35. Sinussetningen

Læringsmål

• Kunne begrunne sinussetningen ut ifra arealsetningen.

• Kunne bruke sinussetningen ti lå finne ukjente sinusverdier eller ukjente sider i en trekant.

Sinussetningen gir oss en direkte sammenheng mellom sinus til en vinkel og lengden av den motstående siden i en trekant. Dette lar oss bestemme både ukjente sider og ukjente sinusverdier i en hvilken som helst trekant. Og det som er så greit, er at det bare er en konsekvens av arealsetningen.

Sinussetningen

For alle trekanter \(ABC\), så gjelder

\[ \boxed{\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c}} \]

Vis forklaring

Når vi jobbet med arealsetningen, fant vi at vi kunne skrive opp arealet ut ifra alle tre hjørnene i trekanten.

\[\begin{split} \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} bc \sin A \\ \\ T &= \dfrac{1}{2} ac \sin B \\ \\ T &= \dfrac{1}{2} ab \sin C \end{align*} \end{split}\]

De tre uttrykkene er jo lik det samme arealet, så da må de alle tre være lik hverandre:

\[ \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2} ac \sin B = \dfrac{1}{2} ab \sin C \]

Hvis vi ganger med \(2\) i hvert uttrykk, så får vi at

\[ bc \sin A = ac \sin B = ab \sin C \]

Hvis vi nå deler med \(abc\) i hvert uttrykk, så får vi at

\[ \dfrac{bc \sin A}{abc} = \dfrac{ac \sin B}{abc} = \dfrac{ab \sin C}{abc} \]

Deler vi bort alle faktorer som er felles, får vi et en ganske fin sammenheng:

\[ \dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c} \]

Vi ser at sinus til en vinkel delt på lengden av den motstående siden er den samme for alle tre hjørner. Dette kalles for sinussetningen.

---

Eksempel 1

Gitt trekanten \(\triangle ABC\).

Bestem \(BC\).

Skjul løsningsforslag

Vi kjenner til vinkelene i hjørne \(A\) og hjørne \(C\). Den motstående siden til vinkel \(A\) er \(BC\), og den motstående siden til vinkel \(C\) er \(AB\). Med sinussetningen kan vi da sette opp likningen

\[ \dfrac{\sin A}{BC} = \dfrac{\sin C}{AB} \]

Vi lar \(x = BC\). Da får vi at

\[ \dfrac{\sin 120\degree}{x} = \dfrac{\sin 45\degree}{4} \]

Vi har at \(\sin 120\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) og \(\sin 45\degree = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), så da får vi at

\[ \dfrac{\sqrt{3} / 2}{x} = \dfrac{\sqrt{2} / 2}{4} \]

\[ \dfrac{\sqrt{3}}{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \]

Har kan vi snu begge brøkene på hode slik at

\[ \dfrac{x}{\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} \]

Så ganger vi med \(\sqrt{3}\) på begge sider, og da får vi at

\[ x = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \]

Altså er \(BC = 2\sqrt{6}\).