Oppgaver: Ikke-lineære likningssystemer

Oppgaver: Ikke-lineære likningssystemer#

Oppgave 1#

a)
2026-07-05T16:26:33.950132 image/svg+xml Matplotlib v3.11.0, https://matplotlib.org/

Bruk figuren til høyre til å løse likningssystemet

\[\begin{align*} x^2 - 2x + y &= 4\\ \\ -x + y &= 2 \end{align*}\]
\[ x = -1 \and y = 1 \or x = 2 \and y = 4. \]

Vi ser fra figuren at grafene til likningene skjærer hverandre i punktene \((-1, 1)\) og \((2, 4)\). Løsningen av likningssystemet er derfor

\[ x = -1 \and y = 1 \or x = 2 \and y = 4. \]
b)
2026-07-05T16:26:37.067138 image/svg+xml Matplotlib v3.11.0, https://matplotlib.org/

Bruk figuren til høyre til å løse likningssystemet

\[\begin{align*} x^2 + x - y &= 2\\ \\ -2x + y &= 4 \end{align*}\]
\[ x = -2 \and y = 0 \or x = 3 \and y = 10. \]

Grafene til likningene skjærer hverandre i punktene \((-2, 0)\) og \((3, 10)\). Løsniingen av likningssystemet er derfor

\[ x = -2 \and y = 0 \or x = 3 \and y = 10. \]
c)
2026-07-05T16:26:38.283373 image/svg+xml Matplotlib v3.11.0, https://matplotlib.org/

Bruk figuren til høyre til å løse likningssystemet

\[\begin{align*} x^2 + 2x - y - 1 &= 0\\ \\ 3x - y &= -1 \end{align*}\]
\[ x = -1 \and y = -2 \or x = 2 \and y = 7. \]

Grafene skjærer hverandre i punktene \((-1, -2)\) og \((2, 7)\). Løsningen av likningssystemet er derfor

\[ x = -1 \and y = -2 \or x = 2 \and y = 7. \]

Oppgave 2#

Bruk Geogebra til å løse likningssystemene grafisk.

Et likningssystem er gitt ved

\[\begin{align*} 2x - y &= 3 \\ x^2 - 2y - y &= 3 \end{align*}\]

Nedenfor ser du en gif som viser hvordan man løser likningen med grafvinduet i Geogebra. Vi trykker på GeoGebra mode_intersect icon (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktet.

../../../_images/grafisk_l%C3%B8sning1.gif

Skjæringspunktene mellom de to grafene er \((4, 5)\) og \((0, -3)\) som betyr at løsningen av likningssystemet er

\[ x = 4 \and y = 5 \or x = 0 \and y = -3 \]
a)
\[\begin{align*} -x^2 + x + y &= 1 \\ \\ 3x + y &= 4 \end{align*}\]
\[ x = -3 \and y = 13 \or x = 1 \and y = 1 \]

Vi tegner grafene til likningene i Geogebra og bruker “skjæring mellom to objekt” GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktet mellom dem. Se figuren nedenfor:

../../../_images/a1.png

Grafene skjærer hverandre i \((-3, 13)\) og \((1, 1)\). Da er løsningen av likningssystemet gitt ved

\[ x = -3 \and y = 13 \or x = 1 \and y = 1 \]
b)
\[\begin{align*} x^2 - x - y &= 3 \\ \\ x - y &= -5 \end{align*}\]
\[ x = -2 \and y = 3 \or x = 4 \and y = 9 \]

Vi tegner grafene til likningene i Geogebra og bruker “skjæring mellom to objekt” GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktet mellom dem. Se figuren nedenfor:

../../../_images/b2.png

Grafene skjærer hverandre i \((-2, 3)\) og \((4, 9)\). Da er løsningen av likningssystemet gitt ved

\[ x = -2 \and y = 3 \or x = 4 \and y = 9 \]
c)
\[\begin{align*} x^2 + 2x - y &= 0 \\ \\ -2x + y &= 1 \end{align*}\]
\[ x = -1 \and y = -1 \or x = 1 \and y = 3 \]

Vi tegner grafene til likningene i Geogebra og bruker “skjæring mellom to objekt” GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktet mellom dem. Se figuren nedenfor:

../../../_images/c2.png

Grafene skjærer hverandre i \((-1, -1)\) og \((1, 3)\). Da er løsningen av likningssystemet gitt ved

\[ x = -1 \and y = -1 \or x = 1 \and y = 3 \]
d)
\[\begin{align*} -x^2 + x - y &= -1 \\ \\ 2x + y &= 1 \end{align*}\]
\[ x = 0 \and y = 1 \or x = 3 \and y = -5 \]

Vi tegner grafene til likningene i Geogebra og bruker “skjæring mellom to objekt” GeoGebra mode_intersect icon for å finne skjæringspunktet mellom dem. Se figuren nedenfor:

../../../_images/d1.png

Grafene skjærer hverandre i \((0, 1)\) og \((4, -7)\). Da er løsningen av likningssystemet gitt ved

\[ x = 0 \and y = 1 \or x = 4 \and y = -7 \]

