<no title>

Innhold

Oppgave 1

På bakkenivå er lufttrykket 1 atm (atmosfærisk trykk). Lufttrykket avtar med $12 \, \%$ per km i høyden.

a

Forklar at en modell som passer med beskrivelsen ovenfor er

\[ L(x) = 1 \cdot 0.88^x \]

der $L(x)$ er det atmosfæriske trykket $x$ kilometer over bakken.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å forklare at $L$ er en eksponentiell modell $L(x) = a \cdot b^x$.
Inntil 1 poeng for å forklare verdiene $a$ og $b$ ut ifra opplysningene i oppgaven.

Løsning

$L$ vil være en eksponentiell modell siden lufftrykket avtar med en prosentvis endring per km. Derfor er det modell på formen

\[ L(x) = a \cdot b^x \]

der $a$ er startverdien ved $x = 0$ og $b$ er vekstfaktoren. Ved $x = 1$ er $L(0) = 1$ som betyr at $a = 1$. Siden lufttrykket avtar med $12 \, \%$ per km, er vekstfaktoren $b = 1 - 0.12 = 0.88$. Dermed får vi at

\[ L(x) = a \cdot b^x = 1 \cdot 0.88^x \]

b

Ved hvilken høyde er lufttrykket halvparten av det på bakkenivå?

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å forklare å velge en gyldig fremgangsmåte.
Inntil 1 poeng for riktig svar.

Fasit

Ca. $5.42$ km over bakken.

Løsning

For å bestemme hvilken høyde lufttrykket er halvparten av det på bakkenivå, må vi løse likningen

\[ L(x) = \frac{1}{2}L(0) \]

Vi bruker CAS til å løse likningen:

som betyr at lufttrykket er halvparten av det på bakkenivå ved $x \approx 5.42$ km over bakken.

c

Bestem stigningstallet til linja som går gjennom $(0, L(0))$ og $(8, L(8))$.
Gi en praktisk tolkning av svaret.

Retteveiledning

1 poeng for å bestemme riktig stigningstall.
1 poeng for riktig praktisk tolkning av svaret.

Løsning

Stigningstallet til linja som går gjennom punktene $(0, L(0))$ og $(8, L(8))$ svarer til den gjennomsnittlige vekstfarten til $L$ i intervallet $[0, 8]$. Vi regner ut dette med CAS:

Stigningstallet til linja er altså ca. $-0.08$ atm/km. Det betyr at lufttrykket i gjennomsnitt blir $0.08$ atm lavere per km i høyden fra bakkenivå opp til $8$ km over bakken.

Oppgave 2

En regulær 6-kant er en 6-kant der alle sidene er like lange.

En sirkel med radius $1$ er innskrevet i en regulær 6-kant. En trekant har et hjørne i sentrum av sirkelen. Se figuren nedenfor.

Bruk trigonometri til å bestemme arealet av 6-kanten.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å bestemme sidelengdene i trekanten med en gyldig strategi.
Inntil 1 poeng for å bestemme arealet av trekanten.
Inntil 1 poeng for å bestemme arealet av 6-kanten.

Fasit

Arealet av 6-kanten er $2\sqrt{3}$.

Løsning

6-kanten består av 6 like store trekanter. Vi trenger derfor å bestemme arealet av én slik trekant først. La trekanten som er tegnet inn være $\triangle ABC$ der $A$ er hjørnet i sentrum av sirkelen. Vi kan først merke oss at sentralvinkelen $\angle A = u$ vil være

\[ \angle A = \frac{360\degree}{6} = 60\degree. \]

siden det er $360\degree$ i en hel sirkel og det er 6 like store toppvinkler i de 6 trekantene vi har plass til med toppunkt i sentrum av sirkelen.

