Oppgaver: Standardform#
Oppgave 1#
Les av koeffisientene til
Les av koeffisientene til
Les av koeffisientene til
Les av koeffisientene til
Oppgave 2#
En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved
Regn ut \(f(-1)\), \(f(0)\) og \(f(2)\).
En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved
Regn ut \(g(-2)\), \(g(1)\) og \(g(4)\).
Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist nedenfor.
Bruk grafen til å bestemme \(h(-3)\), \(h(-2)\), \(h(-1)\), \(h(0)\) og \(h(1)\).
Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist nedenfor.
Bruk grafen til å bestemme \(p(-1)\), \(p(0)\), \(p(1)\), \(p(2)\) og \(p(3)\).
Oppgave 3#
Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon
Er grafen til \(f\) konveks eller konkav?
Kan du si noe om koeffisientene til \(f(x)\) ut ifra dette?
Grafen er konveks siden den smiler 
.
Dette betyr at \(a > 0\) (koeffisienten er positiv).
Bestem verdien til \(a\).
Bunnpunktet til \(f\) er i \((2, -1)\). Går vi én enhet langs \(x\)-aksen til høyre og finner grafen, er vi i \((3, 0)\). Altså øker \(y\)-verdien med \(1\) som betyr at
Bestem likningen til symmetrilinja til \(f\) og bruk denne til å bestemme verdien til \(b\).
Symmetrilinje:
Koeffisienten \(b\):
Likningen til symmetrilinja er \(x = 2\) siden det er \(x\)-koordinaten der grafen har et bunnpunkt. Da får vi
Bestem koordinatene til skjæringspunktet med \(y\)-aksen.
Bruk svaret ditt til å bestemme verdien til \(c\).
Grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\) som betyr at \(c = 3\).
Bruk svarene dine fra a, b og c til å bestemme \(f(x)\).
Oppgave 4#
En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved
Hva er verdiene til koeffisientene til \(f(x)\)?
Er grafen til \(f\) konveks eller konkav?
Begrunn svaret ditt.
Grafen er konveks fordi \(a > 0\).
Bestem symmetrilinja til \(f\).
Har grafen til \(f\) et topp- eller bunnpunkt?
Bestem koordinatene til dette punktet.
Grafen har et bunnpunkt i \((-1, -7)\).
Grafen til \(f\) har et bunnpunkt siden \(a > 0\) som gjør at grafen er konveks .
Symmetrilinja er \(x = -1\). Dette er \(x\)-koordinaten til bunnpunktet. Vi setter \(x = -1\) inn i \(f(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til bunnpunktet:
Dermed er koordinatene til bunnpunktet \((-1, -7)\).
Lag en skisse av grafen til \(f\) og marker egenskapene du har funnet på grafen.
Oppgave 5#
Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f(x) = ax^2 + bx + c\).
Bruk grafen til å bestemme verdien til \(a\).
Toppunktet til \(f\) er \((-2, 9)\). Øker vi \(x\) med én enhet til høyre, så finner vi grafen i \((-1, 8)\) som betyr at \(y\)-verdien har sunket med \(1\). Dermed er
Bruk grafen til å bestemme verdien til \(b\).
Grafen til \(f\) har symmetrilinje i \(x = -2\) siden dette er \(x\)-koordinaten til toppunktet. Fra formelen for symmetrilinja til \(f\) får vi da at
Bruk grafen til å bestemme verdien til \(c\).
Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 5)\) som betyr at
Bruk svarene dine fra a, b og c til å bestemme \(f(x)\).
Vi vet nå at koeffisientene til \(f(x)\) er
som betyr at
Oppgave 6#
Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.
Bestem \(f(x)\).
Vi skriver \(f(x)\) på standardform
Vi finner ekstremalpunktet til \(f\) i \((-2, -2)\). Vi flytter oss én enhet til høyre langs \(x\)-aksen og finner grafen i \((-1, 0)\) som betyr at \(y\)-verdien har økt med \(2\). Det betyr at \(a = 2\).
Grafen til \(f\) har symmetrilinje i \(x = -2\) siden ekstremalpunktet er i \((-2, -2)\). Fra formelen for symmetrilinja til \(f\) finner vi da at
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 6)\) som betyr at \(c = 6\). Dermed er
Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.
Bestem \(g(x)\).
