Oppgaver: Matematisk logikk

Oppgaver: Matematisk logikk#

Oppgave 1#

Koble sammen riktig begrep med riktig symbol.

Oppgave 2#

Her skal du velge ut symboler som gir sanne påstander.

Ta quizen!

Oppgave 3#

Vurder om påstandene nedenfor er sanne. Hvis påstanden er sann, forklar hvorfor. Hvis den er usann, gi et moteksempel.

Hvis \(a\) er et partall, kan du skrive \(a = 2\cdot n\) for et tall \(n \in \natural\). Hvis \(a\) er et oddetall, så kan vi skrive det som \(a = 2n - 1\).

a)
\[ a \text{ er et partall} \and b \text{ er et partall} \limplies a + b \text{ er et partall} \]

Sann.

Vi antar at \(a\) og \(b\) er partall slik at

\[ a = 2n \qog b = 2m \]

der \(n, m \in \natural\). Da har vi at

\[ a + b = 2n + 2m = 2(n + m) \]

Siden \(n + m \in \natural\), så finnes det et natural tall \(k \in \natural\) slik at

\[ k = n + m \]

slik at vi kan skrive

\[ a + b = 2k \]

Altså er \(a + b\) et partall, og påstanden er sann.

b)
\[ a \text{ er et partall} \and b \text{ er et partall} \limplies a \cdot b \text{ er et partall} \]

Sann.

Vi setter \(a = 2n\) og \(b = 2m\) for \(n, m \in \natural\). Da får vi at

\[ a \cdot b = (2n) \cdot (2m) = 4nm = 2\cdot (2nm) \]

Siden \(2nm \in \natural\), så er \(a \cdot b\) et partall. Altså er påstanden sann. $$

c)
\[ a \text{ er et partall} \and b \text{ er et partall} \limpliedby a + b \text{ er et partall} \]

Usann.

Dersom \(a + b\) er et partall, så kan både \(a\) og \(b\) være partall, men de kan også begge være oddetall som vi kan se ved å anta at \(a = 2n - 1\) og \(b = 2m - 1\) for \(n, m \in \natural\). Da får vi at

\[ a + b = (2n - 1) + (2m - 1) = 2n + 2m - 2 = 2(n + m - 1) \]

Vi har at \(n + m - 1 \in \natural\) som betyr at \(a + b\) er et partall også hvis \(a\) og \(b\) er oddetall. Altså er påstanden feil.

Oppgave 4#

Vurder om påstandene nedenfor er sanne. Hvis påstanden er sann, forklar hvorfor. Hvis den er usann, gi et moteksempel.

Hvis \(a\) er et oddetall, kan vi skrive tallet som \(a = 2n - 1\) der \(n \in \natural\)

a)
\[ a \text{ er et oddetall} \and b \text{ er et oddetall} \limplies a + b \text{ er et oddetall} \]
b)
\[ a \text{ er et oddetall} \and b \text{ er et oddetall} \limplies a \cdot b \text{ er et oddetall} \]

Oppgave 5#

Vurder om påstandene nedenfor er sanne. Hvis påstanden er sann, bevis påstanden. Hvis den er usann, gi et moteksempel.

a)
\[ a \text{ er partall} \and b \text{ er oddetall} \limplies a + b \text{ er partall} \]
b)
\[ a \text{ er partall} \and b \text{ er oddetall} \limplies a \cdot b \text{ er partall} \]

Oppgave 6#

Vurder om påstandene nedenfor er sanne. Hvis påstanden er sann, forklar hvorfor. Hvis den er usann, gi et moteksempel.

a)

Avgjør om påstanden nedenfor er sann.

\[ a \text{ er et oddetall} \implies a^2 \text{ er et oddetall} \]
b)

Avgjør om påstanden nedenfor er sann.

\[ a^2 \text{ er et oddetall} \implies a \text{ er et oddetall} \]
c)

Avgjør om påstanden nedenfor er sann.

\[ n \text{ er et partall} \liff n^3 \text{ er et partall} \]
d)
\[ n \text{ er et oddetall} \liff n^3 \text{ er et oddetall} \]

Oppgave 7#

Absoluttverdien til et tall \(x\) skrives \(|x|\) og er definert som avstanden fra \(0\) på tallinjen. For eksempel er \(|-3| = 3\) og \(|2| = 2\).

Vurder om påstandene nedenfor er sanne. Hvis påstanden er sann, forklar hvorfor. Hvis den er usann, gi et moteksempel.

\[ x = 2 \limplies |x| = 2 \]
\[ |x| = 3 \liff x = 3 \]
\[ x = -2 \or x = 2 \limplies |x| = 2 \]
\[ x = -2 \or x = 2 \limpliedby |x| = 2 \]
Innhold