (60\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= \dfrac{15\sqrt{3}}{4} \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 2#

I figuren ovenfor vises en trekant \(\triangle ABC\).

a)

Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne \(A\).

b)

Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne \(B\).

c)

Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne \(C\).

Oppgave 3#

a)

I en trekant \(\triangle ABC\) er \(AB = 8\), \(AC = 6\) og \(\angle A = 30\degree\).

Bestem arealet av trekanten.

\[ 12 \]

\[ T = \dfrac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(30\degree) = 12. \]

b)

I en trekant \(\triangle ABC\) er \(AB = 5\), \(BC = 7\) og \(\angle B = 45\degree\).

Bestem arealet av trekanten.

\[ \dfrac{35\sqrt{2}}{4} \]

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin(45\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &= \dfrac{35\sqrt{2}}{4}. \end{align*} \end{split}\]

c)

I en trekant \(\triangle ABC\) er \(BC = 10\) og \(AC = 8\) og \(\angle C = 120\degree\).

Bestem arealet av trekanten.

\[ 20 \sqrt{3} \]

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin(\angle C) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= 20 \sqrt{3}. \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 4#

Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 3 \sqrt{2}\), \(AC = 8\) og \(\angle A = 45\degree\).

a)

Bestem arealet av trekanten.

\[ T_{\triangle ABC} = 12. \]

Arealet av trekanten er

\[\begin{split} \begin{align*} T_{\triangle ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin(45\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &= 12. \end{align*} \end{split}\]

Gitt en trekant \(PQR\) der \(PQ = 3 \sqrt{2}\), \(PR = 8\) og \(\angle P = 140\degree\).

b)

Avgjør hvilke av trekantene \(ABC\) og \(PQR\) som har størst areal.

Trekant \(ABC\) har størst areal.

Arealet av trekant \(PQR\) vil være gitt ved

\[ T_{\triangle PQR} = \dfrac{1}{2} PQ \cdot PR \cdot \sin \angle P \]

Siden \(PQ = AB\) og \(PR = AC\), så kan vi skrive arealet av trekant \(PQR\) som

\[ T_{\triangle PQR} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle P \]

Det som bestemme hvilken trekant som har størst areal, vil være sinusverdien. Vi har at

\[ \sin 140\degree = \sin (180\degree - 140\degree) = \sin 40\degree < \sin 45\degree. \]

Altså må trekant \(ABC\) ha størst areal.

Oppgave 5#

I figuren til høyre vises en skisse av en boligtomt.

Bestem arealet av tomten.

\[ \dfrac{175 + 75\sqrt{3}}{2}~\mathrm{m^2} \]

Vi trekker en diagonal \(BD\) slik at vi deler opp firkanten i to trekanter \(\triangle ABD\) og \(\triangle BCD\).

Trekanten \(\triangle ABD\) er en rettvinklet og likebeint trekant. Fra det kan vi hente ut at

De andre vinklene i trekanten er \(45 \degree\). Altså er \(\angle ABD = \angle BDA = 45\degree\).
Arealet blir bare \(\dfrac{1}{2} AB \cdot AD\).

Altså har vi at

\[ T_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50. \]

La oss nå fokusere på trekanten \(\triangle BCD\). Vi vet at

\[ \angle B = \angle ABD + \angle DBC \]

Vi trenger \(\angle DBC\) som vi kan finne ved å sette inn de andre kjente vinklene:

\[ 120 \degree = 45\degree + \angle DBC \liff \angle DBC = 75\degree. \]

Videre kan vi finne \(BD\) ved hjelp av Pytagoras’ setning:

\[ BD^2 = 10^2 + 10^2 = 200 \liff BD = 10 \sqrt{2}. \]

Nå kan vi bruke arealsetningen for å finne arealet av \(\triangle BCD\):

Altså kan vi skrive arealet til \(\triangle BCD\) som

\[ T_{\triangle BCD} = -\dfrac{1}{2}\left(-75\sqrt{3} - 75\right) = \dfrac{75\sqrt{3} + 75}{2}. \]

Det samlede arealet av tomten er da

\[\begin{split} \begin{align*} T_{ABCD} &= T_{\triangle ABD} + T_{\triangle BCD} \\ \\ &= 50 + \dfrac{75\sqrt{3} + 75}{2} \\ \\ &= \dfrac{100 + 75\sqrt{3} + 75}{2} \\ \\ &= \dfrac{175 + 75\sqrt{3}}{2} \end{align*} \end{split}\]

der arealet er i \(\mathrm{m^2}\) siden alle lengdene i figuren er i meter.

Oppgave 6#

Nedenfor vises en sirkel med radius \(2\). Punktet \(S\) er sentrum i sirkelen. Trekanten \(\triangle CAB\) er bygget opp av to mindre trekanter \(\triangle SAB\) og \(\triangle SBC\).

a)

Bestem arealet av \(\triangle SAB\).

\[ T_{\triangle SAB} = \sqrt{3} \]

Siden radius i sirkelen er \(2\), så vet vi at

\[ SA = SB = 2 \]

Da blir arealet av \(\triangle SAB\):

\[\begin{split} \begin{align*} T_{\triangle SAB} &= \dfrac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= \sqrt{3}. \end{align*} \end{split}\]

b)

Bestem arealet av \(\triangle CAB\).

\[ T_{\triangle CAB} = 2\sqrt{3} \]

Trekant \(\triangle CAB\) er samme høyde som \(\triangle SAB\), men dobbelt så stor grunnlinje siden \(CA = 2 \cdot SA\). Derfor vil arealet av trekanten være

\[ T_{\triangle CAB} = 2 \cdot T_{\triangle SAB} = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}. \]