Vi skriver \(g(x)\) på standardform
Vi ser at ekstremalpunktet til \(g\) er i \((2, -1)\). Øker vi \(x\) med én enhet til høyre, så finner vi grafen i \((3, -2)\) som betyr at \(y\)-verdien synker med \(1\) enhet. Dermed er \(a = -1\).
Ekstremalpunktet er i \((2, -1)\) som gir at likningen til symmetrilinja er \(x = 2\) siden dette er \(x\)-koordinaten til punktet. Fra formelen for symmetrilinja til \(g\) kan vi bestemme verdien til \(b\):
Vi ser at grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -5)\) som betyr at \(c = -5\). Dermed er
Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren nedenfor.
Bestem \(h(x)\).
Vi skriver \(h(x)\) på standardform
Ekstremalpunktet til \(h\) er i \((-1, 3)\). Øker vi \(x\) med én enhet og finner grafen igjen, havner vi i punktet \((0, 4)\). Altså har \(y\)-verdien økt med \(1\) enhet som betyr at \(a = 1\).
Ekstremalpunktet \((-1, 3)\) gir oss symmetrilinja \(x = -1\) siden \(x\)-koordinaten er symmetrilinja til grafen. Da kan vi finne \(b\):
Grafen til \(h\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0, 4)\) som betyr at \(c = 4\). Dermed er
Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren nedenfor.
Bestem \(p(x)\).
Vi skriver \(p(x)\) på standardform
Ekstremalpunktet til \(p\) er \((2, 2)\). Hvis øker \(x\) med én enhet, så klarer vi ikke lese av de eksakte koordinatene til punktet på grafen. Øker vi \(x\) med \(2\) enheter, så finner vi grafen i punktet \((4, 0)\) som betyr at \(y\)-verdien har sunket med \(2\) enheter. Da har vi at
Siden ekstremalpunktet er i \((2, 2)\), så er symmetrilinja \(x = 2\) (\(x\)-koordinaten til punktet). Fra formelen for symmetrilinja, finner vi da at
Grafen til \(p\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 0)\) som betyr at \(c = 0\). Dermed er
Oppgave 7#
En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved
Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(f\).
Graf B viser grafen til \(f\).
Koeffisientene til \(f(x)\) er
Vi ser derfor at grafen til \(f\) er konveks siden \(a > 0\). Det betyr at grafen til \(f\) enten er B eller D. Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i et punkt med negativ \(y\)-koordinat siden \(c < 0\), men dette er sant både for graf B og D.
Symmetrilinja til \(f\) er gitt ved
Dette passer bare med graf B som betyr at grafen til \(f\) er graf B.
En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved
Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(g\).
Graf D.
Koeffisientene til \(g(x)\) er
Siden \(a > 0\) er grafen til \(g\) konveks . Det passer bare med graf B og D.
Symmtrilinja til \(g\) er gitt ved
Det er bare graf D som har en symmetrilinja langs en positiv \(x\)-verdi, så dermed er graf D grafen til \(g\).
En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved
Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(h\).
Graf A.
Koeffisientene til \(h(x)\) er
Grafen til \(h\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 5)\) siden \(c = 5\). Det bare graf A og C som skjærer \(y\)-aksen i et punkt med positiv \(y\)-verdi.
Symmetrilinja til \(h\) er gitt ved
Altså må grafen til \(h\) ha en symmetrilinja langs en negativ \(x\)-verdi. Dette stemmer bare for graf A. Dermed er graf A grafen til \(h\).
En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved
Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til \(p\).
Graf C.
Koeffisientene til \(p(x)\) er
Grafen til \(p\) er konkav 
siden \(a < 0\). Det betyr at grafen til \(p\) enten er A eller C.
Symmetrilinja til \(p\) er gitt ved
Det er bare graf C som har en symmetrilinje langs en positiv \(x\)-verdi, så dermed er graf C grafen til \(p\).
Oppgave 8#
En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(f\) og marker følgende egenskaper:
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Symmetrilinja
Topp- eller bunnpunkt med koordinater
Koeffisientene til \(f(x)\) er
- Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Konstantleddet er \(x = 3\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 3)\).
- Symmetrilinja
Symmetrilinja er gitt ved
\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2. \]- Topp- eller bunnpunkt
Grafen til \(f\) er konkav
siden \(a < 0\). Dermed har grafen et toppunkt. Toppunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 2\). Vi setter \(x = 2\) inn i \(f(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til toppunktet:\[ f(2) = -1 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 3 = 7. \]Dermed er toppunktet til \(f\) gitt ved \((2, 7)\).
Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til \(f\):
En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(g\) og marker følgende egenskaper:
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Symmetrilinja
Topp- eller bunnpunkt med koordinater
Koeffisientene til \(g(x)\) er
- Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Konstantleddet er \(c = -1\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -1)\).
- Symmetrilinja
Symmetrilinja er gitt ved
\[ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 2} = -1. \]- Topp- eller bunnpunkt
Grafen til \(g\) er konveks siden \(a > 0\)
. Dermed har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = -1\). Vi setter \(x = -1\) inn i \(g(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til bunnpunktet:\[ g(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 1 = -3. \]Dermed er bunnpunktet til \(g\) gitt ved \((-1, -3)\).
Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til \(g\):
En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(h\) og marker følgende egenskaper:
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Symmetrilinja
Topp- eller bunnpunkt med koordinater
Koeffisientene til \(h(x)\) er
- Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Konstantleddet er \(c = -4\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, -4)\).
- Symmetrilinja
Symmetrilinja er gitt ved
- Topp- eller bunnpunkt
Grafen til \(h\) er konveks
siden \(a > 0\). Dermed har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 0\). Vi setter \(x = 0\) inn i \(h(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til bunnpunktet:\[ h(0) = 0^2 - 4 = -4. \]Dermed er bunnpunktet til \(h\) gitt ved \((0, -4)\).
Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til \(h\):
En andregradsfunksjon \(p\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(p\) og marker følgende egenskaper:
Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Symmetrilinja
Topp- eller bunnpunkt med koordinater
Koeffisientene til \(p(x)\) er
- Skjæringspunktet med \(y\)-aksen
Konstantleddet er \(c = 0\) som betyr at grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0, 0)\).
- Symmetrilinja
Symmetrilinja er gitt ved
- Topp- eller bunnpunkt
Grafen til \(p\) er konkav
siden \(a < 0\). Dermed har grafen et toppunkt. Toppunktet har \(x\)-koordinaten lik symmetrilinja, altså \(x = 1\). Vi setter \(x = 1\) inn i \(p(x)\) for å finne \(y\)-koordinaten til toppunktet:\[ p(1) = -1 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1. \]Dermed er toppunktet til \(p\) gitt ved \((1, 1)\).
Nå har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til \(p\):
Oppgave 9#
Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.
Bruk CAS til å bestemme \(f(x)\).
Vi trenger tre punkter på grafen til \(f\). Vi ser at grafen går gjennom punktene \((-1, 0)\), \((3, 0)\) og \((0, -3)\). Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til \(f(x)\):
Fra utskriften finner vi at koeffisientene er
Dermed får vi at
Grafen til en andregradsfunksjon \(g\) er vist i figuren nedenfor.
Bruk CAS til å bestemme \(g(x)\).
Vi trenger tre punkter på grafen til \(g\). Vi ser at grafen til \(g\) går gjennom punktene \((-1, -1)\), \((0, -3)\) og \((-2, -3)\). Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til \(g(x)\):
Fra utskriften ser vi at koeffisientene er
Dermed er \(g(x)\) gitt ved
Grafen til en andregradsfunksjon \(h\) er vist i figuren nedenfor.
Bruk CAS til å bestemme \(h(x)\).
Vi trenger tre punkter på grafen til \(h\). Vi ser at grafen til \(h\) går gjennom punktene \((-5, 0)\), \((-1, 0)\) og \((0, 5)\). Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til \(h(x)\):
Fra utskriften ser vi at koeffisientene er
Dermed er \(h(x)\):
Grafen til en andregradsfunksjon \(p\) er vist i figuren nedenfor.
Bruk CAS til å bestemme \(p(x)\).
Vi trenger tre punkter på grafen til \(p\). Vi ser at grafen til \(p\) går gjennom punktene \((2, 0)\), \((0, -2)\) og \((4, -2)\). Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til \(p(x)\):
Fra utskriften ser vi at koeffisientene er
Dermed er \(p(x)\):
Oppgave 10#
I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(f\).
Bestem \(f(x)\).
Vi skriver \(f(x)\) på standardform
Vi ser at grafen til \(f\) har et toppunkt i \((2, 3)\). Flytter vi oss \(2\) enheter langs \(x\)-aksen til venstre ligger skjæringspunktet til grafen med \(y\)-aksen i \((0, 1)\). Her har \(y\)-verdien sunket med \(2\) enheter som betyr at
Siden grafen til \(f\) har et toppunkt i \((2, 3)\) så er symmetrilinja gitt ved \(x = 2\). Vi kan bestemme \(b\) ved hjelp av formelen for symmetrilinja:
Siden grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\) så er \(c = 1\). Dermed har vi
I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(g\).