Trekant $\triangle ABC$ er minimum en likebeint trekant siden $AB = AC$. Videre er $\angle A = 60\degree$ som betyr at $\angle B = \angle C = 60\degree$ og trekanten er derfor også likesidet. Vi kan derfor lage følgende hjelpefigur der vi trekker en midtnormal fra hjørne $A$ ned på $BC$ som deler $\angle A$ nøyaktig i to like store vinkler, og tilsvarende deler $BC$ i to like lange linjestykker. Siden radien i sirkelen er $1$, følger det at lengden på midtnormalen er $1$. Vi lar sidelengdene i trekanten være $\ell$. Se figuren nedenfor.

I utregningen nedenfor bruker vi at $\sin 60 \degree = \cos 30 \degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Fra definisjonen av cosinus, kan vi da skrive

\[ \cos 30 \degree = \dfrac{1}{\ell} \liff \ell = \dfrac{1}{\cos 30 \degree} = \dfrac{1}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}. \]

Deretter bruker vi arealsetningen for å bestemme arealet av trekant $\triangle ABC$:

\[ T_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \ell^2 \cdot \sin 60\degree = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}. \]

6-kanten består av 6 slike trekanter, så det samlede arealet blir da

\[ T_{6-\mathrm{kant}} = 6 \cdot T_{\triangle ABC} = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}. \]

Oppgave 3

Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$ og to tangenter som skjærer gjennom nullpunktene til $f$.

Den ene tangenten har stigningstall $4$.
Tangentene skjærer hverandre i $(-1, -8)$.

Bestem $f(x)$ og $f'(x)$.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å sette opp et gyldig likningssystem for koeffisientene til $f(x)$ eller $f'(x)$.
1 poeng for å bestemme $f(x)$ med en gyldig fremgangsmåte.
1 poeng for å bestemme $f'(x)$ med en gyldig fremgangsmåte.

Andre gyldige fremgangsmåter som leder fram til $f(x)$ og $f'(x)$ vil også gi full uttelling.

Fasit

\[ f(x) = x^2 + 2x - 3 \limplies f'(x) = 2x + 2. \]

Løsning

Vi kan sette opp et likningssystem ut ifra opplysningene i oppgaven. Vi trenger tre likninger der minst én av de ikke er en nullpunktslikning.

Begge tangenter går gjennom punktet $(-1, -8)$. Den ene tangenten har stigningstall $4$. Fra ettpunktsformelen kan vi dermed skrive ned likningen til denne tangenten som:

\[ y - (-8) = 4(x - (-1)) \liff y = 4x - 4 = 4(x - 1) \]

Her kan vi konkludere at tangenten skjærer $x$-aksen i

\[ y = 0 \liff 4(x - 1) = 0 \liff x = 1 \]

Det betyr at vi fra denne tangenten kan sette opp likningene

\[\begin{align*} f(1) &= 0 && \text{Nullpunkt i $x = 1$} \\ \\ f'(1) &= 4 && \text{Stigningstallet til tangenten i $x = 1$} \\ \end{align*}\]

Den andre tangenten går gjennom det andre nullpunktet til $f$. På grunn av symmetrien til en andregradsfunksjon, betyr det at $x$-koordinaten til skjæringspunktet mellom de to tangentene svarer til symmetrilinja til $f$. Dermed vil en tangent i punktet ha stigningstall $0$ slik at den siste likningen vi trenger er

\[\begin{align*} f'(-1) &= 0 && \text{Stigningstallet til tangenten i $x = -1$. Bunnpunkt} \\ \end{align*}\]

En andregradsfunksjon $f$ er generelt sett gitt ved

\[ f(x) = ax^2 + bx + c. \]

Vi løser likningssystemet med CAS for å bestemme koeffisientene til $f(x)$:

som betyr at

\[ f(x) = x^2 + 2x - 3. \]

Deriverer vi uttrykket, får vi:

\[ f'(x) = (x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2. \]

Andre likninger vi kunne hentet ut fra opplysningene i oppgaven er:

$f(-3) = 0$

$f'(-3) = -4$

Oppgave 4

Nedenfor vises en sylinder fylt med vann med et lite hull i bunnen.

Den horisontale avstanden vannstrålen beveger seg er $S_i$ meter når vannstanden er $x_i$ meter over bunnen av sylinderen. I tabellen nedenfor vises et datamateriale for dette.