Oppgave 7#

I figuren nedenfor vises en firkant \(ABCD\). I firkanten er \(\angle C = 150\degree\).

a)

Bestem en eksakt verdi for \(CD\).

\[ CD = \sqrt{3} \cdot a \]

Vi bruker Pytagoras’ setning på trekant \(\triangle ACD\):

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

\[ (2a)^2 = a^2 + CD^2 \]

\[ 4a^2 = a^2 + CD^2 \]

\[ CD^2 = 3a^2 \]

\[ CD = \sqrt{3} \cdot a. \]

b)

Bestem en eksakt verdi for arealet av firkanten.

\[ \dfrac{\sqrt{3} + 3}{2} \cdot a^2 \]

Vi kan regne ut arealet av \(\triangle ACD\) direkte siden vi kan tenke på \(AD\) som grunnlinje og \(CD\) som høyde:

\[ T_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3} \cdot a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2. \]

Så snur vi oss til trekant \(\triangle ABC\). Vinkelen i hjørne \(C\) er \(\angle C = 150\degree\). Siden trekant \(\triangle ACD\) er en rettvinklet trekant der den korteste kateten er halvparten av hypotenusen, så følger det at

\[ \angle ACD = 30 \degree \]

Så da kan vi bestemme \(\angle BCA\) i trekant \(\triangle ABC\) ved å bruke at

\[ \angle C = \angle ACD + \angle BCA \]

\[ 150 \degree = 30 \degree + \angle BCA \liff \angle BCA = 120\degree. \]

Nå har har vi nok informasjon til å bestemme arealet av \(\triangle ABC\):

\[\begin{split} \begin{align*} T_{\triangle ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCA) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= \dfrac{3}{2} \cdot a^2. \end{align*} \end{split}\]

Det samlede arealet av firkanten er da

\[\begin{split} \begin{align*} T_{ABCD} &= T_{\triangle ACD} + T_{\triangle ABC} \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 + \dfrac{3}{2} \cdot a^2 \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{3} + 3}{2} \cdot a^2. \end{align*} \end{split}\]

Oppgave 8#

I figuren til høyre vises en sirkel med radius \(2\). En sekskant der alle sidene er like lange er innskrevet i sirkelen.

a)

Bestem vinkelen \(v\).

\[ v = 60 \degree. \]

Vinkelen \(v\) er én av de 6 like store sentralvinklene i sirkelen. De seks vinklene må samme summeres til \(360\degree\) siden dette er antall grader i en sirkel. Dermed har vi:

\[ 6v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{6} = 60\degree. \]

b)

Bestem en eksakt verdi for arealet til sekskanten.

\[ T = 6 \sqrt{3}. \]

Arealet av én trekant \(T_1\) i sekskanten kan vi finne ved arealsetningen. Vi vet at sidelengdene som spenner ut vinkelen \(v\) er like radius i sirkelen som er lik \(2\). Dermed får vi:

\[ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60\degree = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. \]

Sekskanten består av 6 slike trekanter, så arealet av sekskanten blir

\[ T = 6 \cdot T_1 = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}. \]

Oppgave 9#

En 12-kant der alle sidene er like lange er innskrevet i en sirkel.

Arealet av 12-kanten er \(120\).

a)

Bestem vinkelen \(v\).

\[ v = 30 \degree. \]

Vinkelen \(v\) er én av de 12 like store sentralvinklene i sirkelen. De tolv vinklene må samme summeres til \(360\degree\) siden dette er antall grader i en sirkel. Dermed har vi:

\[ 12v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{12} = 30\degree. \]

b)

Bestem en eksakt verdi for diameteren til sirkelen.

\[ 4 \cdot \sqrt{10} \]

Vi vet at arealet av \(12\)-kanten er \(120\). Da vil én av de tolv trekantene har arealet

\[ T_1 = \dfrac{120}{12} = 10. \]

Videre vil arealsetningen gi oss at

\[ T_1 = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \sin(30\degree) = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{r^2}{4} \]

der \(r\) er radius i sirkelen. Vi setter de to uttrykkene lik hverandre som gir likningen

\[ \dfrac{r^2}{4} = 10 \liff r^2 = 40 \liff r = 2 \cdot \sqrt{10}. \]

Diameteren \(d\) i sirkelen er det dobbelte av radius, så vi har at

\[ d = 2r = 4 \cdot \sqrt{10}. \]

Oppgave 10#

3.00 108.00

                N = 3.00
            

En regulær \(N\)-kant innskrevet i en sirkel med radius \(1\) er vist i figuren til høyre, der du kan endre på verdien til \(N\).

a)

Bestem en funksjon \(T(N)\) for arealet til en slik \(N\)-kant.

\[ T(N) = \dfrac{N}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). \]

Sentralvinkelen \(v\) utgjør én av \(N\) like stor vinkler i sirkelen som tilsammen må summeres til \(360\degree\). Dermed har vi at

\[ N\cdot v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{N}. \]

Arealet \(T_1\) av én enkelt trekant vil da være

\[ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). \]

Vi har \(N\) slike trekanter i \(N\)-kanten får vi

\[ T(N) = N \cdot T_1 = N \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right) = \dfrac{N}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). \]

b)

Arkimedes levde ca. 250 år før vår tidsregning. Han beregnet arealet av innskrevet \(108\)-kant.

Bestem arealet Arkimedes fant.

\[ T(108) \approx 3.13982 \]

som gir oss en grei tilnærming til \(\pi\).