8. Standardform#
Kunne representere en lineær funksjon på standardform og beskrive sammenhengen med den grafiske representasjonen
Kunne bestemme \(f(x)\) fra graf
Kunne gå fra funksjonsuttrykk til graf
En lineær funksjon er en funksjon som beskriver en skrå linje i et koordinatsystem. Det som kjennetegner funksjonen spesielt er at når vi øker \(x\) med \(1\), så øker funksjonsverdien med et fast tall \(a\) som kalles for stigningstallet til funksjonen.
Ulike måter å skrive funksjonsuttrykk på kaller for algebraiske representasjoner. Ulike slike representasjoner lar oss lese av noen egenskaper ved grafen til funksjonen rett fra funksjonsuttrykket. Den første vi skal se på kalles for standardform.
Standardform#
En lineær funksjon \(f\) kan skrives på standardform som
Verdien til \(a\) er hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi øker \(x\) med \(1\). Vi kaller \(a\) for stigningstallet til grafen til \(f\).
Verdien til \(b\) er \(y\)-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og \(y\)-aksen. Vi kaller ofte \(b\) for konstantleddet til \(f(x)\).
Eksempel 1#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(f(x)\).
En lineær funksjon på standardform er gitt ved
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 1)\) som betyr at \(b = 1\).
Hvis vi velger ut et punkt på grafen til \(f\), for eksempel \((0, 1)\), så ser vi at når vi øker \(x\) med \(1\), så synker funksjonsverdien \(f(x)\) med \(-2\) (husk \(y = f(x)\)) som betyr at stigningstallet er \(a = -2\).
Da er \(f(x)\) gitt ved
Underveisoppgave 1#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(f(x)\).
En lineær funksjon på standardform er gitt ved
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -4)\) som betyr at \(b = -4\).
Hvis vi velger et punkt på grafen til \(f\), for eksempel \((0, -4)\) og øker \(x\) med \(1\), så er vi at \(f(x)\) øker med \(3\) siden grafen går gjennom punktet \((1, -1)\). Det betyr at stigningstallet er \(a = 3\).
Da er
La oss se på et eksempel der vi går fra funksjonsuttrykk til graf.
Eksempel 2#
En lineær funksjon \(f\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(f\).
Fra funksjonsuttrykket
ser vi at stigningstallet til \(f\) er \(a = -1\) og konstantleddet er \(b = 2\). Det betyr at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 2)\). Da kan vi lage følgende skisse av grafen til \(f\):
Underveisoppgave 2#
En lineær funksjon \(f\) er gitt ved
Lag en skisse av grafen til \(f\) der du markerer skjæringspunktet med \(y\)-aksen og stigningstallet.
Vi har at
som betyr at stigningstallet er \(a = -2\) og konstantleddet er \(b = 3\). Grafen til \(f\) skjærer derfor \(y\)-aksen i \((0, 3)\).
Vi vet allerede nå at vi kan bestemme stigningstallet \(a\) til en lineær funksjon ved å sjekke hvor mye \(f(x)\) endrer seg når vi øker \(x\) med \(1\). Men vi vet ikke alltid funksjonsverdier til \(f\) i \(x\)-verdier som ligger en avstand \(1\) fra hverandre. Da trenger vi en annen metode for å bestemme stigningstallet.
Topunktsformelen#
Dersom en lineær funksjon \(f\) går gjennom to punkter \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\), så er stigningstallet \(a\) gitt ved
Vi definerer gjerne \(\Delta y = y_2 - y_1\) og \(\Delta x = x_2 - x_1\). Da kan vi skrive stigningstallet som
der vi leser \(\Delta\) som “endring i”. Altså er \(\Delta y\) endringen i \(y\)-verdien og \(\Delta x\) endringen i \(x\)-verdien.
Eksempel 3#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(f(x)\).
En lineær funksjon på standardform er gitt ved
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, -5)\) som betyr at \(b = -5\).
Vi ser at grafen til \(f\) også går gjennom punktet \((2, 1)\). Vi kan bruke topunktsformelen til å bestemme stigningstallet:
Dermed er
Underveisoppgave 3#
Grafen til en lineær funksjon \(f\) er vist i figuren til høyre.
Bestem \(f(x)\).
Vi ser at grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i \((0, 4)\) som betyr at \(b = 4\).
Vi ser grafen også går gjennom punktet \((3, -2)\). Vi bestemmer stigningstallet med topunktsformelen:
Dermed er
Nullpunkter#
Punktet der en lineær funksjon skjærer \(x\)-aksen, kaller vi for nullpunktet til funksjonen. Dette vil være et punkt der funksjonsverdien er lik null, altså den \(x\)-verdien som gir at \(f(x) = 0\).
En lineær funksjon kan bare ha ett nullpunkt siden den kun kan skjære \(x\)-aksen én gang.
Nullpunktet til en lineær funksjon#
Nullpunktet til en lineær funksjon \(f\) er den \(x\)-verdien der \(f(x) = 0\).
Eksempel 4#
En lineær funksjon \(f\) er gitt ved
Bestem nullpunktet til \(f\).
Nullpunktet til \(f\) vil være løsningen av likningen \(f(x) = 0\). Vi har at
Vi plusser på \(4\) på hver side av likningen som gir
Så deler vi med \(2\) på begge sider av likningen som gir
Dermed er nullpunktet til \(f\) gitt ved
Vi kan også oppgi nullpunktet som \((2, 0)\), men siden \(y = 0\) i et nullpunkt så oppgir vi nesten alltid kun \(x\)-verdien til punktet.