$x$ (meter)	$8$	$6$	$5$	$3$	$2$
$S$ (meter)	$5.66$	$4.90$	$4.47$	$3.46$	$2.83$

a

Lag en modell på formen

\[ S(x) = a \cdot x^b \]

som viser hvor mange meter $S(x)$ vannstrålen beveger seg horisontalt når vannstanden er $x$ meter over bunnen av sylinderen.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte.
1 poeng for å bestemme en rimelig modell $S(x)$.

Fasit

\[ S(x) \approx 2 \cdot x^{0.5} = 2\sqrt{x} \]

Løsning

Vi skriver inn datapunktene i et regneark i Geogebra:

Deretter gjør vi regresjonsanalyse og velger en potensfunksjon som modell siden dette er modelltypen som er oppgitt som gir:

som betyr at

\[ S(x) \approx 2\cdot x^{0.5} = 2\sqrt{x} \]

er en passende modell for datamaterialet.

Vi definerer $S(x)$ som dette i resten av oppgaven.

b

Etter at hullet ble åpnet, varierte høyden til vannstanden med tiden slik at den kan beskrives av en modell på formen

\[ h(t) = k(t - r)^2. \]

Når hullet i bunnen ble åpnet var vannstanden $10$ meter over bunnen. Tanken ble halvfull etter $7$ sekunder.

Bestem $k$ og $r$. Gi en praktisk tolkning av konstanten $r$.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å bestemme $k$ og $r$.
Inntil 1 poeng for å gi en praktisk tolkning av konstanten $r$.

Fasit

\[ k \approx 0.02 \and r \approx 23.9 \]

Den praktiske tolkningen av $r$ er at det tar $r \approx 23.9$ sekunder før tanken er tom for vann.

Løsning

Modellen $h$ er en andregradsfunksjon skrevet på ekstremalpunktsform. Fra opplysningene kan vi sette opp et likningssystem:

\[\begin{align*} h(0) &= 10 && \text{(høyden når hullet åpnes er 10 meter)} \\ \\ h(7) &= 5 && \text{(tanken er halvfull etter 7 sekunder)} \\ \end{align*}\]

Vi bestemmer $k$ og $r$ ved å løse likningssystemet i CAS:

som gir oss at

\[ k \approx 0.02 \and r \approx 23.9 \]

Siden $h(t)$ er skrevet på ekstremalpunktsform med en ekstremalverdi som er $y_0 = 0$, vil $t = r$ svare til $t$-koordinaten til bunnpunktet og nullpunktet til $h$. Den praktiske tolkningen er at det tar $r = 23.9$ sekunder før tanken er tom for vann.

c

Hvor lang tid tar det før lengden av strålen og høyden på vannstanden er like?

Retteveiledning

Inntil 1 poeng få bestemme ved hvilken høyde strålen og høyden på vannstanden er like.
Inntil 1 poeng for å bestemme hvor lang tid det tar før strålen og høyden på vannstanden er like.

Andre gydlige fremgangsmåter for å bestemme hvor lang tid det tar før strålen og høyden på vannstanden er like vil også gi full uttelling.

Fasit

$t \approx 9.76$ sekunder

Løsning

Vi har to modeller:

$S(x)$ som gir oss lengden av strålen for en gitt høyde $x$ på vannstanden.
$h(t)$ som gir oss høyden på vannet for en gitt tid $t$.

For å bestemme hvor lang tid det tar før lengden av strålen og høyden på vannstanden er like, løser vi oppgaven i to steg:

Vi løser $S(x) = x$ for å avgjøre når strålen og høyden er like.
Vi løser $h(t) = x$ for løsningen vi fikk i steg 1 for å avgjøre når vi er ved høyden som er lik lengden av strålen.

