31. Trekantgeometri#
Kunne bruke egenskapene til likesidete, likebeinte og rettvinklete trekanter til å bestemme ukjente sider og vinkler.
Kunne bruke Pytagoras’ setning til å finne ukjente sider i en rettvinklet trekant.
Kunne bruke formlikhet til å beregne ukjente sidelengder i trekanter.
Kunne undersøke om to trekanter er formlike.
En trekant er en geometrisk figur som består av tre hjørner og tre sidekanter. Her skal vi repetere noen viktige egenskaper ved trekanter som vi kommer til å få bruk for når vi skal jobbe med trigonometri. Trigonometri er en del av matematikken som gir en ny måte å bruke sammenhenger mellom vinkler og sider i trekanter på.
Vinkler#
En vinkel er mål på hvor mange grader det er i en vinkelbue mellom to rette linjer.
En vinkel kan deles inn i tre typer: Spiss, rett og stump.
Toppvinkler og samsvarende vinkler#
- Toppvinkler
Like vinkler på hver sin side av en linje som skjærer en annen linje.
- Samsvarende vinkler
Like vinkler som dannes ved at to parallelle linjer skjæres av en tredje linje.
Se figuren nedenfor.
Underveisoppgave 1#
Nedenfor vises en figur der en trekant er tegnet inn sammen med noen vinkler.
Bruk figuren til å vise at vinkelsummen i en trekant er \(180 \degree\).
Vinklene \(x\), \(y\) og \(z\) spenner ut en halvsirkel som betyr at \(x + y + z = 180 \degree\).
Fra figuren kan også observere at:
\(x\) og \(b\) er samsvarende vinkler, så \(x = b\).
\(y\) og \(c\) er toppvinkler, så \(y = c\).
\(z\) og \(a\) er samsvarende vinkler, så \(z = a\).
Men siden \(x + y + z = 180 \degree\), så betyr dette også at \(a + b + c = 180 \degree\). Dermed er vinkelsummen i en trekant \(180 \degree\).
Spesielle trekanter#
Vi skal starte med å se på to spesielle trekanter
Likesidet trekant: En trekant der alle sidene er like lange.
Likebeint trekant: En trekant der to av sidene er like lange.
Likesidete trekanter#
I en likesidet trekant er
Alle sidelengdene like store
Alle vinklene like store. Disse er \(60\degree\) hver.
Likebeinte trekanter#
I en likebeint trekant er
To av sidelengdene like store
To av vinklene like store
\(30\degree\)-\(60\degree\)-\(90\degree\) trekanter#
I en rettvinklet trekant med vinklene \(30\degree\), \(60\degree\) og \(90\degree\) med hypotenus lik \(2x\) er
den korteste kateten lik \(x\)
den lengste kateten lik \(\sqrt{3} \cdot x\)
Rettvinklede trekanter#
En rettvinklet trekant er en trekant der én av vinklene er \(90 \degree\). Pytagoras’ setning er en setning som forteller oss hvordan sidene i en rettvinklet trekant henger sammen.
Pytagoras’ setning#
For en rettvinklet trekant med hypotenus \(a\), og kateter \(b\) og \(c\) har vi at
Underveisoppgave 2#
Bestem sidelengden \(x\) i trekanten til høyre.
Formlikhet#
To trekanter er formlike dersom vi kan forminske, forstørre, rotere eller speile den ene trekanten slik at den passer nøyaktig på den andre trekanten. I praksis kan vi ikke gjøre dette når vi skal undersøke om to trekanter er formlike. Heldigvis kan vi undersøke om to trekanter er formlike ved å sjekke om de oppfyller ett av tre kriterier.
Formlike trekanter#
En trekant \(\triangle ABC\) og en trekant \(\triangle DEF\) er formlike dersom én av følgende betingelser er oppfylt:
- SSS (side-side-side):
Forholdet mellom sidene i \(\triangle ABC\) og de tilsvarende sidene i \(\triangle DEF\) er én konstant.
- SVS (side-vinkel-side):
Forholdet mellom to av sidene i \(\triangle ABC\) med de tilsvarende sidene i \(\triangle DEF\) er like, og vinkelen mellom disse sidene er lik i begge trekanter.
- VVV (vinkel-vinkel-vinkel):
Alle vinkler i \(\triangle ABC\) er like store som de tilsvarende vinklene i \(\triangle DEF\).
De tre betingelsene ovenfor er ekvivalente.
Hvis \(\triangle ABC\) og \(\triangle DEF\) er formlike, så skriver vi \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Fig. 31.1 viser to formlike trekanter \(\triangle ABC\) og \(\triangle DEF\). Her er \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\) og \(\angle C = \angle F\). De tilsvarende sidene i trekantene er \(AB\) og \(DE\), sidene \(BC\) og \(EF\), og sidene \(AC\) og \(DF\).#
Underveisoppgave 3#
Nedenfor vises to trekanter.
Forklar at \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Vi kan starte med å undersøke om VVV-kriteriet er oppfylt. I trekant \(\triangle ABC\) er vinklene
Fra den siste delen av påstanden kan vi regne ut at
Vi kan se at \(\angle E = 90 \degree\) og \(\angle F = 26.57 \degree\). Siden to av vinklene er like, betyr det automatisk at alle tre vinklene er like, så da er VVV-kriteriet er oppfylt. Dermed er
Bestem de ukjente sidelengdene i trekanten \(\triangle DEF\).
Vi vet nå at \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\). Dermed er forholdet mellom to tilsvarende sider en konstant. De tilsvarende sidene i trekanten er \(AB\) og \(DE\), sidene \(BC\) og \(EF\), og sidene \(AC\) og \(DF\). Vi kan dermed skrive
Fra \(\triangle ABC\) har vi at \(AC = \sqrt{5}\) og fra \(\triangle DEF\) har vi at \(DF = 2\sqrt{5}\). Dermed er
Dette betyr at alle sidene i \(\triangle DEF\) er \(2\) ganger så store som sidelengdene i \(\triangle ABC\). Dermed er