Bestem \(g(x)\).
Siden \(g\) er en andregradsfunksjon, så er
Grafen til \(g\) har et bunnpunkt i \((-1, 2)\) som betyr at symmetrilinja er \(x = -1\). Da får vi at
Grafen til \(g\) går gjennom punktet \((-2, 4)\) som ligger én enhet til venstre for bunnpunktet. Det betyr at hvis vi flytter oss én enhet til høyre, så får vi et punkt med samme \(y\)-koordinat. Dette blir da \((0, 4)\) som er punktet grafen til \(g\) skjærer \(y\)-aksen. Dermed er
Nå kan vi skrive om \(g(x)\) til
Nå bruker vi bunnpunktet til å bestemme verdien til \(a\). Siden grafen går gjennom \((-1, 2)\), så betyr det at
som vi forenkler til
Nå kan vi regne ut verdien til \(b\):
Dermed er koeffisientene til \(g(x)\) gitt ved
Dermed er
I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(h\).
Bestem \(h(x)\).
Vi starter med standardformen til \(h(x)\) som er
Grafen til \(h\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 9)\) som betyr at \(c = 9\).
Grafen til \(h\) går gjennom punktene \((1, 4)\) og \((5, 4)\) som har samme \(y\)-koordinat. Siden de har samme \(y\)-koordinat, må symmetrilinja ligge midt mellom disse to punktene som betyr at symmetrilinja er gjennomsnittet av \(x\)-koordinatene:
Gjennomsnittet av to tall ligger alltid midt mellom de to tallene!
Men da får vi at
Da kan vi skrive om \(h(x)\) til
Nå trenger vi å bruke ett av punktene vi ikke har brukt enda. Vi velger \((1, 4)\) som betyr at
som vi forenkler til
Nå kan vi regne ut verdien til \(b\):
Dermed er koeffisientene til \(h(x)\) gitt ved
Dermed er
I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon \(p\).
Bestem \(p(x)\).
Standardformen til \(p(x)\) er gitt ved
Vi ser at grafen til \(p\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 12)\) som betyr at \(c = 12\).
Grafen til \(p\) har to nullpunkter i \((-2, 0)\) og \((3, 0)\). Siden disse punktene har samme \(y\)-koordinat, så må symmetrilinja ligge midt mellom disse to punktene som betyr at symmetrilinja er gjennomsnittet av \(x\)-koordinatene:
Da får vi at
Da kan vi skrive om \(p(x)\) til
Nå trenger vi å bruke ett av punktene vi ikke har brukt enda. Vi velger \((3, 0)\) som betyr at
som vi forenkler til
Nå kan vi regne ut verdien til \(b\):
Dermed er koeffisientene til \(p(x)\) gitt ved
Det betyr at
Oppgave 11#
Siri har laget programmet nedenfor:
1def f(x):
2 return x ** 2 + 2 * x - 15
3
4x = -5
5verdi = f(x)
6
7while x <= 5:
8
9 if f(x) < verdi:
10 verdi = f(x)
11
12 x = x + 1
13
14print(verdi)
Hva finner Siri når hun kjører programmet?
Hvilken verdi skrives ut?
Oppgave 12#
Anna jobber med andregradsfunksjonen
Hun ønsker å bestemme bunnpunktet med programmering og har laget en figur som illustrerer strategien hun vil bruke:
Bruk strategien til Anna og skriv ferdig programmet nedenfor.
Bestem koordinatene til bunnpunktet til \(f\) med programmet.
Løsning med for-løkke:
1def f(x):
2 return x**2 - 4*x + 5
3
4
5for x in range(0, 11):
6 if f(x) <= f(x + 1):
7 bunnpunkt = (x, f(x))
8 print(bunnpunkt)
9
10 break
Løsning med while-løkke:
1def f(x):
2 return x**2 - 4*x + 5
3
4
5x = 0
6while f(x) < f(x + 1):
7 x = x + 1
8
9
10bunnpunkt = (x, f(x))
11print(bunnpunkt)
Anna vil bruke en tilsvarende strategi til å bestemme toppunktet til
Gjør nødvendige endringer i programmet slik at det finner toppunktet til \(g\).