Oppgave 3#

Løs likningssystemene algebraisk.

a)
\[\begin{align*} x^2 - 2x + y &= 4\\ \\ -x + y &= 2 \end{align*}\]
\[ x = -1 \and y = 1 \or x = 2 \and y = 4. \]

Vi løser likning 2 for \(y\):

\[ -x + y = 2 \liff y = x + 2 \]

Deretter setter vi inn uttrykket for \(y\) i likning 1:

\[ x^2 - 2x + (x + 2) = 4 \]
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Nå kan vi bruke \(abc\)-formelen for å finne verdiene for \(x\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

som gir løsningene

\[ x = -1 \or x = 2. \]

Hver verdi for \(x\) gir oss en verdi for \(y\). Vi bruker at \(y = x + 2\) og setter inn verdiene for \(x\). Når \(x = -1\), så får vi

\[ y = -1 + 2 = 1 \]

Når \(x = 2\), så får vi

\[ y = 2 + 2 = 4. \]

Dermed er løsningen av likningssystemet

\[ x = -1 \and y = 1 \or x = 2 \and y = 4. \]
b)
\[\begin{align*} x^2 + x - y &= 2\\ \\ -2x + y &= 4 \end{align*}\]
\[ x = -2 \and y = 0 \or x = 3 \and y = 10. \]

Vi løser likning 2 for \(y\):

\[ -2x + y = 4 \liff y = 2x + 4 \]

Deretter setter vi inn uttrykket for \(y\) i likning 1:

\[ x^2 + x - (2x + 4) = 2 \]

Så forenkler vi likningen så mye som mulig:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Nå kan vi bruke \(abc\)-formelen for å finne verdiene for \(x\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]

som gir løsningene

\[ x = -2 \or x = 3. \]

Hver verdi for \(x\) gir oss en verdi for \(y\). Vi bruker at \(y = 2x + 4\) og setter inn verdiene for \(x\). Når \(x = -2\), så får vi

\[ y = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0 \]

Når \(x = 3\), så får vi

\[ y = 2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10. \]

Dermed er løsningen av likningssystemet

\[ x = -2 \and y = 0 \or x = 3 \and y = 10. \]
c)
\[\begin{align*} 3x - y &= -1 \\ \\ x^2 + 2x - y &= 1\\ \end{align*}\]
\[ x = -1 \and y = -2 \or x = 2 \and y = 7. \]

Vi løser likning 1 for \(y\):

\[ 3x - y = -1 \liff y = 3x + 1 \]

Deretter setter vi inn uttrykket for \(y\) i likning 2:

\[ x^2 + 2x - (3x + 1) = 1 \]

Så forenkler vi likningen så mye som mulig:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Nå kan vi bruke \(abc\)-formelen for å finne verdiene for \(x\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

som gir løsningene

\[ x = -1 \or x = 2. \]

Hver verdi for \(x\) gir oss en verdi for \(y\). Vi bruker at \(y = 3x + 1\) og setter inn verdiene for \(x\). Når \(x = -1\), så får vi

\[ y = 3 \cdot (-1) + 1 = -3 + 1 = -2 \]

Når \(x = 2\), så får vi

\[ y = 3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7. \]

Dermed er løsningen av likningssystemet

\[ x = -1 \and y = -2 \or x = 2 \and y = 7. \]
d)
\[\begin{align*} x^2 - 2x + y &= -1\\ \\ 2x + y &= 3 \end{align*}\]
\[ x = 2 \and y = -1. \]

Vi løser likning 2 for \(y\):

\[ 2x + y = 3 \liff y = -2x + 3 \]

Deretter setter vi inn uttrykket for \(y\) i likning 1:

\[ x^2 - 2x + (-2x + 3) = -1 \]

Så forenkler vi likningen så mye som mulig:

\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]

Vi kan faktorisere likningen med 2.kvadratsetning:

\[ (x - 2)^2 = 0 \]

Det betyr at løsningen for \(x\) er

\[ x = 2. \]

Den tilhørende \(y\)-verdien finner vi ved å bruke at \(y = -2x + 3\):

\[ y = -2 \cdot 2 + 3 = -4 + 3 = -1. \]

Dermed er løsningen av likningssystemet

\[ x = 2 \and y = -1. \]

Oppgave 4#

Bruk CAS til å løse likningssystemene.

a)
\[\begin{align*} -x^2 + 3x + 4y &= 0 \\ \\ -x + 2y &= -2 \end{align*}\]
\[ x = 4 \and y = 1 \or x = 1 \and y = -\dfrac{1}{2} \]
../../../_images/a2.png

Fra utskriften ser vi at løsningen av likningssystemet er

\[ x = 4 \and y = 1 \or x = 1 \and y = -\dfrac{1}{2} \]
b)
\[\begin{align*} 2x^2 - 3x - y &= 2 \\ \\ 2x - y &= -5 \end{align*}\]
\[ x = -1 \and y = 3 \or x = \dfrac{7}{2} \and y = 12. \]
../../../_images/b3.png