Vi løser dette med CAS:

Her finner vi fra steg 1 at $x = 4$ er høyden der lengden av strålen og høyden på vannstanden er like. Så løser vi $h(t) = 4$ for å avgjøre hvor lang tid det tok før vannstanden hadde denne høyden, som ga oss to løsninger:

\[ t \approx 9.76 \or t \approx 38.04. \]

Men vi vet allerede at vanntanken er tom etter $t \approx 23.9$ sekunder, som betyr at vi kan konkludere at høyden til vannstanden og lengden på vannstrålen var like etter $t \approx 9.76$ sekunder.

Oppgave 5

En båt skal reise fra en øy $A$ til en øy $C$.
Båten må innom land på en kystlinje på et punkt $B$ for å hente ferskvann. Båten skal reise en så kort som mulig avstand for å spare drivstoff.

Kystlinjen er $9$ km lang. Øy $A$ ligger $2$ km fra land og øy $C$ ligger $4$ km fra land. Se figuren nedenfor.

En strandkiosk $S$ er plassert på starten av kystlinja.

a

Bestem lengden båten må kjøre fra $A$ til $C$ dersom den går i land $2$ km fra strandkiosken.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å bruke Pytagoras’ setning til å bestemme lengdene $AB$ og $BC$.
Inntil 1 poeng for å bestemme den totale lengden på reisen fra $A$ til $C$.

Fasit

Ca. $10.89$ km

Løsning

Vi bruker Pytagoras’ setning på de to trekantene med $x = 2$ km som gir at de horisontale katetene er henholdsvis $2$ km og $(9 - 2)$ km. Vi regner ut summen av lengdene $AB + BC$ med CAS:

som betyr at båten da kjører ca. $10.89$ km.

b

Lag en modell $L$ som gir lengden $L(x)$ som båten må kjøre dersom den går i land en avstand $x$ fra strandkiosken.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å bruke Pytagoras’ setning til å bestemme lengdene $AB$ og $BC$.
Inntil 1 poeng for å sette opp modellen $L(x)$.

Fasit

\[ L(x) = \sqrt{4 + x^2} + \sqrt{16 + (9 - x)^2} \]

Løsning

Lengden $L(x)$ vil være summen av lengdene $AB$ og $BC$ for en bestemt verdi av $x \in [0, 9]$. Med Pytagoras’ setning følger det at:

\[\begin{align*} AB^2 &= 2^2 + x^2 \limplies AB = \sqrt{4 + x^2} \\ \\ BC^2 &= 4^2 + (9 - x)^2 \limplies BC = \sqrt{16 + (9 - x)^2} \\ \end{align*}\]

Dermed er modellen $L$ gitt ved

\[ L(x) = AB + BC = \sqrt{4 + x^2} + \sqrt{16 + (9 - x)^2} \]

c

Bestem hvor langt unna strandkiosken båten må gå i land for å få kortest mulig reisevei fra $A$ til $C$.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å velge riktig fremgangsmåte.
Inntil 1 poeng for å bestemme $x$ slik at reiseveien er kortest mulig. Maksimalt 0,5 poeng hvis det ikke argumentert for at $x$ gir et bunnpunkt.

Fasit

\[ x = 3 \]

Løsning

For å bestemme hvor langt unna strandkiosken båten må gå i land for å få kortest mulig reisevei, løser vi likningen $L'(x) = 0$ for å finne kandidater for bunnpunkter til $L$. Vi løser likningen med CAS:

som forteller oss at $x = 3$ er en kandidat for et bunnpunkt. For å være sikre på at dette er et bunnpunkt, holder det å sjekke $L(x)$ i endepunktene og sammenligne med $L(3)$:

Vi ser altså at $L(3) < L(0)$ og $L(3) < L(9)$, og dermed er $x = 3$ et bunnpunkt. Dermed må båten gå i land $3$ km fra strandkiosken for å få kortest mulig reisevei fra $A$ til $C$.

Oppgave 6

Nedenfor vises et kvadrat med sidelengder $3$.

Kvadratet er fylt med mindre fargelagte kvadrater som blir mindre og mindre.

Lag et program som regner ut summen av arealet til de 100 største fargelagte kvadratene.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for å skrive et program som bruker en løkke som regner ut arealet av $100$ kvadrater.
Inntil 1 poeng for å bestemme riktig sum av arealene.

