Matematisk logikk

Innhold

5. Matematisk logikk#

Kunne bruke symbolene for implikasjon og ekvivalens for å uttrykke logiske sammenhenger mellom påstander.
Kunne bruke symbolene for logisk-og og logisk-eller for å uttrykke logiske sammenhenger mellom påstander.

For å gjøre det enklere å skrive matematikk, er det nyttig å innføre noen symboler som beskriver logiske sammenhenger mellom påstander. En påstand i matematikk kan for eksempel være en likning eller en ulikhet.

Ekvivalens og implikasjon#

Hvis en påstand sin sannhet automatisk betyr at en annen påstand også er sann, sier vi at den første påstanden impliserer den andre.

Implikasjon#

Hvis en påstand $P$ impliserer en annen påstand $Q$, skriver vi dette som $P \implies Q$. Vi leser dette som “hvis $P$ er sann, så er $Q$ sann”.

Vi tar et litt konkret eksempel.

Eksempel 1#

Hvis Anna bor i Oslo, så betyr det også at hun bor i Norge. Da kan vi skrive dette som:

\[ \text{Anna bor i Oslo} \limplies \text{Anna bor i Norge} \]

Men det motsatte er ikke automatisk sant. Hvis Anna bor i Norge, betyr ikke det nødvendigvis at hun bor i Oslo. Hun kan for eksempel bo i Bergen og ikke i Oslo som betyr at ho fortsatt bor i Norge. Da kan vi skrive

\[ \text{Anna bor i Norge} \nimplies \text{Anna bor i Oslo} \]

Vi tar et eksempel som er litt mer matematisk.

Eksempel 2#

Hvis $x = 2$, så er $x^2 = 4$. Da kan vi skrive

\[ x = 2 \limplies x^2 = 4 \]

Men dersom $x^2 = 4$, så betyr ikke det nødvendigvis at $x = 2$. Vi har også at $x^2 = 4$ dersom $x = -2$. Dermed har vi at

\[ x^2 = 4 \nimplies x = 2 \]

Hvis to påstander må være sanne samtidig, sier vi at de er ekvivalente. Det betyr at hvis én av de er sanne, så må begge være sanne. I eksempel 1 så vi at det at Anna bodde i Norge ikke nødvendigvis ville betydd at hun bodde i Oslo. Disse påstandene er derfor ikke ekvivalente.

Ekvivalens#

Hvis det at en påstand $P$ er sann betyr at en påstand $Q$ også er sann, og omvendt, skriver vi dette som

\[ P \iff Q \]

Vi leser dette som “$P$ er ekvivalent med $Q$”, eller “$P$ er sann hvis og bare hvis $Q$ er sann”.

La oss ta et eksempel:

Eksempel 3#

Hvis $2x = 4$, så er $x = 2$. Det betyr at

\[ 2x = 4 \limplies x = 2 \]

Men hvis $x = 2$, så er også $2x = 4$. Det betyr at

\[ x = 2 \limplies 2x = 4 \]

Siden påstandene impliserer begge veier, betyr dette at

\[ 2x = 4 \liff x = 2 \]

Logisk-og og logisk-eller#

Noen ganger så vil vi uttrykke at én av flere påstander kan være sanne, men ikke nødvendigvis alle sammen samtidig. Da bruker vi logisk-eller. Hvis vi for eksempel sier at “Anna bor i Oslo eller Bergen”, så betyr det at hun kan bo i Oslo, eller hun kan bo i Bergen, eller hun kan bo i begge byene.

Logisk-eller#

Hvis en påstand $P$ er sann eller en annen påstand $Q$ er sann, eller at begge er sanne, skriver vi dette som

\[ P \lor Q \]

Vi leser dette som “$P$ eller $Q$, (eller begge)”.

Eksempel 4#

Hvis Anna bor i Oslo eller Bergen (eller begge), kan vi skrive dette som

\[ \text{Anna bor i Oslo} \or \text{Anna bor i Bergen} \]

Vi tar et eksempel er mer matematisk.

Eksempel 5#

Hvis $x^2 = 4$, så kan det bety at $x = 2$ eller at $x = -2$ siden

\[ 2^2 = 4 \qog (-2)^2 = 4 \]

Da kan vi skrive at

\[ x^2 = 4 \liff x = 2 \or x = -2 \]

I tilfeller hvor to påstander må være sanne samtidig, bruker vi logisk-og. Den typiske situasjonen hvor dette er aktuelt, er når vi jobber med likningssystemer eller ulikheter.

Logisk-og#

Hvis en påstand $P$ er sann og en annen påstand $Q$ er sann, skriver vi dette som

\[ P \land Q \]

Vi leser dette som “$P$ og samtidig $Q$”.

Eksempel 6#

Et likningssystem er et eksempel på to påstander som må være sanne samtidig. Gitt likningssystemet som består av likningene

\[\begin{align*} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{align*}\]

så mener vi egentlig at de to likningene skal være oppfylt samtidig. Da er det mer presist å skrive at

\[ x + y = 2 \and x - y = 0 \]

Begge likninger er oppfylt hvis $x = 1$ og $y = 1$ samtidig. Derfor kan vi uttrykke løsningen som

\[ x = 1 \and y = 1 \]

Oppsummering#

La $P$ og $Q$ være påstander. Da gjelder følgende:

Skrivemåte	Betydning	Eksempel
$P \implies Q$	$P$ impliserer $Q$	$x = 2 \implies x^2 = 4$
$P \iff Q$	$P$ og $Q$ er ekvivalente	$2x = 4 \iff x = 2$
$P \lor Q$	$P$ eller $Q$ eller begge	$x = -2 \quad \lor \quad x = 2$
$P \land Q$	$P$ og samtidig $Q$	$x = 1 \quad \land \quad y = 1$