Fra utskriften ser vi at løsningen av likningssystemet er

\[ x = -1 \and y = 3 \or x = \dfrac{7}{2} \and y = 12. \]
c)
\[\begin{align*} -x^2 + y &= 2 \\ \\ x + 4y &= 8 \end{align*}\]
\[ x = 0 \and y = 2 \or x = -\dfrac{1}{4} \and y = \dfrac{33}{16} \]
../../../_images/c3.png

Fra utskriften ser vi at løsningen av likningssystemet er

\[ x = 0 \and y = 2 \or x = -\dfrac{1}{4} \and y = \dfrac{33}{16} \]
d)
\[\begin{align*} 2x - y &= 3 \\ \\ x^2 - 3 &= y + 2x \end{align*}\]
\[ x = 0 \and y = -3 \or x = 4 \and y = 5. \]
../../../_images/d2.png

Fra utskriften ser vi at løsningen av likningssystemet er

\[ x = 0 \and y = -3 \or x = 4 \and y = 5. \]

Oppgave 5#

a)

Avgjør hvilken av figurene nedenfor du kan bruke til å løse likningssystemet

\[\begin{align*} x^2 - 2x + y &= -2 \\ x - y &= 0 \end{align*}\]

Løs likningssystemet ved hjelp av riktig figur.

../../../_images/merged_figure1.svg

Figur C.

b)

Avgjør hvilken av figurene nedenfor du kan bruke til å løse likningssystemet

\[\begin{align*} x^2 - 6x - y &= -5\\ x - y &= 5 \end{align*}\]

Løs likningssystemet ved hjelp av riktig figur.

../../../_images/merged_figure2.svg

Figur A.

c)

Avgjør hvilken av figurene nedenfor du kan bruke til å løse likningssystemet

\[\begin{align*} x^2 + 2x + y &= 1 \\ x^2 - 4x - y &= 3 \end{align*}\]

Løs likningssystemet ved hjelp av riktig figur.

../../../_images/merged_figure3.svg

Figur D.

Oppgave 6#

a)

Lag et likningssystem du kan bruke figuren nedenfor til å løse

../../../_images/a.svg
b)

Lag et likningssystem du kan bruke figuren nedenfor til å løse

../../../_images/b.svg
c)

Lag et likningssystem du kan bruke figuren nedenfor til å løse

../../../_images/c.svg

Oppgave 7#

Bruk CAS til å forutsi hva som skrives ut av programmene nedenfor.

a)

Bruk CAS til å avgjøre hva som blir skrevet ut av programmet nedenfor.

Skriv inn svaret ditt og sjekk.

b)

Bruk CAS til å avgjøre hva som blir skrevet ut av programmet nedenfor.

Skriv inn svaret ditt og sjekk.

c)

Bruk CAS til å avgjøre hva som blir skrevet ut av programmet nedenfor.

Skriv inn svaret ditt og sjekk.

d)

Bruk CAS til å avgjøre hva som blir skrevet ut av programmet nedenfor.

Skriv inn svaret ditt og sjekk.

Oppgave 8#

Anna har skrevet et program for å løse et likningssystem. Programmet er vist nedenfor.

1for x in range(-100, 101):
2    for y in range(-100, 101):
3        if x**2 + y**2 == 25 and x + y == 5:
4            print((x, y))
a)

Løs likningssystemet grafisk.

b)

Løs likningssystemet med CAS.

c)

Løs likningssystemet algebraisk.

Oppgave 9#

Et likningssystem er gitt ved

\[\begin{align*} -x^2 + y &= k \\ 4x + y &= 5 \end{align*}\]
a)

Bestem \(k\) slik at likningssystemet har nøyaktig én løsning.

\[ k = 9 \]
b)

For hvilke verdier av \(k\) har likningssystemet to løsninger?

\[ k > 9 \]

Oppgave 10#

Et likningssystem er gitt ved

\[\begin{align*} x^2 + kx + y &= 0 \\ x + y &= 2 \end{align*}\]
a)

Bestem \(k\) slik at likningssystemet har nøyaktig én løsning.

\[ k = -1 \or k = 3. \]
b)

For hvilke verdier av \(k\) vil likningsystemet ikke ha noen løsning?

\[ k \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle \]

Oppgave 11#

Grafen til en andregradsfunksjon kalles for en parabel. Men en parabel må ikke være en funksjon. For at grafen skal være en funksjon, så kan det bare finnes én \(y\)-verdi for hver \(x\)-verdi. Hvis parabelen derimot ligger langs \(x\)-aksen, så har den flere \(y\)-verdier for hver \(x\)-verdi. Da er ikke grafen en funksjon, men en kurve.

I figuren nedenfor vises en slik parabel.

../../../_images/a1.svg
a)

Bestem likningen til parabelen på standardform:

\[ x = ay^2 + by + c \]
\[ x = y^2 - 2y - 3 \]
b)

Bestem likningen til parabelen på ekstremalpunktsform:

\[ x = a(y - y_0)^2 + x_0 \]
\[ x = (y - 1)^2 - 4 \]
c)

Bestem likningen til parabelen på nullpunktsform:

\[ x = a(y - y_1)(y - y_2) \]
\[ x = (y + 1)(y - 3) \]