Mindre mangler i programmet kan fortsatt gi noe uttelling. Programmet bør være rimelig forklart med kommentarer eller en overordnet forklaring for å gi full uttelling.

Løsning

Først kan vi legge merke til at sidelengdene i det største fargelagte kvadratet er $3/2$. Deretter halveres sidelengden for hvert mindre fargelagte kvadrat. For å summere arealet til de 100 største fargelagte kvadratene, kan vi derfor bruke en løkke som gjør følgende:

Regner ut arealet $A$ av kvadratet med sidelengde $\ell$ ved $A = \ell^2$.
Legger til arealet til summen $s \to s + A$.
Halverer sidelengden $\ell \to \ell / 2$.

Vi gjentar dette 100 ganger.

Programkode:

s = 0 # sum av arealer
lengde = 3 / 2 # sidelengder i første kvadrat

# summerer de 100 største fargelagte kvadratene
for i in range(100):
    areal = lengde ** 2 # areal av kvadrat
    s = s + areal    # legg til arealet
    
    lengde = lengde / 2 # halver sidelengden

print(s)

Utskrift:

2.9999999999999996

Arealet til de 100 største fargelagte kvadratene er ca. $3$.

Oppgave 7

Nedenfor vises noen påstander.

Avgjør om påstandenen er sanne eller usanne.
Husk å forklare hvordan du kommer fram til svarene dine.

Påstand 1: Hvis $f$ er en polynomfunksjon og $f(-1) = f(3)$, så er $f'(1) = 0$.

Påstand 2: Hvis $f(x)$ er et polynom av grad $5$, så må $f(x) = 0$ for minst én verdi av $x$.

Påstand 3: Funksjonen $f$ gitt ved

\[ f(x) = \dfrac{(x - 3)^m}{x^2 - 6x + 9} \quad \text{der} \quad m \in \mathbb{N} \]; har en vertikal asymptote kun når $m = 1$.

Retteveiledning

Inntil 1 poeng for hver påstand som er vurdert riktig.

Riktig svar uten argumentasjon gir ingen uttelling.

Løsning

Påstand 1

Påstanden er usann. Påstanden er bare sann for andregradsfunksjoner, men generelt så vil det bare finnes et tall $c \in \langle -1, 3\rangle$ hvor $f'(c) = 0$, men dette punktet må ikke nødvendigvis være midt i intervallet.

Vi kan vise dette med et moteksempel ved å se på en tredjegradsfunksjon der $f(-1) = f(3)$. Én slik tredjegradsfunksjon er:

\[ f(x) = (x + 1)(x - 3)^2 \]

siden her er $f(-1) = f(3) = 0$. Så kan vi bestemme i hvilke punkter $x$ vi får $f'(x) = 0$ og undersøke hvor i intervallet $[-1, 3]$ et av disse punktene ligger.

Her finner vi at $x = \dfrac{1}{3}$ er det eneste punktet som ligger i intervallet $\langle -1, 3 \rangle$. Men dette punktet er ikke $x = 1$ (midt i intervallet), så vi har motbevist påstanden.

Påstand 2

Påstanden er sann fordi alle oddegradspolynomer må minst ha ett nullpunkt fordi et polynom $f(x)$ alltid kan faktoriseres i et produkt av lineære faktorer og andregradsfaktorer. For at vi skal få en oddetallspotens som høyeste potens må det alltid være minst én lineær faktor $(x - r)$ i $f(x)$ som sikrer at $f(x) = 0$ for minst én verdi av $x = r$.

Påstand 3

Påstanden er sann som vi kan se ved å faktorisere nevneren:

\[ f(x) = \dfrac{(x - 3)^m}{(x - 3)^2} \]

Bare når $m = 1$ vil vi ha færre faktorer av $(x - 3)$ i telleren enn i nevneren som dermed gir en vertikal asymptote i $x = 3$. For alle andre naturlig tall $m$ vil vi enten ha like mange faktorer eller flere i telleren som bare gir et bruddpunkt i $x = 3$.