Innhold

Oppgave 1

En andregradsfunksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = x^2 - 3x - 4. \]

Bestem i hvilke punkter grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen.

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for gyldig strategi.

  • Inntil 1 poeng for riktig svar.

Fasit

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = -1\) og \(x = 4\).

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen når \(f(x) = 0\). Bruker \(abc\)-formelen til å finne røttene til \(f(x)\):

\[ x = \dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-4)}}{2\cdot 1} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}. \]

som gir

\[ x = 4 \or x = -1. \]

Dermed skjærer grafen til \(f\) gjennom \(x\)-aksen i \(x = -1\) og \(x = 4\).

En andregradsfunksjon \(g\) er gitt ved

\[ g(x) = -(x + 3)(x - 5). \]

Bestem ekstremalpunktet til \(g\).

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for gyldig strategi.

  • Inntil 1 poeng for riktig svar.

Det gis full uttelling om bare \(x\)-koordinaten er oppgitt, men det gis også full uttelling om en \(y\)-koordinat er oppgitt i tillegg, selv hvis feil \(y\)-koordinat er oppgitt.
Det er forvirring rundt definisjonen av ekstremalpunkt (trolig på grunn av Geogebra), men det er formelt sett bare \(x\)-koordinaten til et bunn- eller toppunkt.

Fasit

\[ x = 1. \]

Løsning

Ekstremalpunktet \(x_0\) til \(g\) svarer til symmetrilinja til grafen som vi kan finne ved å ta gjennomsnittet av nullpunktene. Vi har at

\[ g(x) = 0 \liff (x + 3)(x - 5) = 0 \liff x = -3 \or x = 5. \]

som betyr at

\[ x_0 = \dfrac{(-3) + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1. \]

Dermed er ekstremalpunktet til \(g\) i \(x = 1\).

En andregradsfunksjon \(h\) er gitt ved

\[ h(x) = -(x + 2)^2 + 5 \quad \text{der} \quad D_h = \mathbb{R}. \]

Bestem verdimengden til \(h\).

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for gyldig strategi.

  • Inntil 1 poeng for riktig svar.

Fasit

\[ h(x) \in \langle \gets, 5]. \]

Løsning

Verdimengden til \(h\) vil være alle verdier \(h(x)\) vi kan få fra \(x \in D_h = \mathbb{R}\). Siden definisjonsmengden er alle reelle tall, må vi avgjøre hvilke verdier \(h(x)\) kan ta helt generelt. Siden \(h\) er en andregradsfunksjon, følger det at den enten har et topp- eller bunnpunkt. Siden den ledende koeffisienten til \(h\) er negativ, har den et toppunkt. Videre er \(h(x)\) skrevet på ekstremalpunktsform

\[ h(x) = -(x + 2)^2 + 5, \]

som betyr at vi kan lese av toppunktet som \((-2, 5)\). Dermed er \(h(x) \leq 5\) for alle \(x \in D_h\). Verdimengden til \(h\) er derfor

\[ h(x) \in \langle \gets, 5]. \]

Oppgave 2

Nedenfor vises en trekant \(\triangle ABC\).

Bruk trekanten til å bestemme \(\tan 60\degree\).

../../../../_images/figur73.svg

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for å bestemme \(AC\) med en gyldig strategi.

  • Inntil 1 poeng for å bestemme \(\tan 60 \degree\) med en gyldig strategi.

Fasit

\[ \tan 60 \degree = \sqrt{3} \]

Løsning

I figuren har vi at

\[ \tan 60 \degree = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{2\sqrt{3}}{AC} \]

siden \(AB\) er motstående katet og \(AC\) er hosliggende katet til \(\angle C\). Vi kan bruke Pytagoras’ setning til å bestemme \(AC\):

\[ AC^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4^2 \liff AC^2 + 12 = 16 \liff AC^2 = 4 \]

dermed er

\[ AC = 2. \]

Da følger det at

\[ \tan 60 \degree = \dfrac{2\sqrt{3}}{AB} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. \]

Oppgave 3

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) er vist i figuren nedenfor.

../../../../_images/figur74.svg

Bestem \(f(x)\).

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte.

  • 1 poeng for å bestemme riktig \(f(x)\).

Fasit

\[ f(x) = -(x + 2)(x - 4) = -x^2 + 2x + 8. \]

Løsning

Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x = - 2\) og \(x = 4\) som betyr at vi kan skrive \(f(x)\) på nullpunktsform:

\[ f(x) = a(x + 2)(x - 4). \]

Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \(y = 8\) som betyr at

\[ f(0) = 8 \liff a(0 + 2)(0 - 4) = 8 \liff -8a = 8 \liff a = -1. \]

Dermed følger det at

\[ f(x) = -(x + 2)(x - 4) = -x^2 + 2x + 8. \]

Bestem likningen til tangenten i \((3, f(3))\).

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte.

  • 1 poeng for riktig likning for tangenten.

Fasit

\[ y = -4x + 17. \]

Løsning

For å bestemme likningen til tangenten i \((3, f(3))\) må vi finne \(y\)-koordinaten til punktet og stigningstallet til tangenten.

\[ y_1 = f(3) = -(3 + 2)(3 - 4) = 5. \]

Stigningstallet \(a\) til tangenten er gitt ved den deriverte i \(x = 3\):

\[\begin{align*} f'(x) &= -2x + 2 \\ \\ a = f'(3) &= -2(3) + 2 = -6 + 2 = -4. \end{align*}\]

Vi bruker ettpunktsformelen til å bestemme likningen

\[\begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 5 &= -4(x - 3) \\ \\ y - 5 &= -4x + 12 \\ \\ y &= -4x + 17. \end{align*}\]

Altså er likningen til tangenten

\[ y = -4x + 17. \]

Resten i polynomdivisjonen \(f(x) : (x - 3)^2\) gir oss uttrykket for tangenten i \(x = 3\).

../../../../_images/polydiv5.svg

Fra resten i polynomdivisjonen finner vi at likningen er

\[ y = -4x + 17. \]

Oppgave 4

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} \]

Avgjør hvilken graf som tilhører \(f\).

Husk å forklare hvordan du kommer fram til svaret ditt.

Retteveiledning

  • Inntil 2 poeng for å bestemme relevante egenskaper for \(f\).

  • Inntil 1 poeng for å bestemme riktig graf ut ifra egenskapene.

Fasit

Graf B.

Løsning

Vi nullpunktsfaktoriserer teller- og nevnerpolynomet i \(f(x)\):

\[ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x + 1}{x - 1} \]

der vi brukte konjugatsetningen i tellerpolynomet og 2.kvadratsetning i nevnerpolynomet. Ettersom vi nå har forkortet bort alle felles faktorer, kan vi bestemme \(f\) sine nullpunkter og asymptoter.

Fra tellerpolynomet i det fortkortede uttrykket får vi at

\[ f(x) = 0 \liff x + 1 = 0 \liff x = -1 \]

som betyr at \(f\) har et nullpunkt i \(x = -1\). Fra nevnerpolynomet får vi at

\[ x - 1 = 0 \liff x = 1 \]

som betyr at \(f\) har en vertikal asymptote i \(x = 1\). Siden ledende koeffisient for teller og nevnerpolynomet er \(1\) og polynomeme er av samme grad, følger det at den horisontale asymptoten er \(y = 1\).

Graf \(B\) er den eneste grafen som samtidig har

  • et nullpunkt for \(x < 0\)

  • en vertikal asymptote når \(x > 0\)

  • en horisontal asymptote der \(y > 0\).

Dermed må graf B gære grafen til \(f\).

Oppgave 5

I figuren nedenfor til venstre vises en sirkel med radius \(1\) og en trekant som har to hjørner på sirkelen.

I figuren nedenfor til høyre vises en trekant \(\triangle ABC\).

../../../../_images/merged_figure23.svg

Bestem arealet av \(\triangle ABC\).

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for å sette opp riktig formel for arealet med arealsetningen.

  • Inntil 1 poeng for å bestemme \(\sin 120 \degree\) med en gyldig strategi.

  • Bruk av formlikhet for å bestemme arealet kan også gi full uttelling.

Fasit

Arealet er \(4\sqrt{3}\).

Løsning

Først kan vi merke oss at \(\triangle ABC\) er likebeint siden \(\angle A = 120\degree\) og \(\angle B = 30 \degree\) som betyr at

\[ \angle C = 180 \degree - 30\degree - 120 \degree = 30 \degree. \]

Dermed følger det at \(AB = AC = 4\). Vi kan derfor bruke arealsetningen med utgangspunkt i hjørne \(A\):

\[ T_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 120\degree = 8 \cdot \sin 120 \degree. \]

Fra figuren med enhetssirkelen, har vi fått oppgitt et punkt på enhetssirkelen som svarer til en vinkel på \(120 \degree\). Da vil \(y\)-koordinaten til dette punktet være \(\sin 120\degree\). Dermed har vi at

\[ \sin 120 \degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]

Da følger det at arealet av \(\triangle ABC\) er

\[ T_{\triangle ABC} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}. \]

Oppgave 6

En elev jobber med en funksjon \(f\). Grafen til \(f\) er vist i figuren nedenfor.

../../../../_images/figur75.svg

Eleven har skrevet programmet nedenfor

1def f(x):
2    return x**3 + x**2 - 5 * x + 3
3
4
5for x in range(0, 6):
6    print(f(x))

som ga utskriften

3
0
5
24
63
128

Bestem én mulighet for verdiene til \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen nedenfor er en identitet.

\[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - a)(x - b)(x - c). \]

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte.

  • 1 poeng for å bestemme én mulighet for \(a\), \(b\) og \(c\).

Fasit

\[ a = -3 \and b = c = 1 \]

Løsning

Programmet til eleven bruker en for-løkke som går gjennom verdiene \(x \in \{0, 1, 2, \ldots, 5\}\). Fra utskriften kan vi se at den 2. verdien som skrives ut er \(0\) som betyr at \(f(1) = 0\). Dermed er \(x = 1\) et nullpunkt.

Fra figuren kan vi se at det positive nullpunktet til \(f\) også er et bunnpunkt som betyr at det er et dobbelt nullpunkt. Da vet vi at \((x - 1)^2 | f(x)\) og polynomdivisjonen \(f(x) : (x - 1)^2\) vil gå opp:

../../../../_images/polydiv6.svg

Fra polynomdivisjonen følger det at

\[ (x^3 + x^2 - 5x + 3) = (x + 3)(x - 1)^2 \]

som betyr at én mulighet for verdiene til \(a\), \(b\) og \(c\) er

\[ a = -3 \and b = c = 1. \]

Løs ulikheten \(f(x) < 0\).

Retteveiledning

  • Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte.

  • Inntil 1 poeng for riktig svar.

Fasit

\[ x \in \langle \gets, -3 \rangle. \]

Løsning

Fra grafen til \(f\), kan vi se at \(f(x) < 0\) når for alle verdier av \(x\) som ligger på nedsiden av det negative nullpunktet til \(f\). Det negative nullpunktet til \(f\) er \(x = -3\).

Dermed kan vi konkludere at

\[ f(x) < 0 \liff x \in \langle \gets, -3 \rangle. \]
Innhold